【高考数学秘籍】基本不等式

1、第 44 讲基本不等式丼圾1 .对 x R R 且XM0 都成立的不等式是(D)11A x+_2 B.xW2xx|X| 、11C.步 2D.|x+xP1 211因为 xR 且XM0,所以当 x0 时，x+ -2;当 x0,所以 x+ -=(x1|x|1x+)0， b0，a b2小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab),其全程的平均时速为v，则(A)a+ b2设甲地到乙地走的路程为S,则A . av , abD. v =v2S=2ab 2abSISa+b 2 ,ab a b又因为a0 , y0, x+ 2y+ 2xy= 8，则 x+ 2y 的最小值是(B)3 B. 411D2利用基本不

2、等式，x+ 2y2x+2y=8x (2y)P8 (2 )，整理，得(x+ 2y)2+ 4(x+ 2y) 32P0, 即(x+ 2y 4)(x + 2y+8)P0, 又 x + 2y0，所以 x+ 2yP4.当且仅当 x= 2, y= 1 时取等号.当且仅当2b，即 a=42, b= 242 时取“=48,v=.ab,所以ab=a+討2，即 ab2 2,5.(2017 天津卷)若 a, b R R, ab0，则由三角形相似得 40=40尹即 x + y= 40.x+ y2所以 S= xyW( 2 ) = 400,当且仅当 x= y= 20 时等号成立.7.已知 x0 , y0,且 4x+ y=

3、1.1 1(1) 求+ y 的最小值；求 Iog2x+ log2y 的最大值.(1)因为4+1=(打1)(4x+ y) = 丫 +4x+ 5 2、/ + 5 = 9.x y x yx y. x y当且仅当y=鱼，即 x=1, y= 时，取“=”.x y631 1 所以+1的最小值为 9.1(2) log2x+ log2y= Iog2(xy) = log2Q4x y)C.( 8,7 D.( g, 1U7,+8)44x+ y21wiog2q(2 ) =log26=-4，1 1当且仅当 4x= y,即 x=1, y = 时取 “=”.所以 Iog2x+ log2y 的最大值为一 4. * S級.&a

4、mp;在 R R 上定义运算?: x?y= x(1 y).若对任意 x2,不等式(x- a)?x0,442 2a + 4b + 1 4a b + 1 所以aba2= 2b2,当且仅当1l4ab=ab，1.=4ab+ =2abab 22a =2，即 t 厂时取得等号.以 2b=百44a4+ 4b4+ 1故的最小值为 4.ab6.如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 其边长 x 为 20(m).(阴影部分)，则的最小值为 4ab4abi=4，设矩形的高为2由题意可知，不等式(x a)?xwa+ 2 可化为(x a)(1 x) a+ 2，即 x x a+ axwa+ 2,x2

5、x+ 2所以 a2 都成立，x 2x2 x+ 2即 aW()min.x 22 _x x+ 24/4由于=(x 2) + 3 2x 2 + 3= 7(x2),x 2x 2屮 x 24当且仅当 x 2 =，即 x= 4 时，等号成立，所以 a0 , y0 且 x+ y= 2,则|c c|的最小值是3 . 3939 因为 |a|a|=|b|b|= 1 1, abab= 2 2,所以 |cf|cf = x2+ y2+ 2xya a b b= x2+ y2+ xy2x+ y2=(x+ y) xy= 4 xy 4 ( ) 3.当且仅当 x= y= 1 时，取“=”.所以|c|c| 3.10.某单位决定投资

6、 32000 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花 钱，正面用铁栅，每米长造价400 元，两侧墙砌砖，每米长造价450 元，顶部每平方米造价200 元，求：(1) 仓库面积 S 的最大允许值是多少？(2) 为使 S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 3939 (1)设铁栅长为 x 米，两侧砖墙长为 y 米，且 x, y0.顶部面积 S= xy,依题意得，400 x+ 900y + 200 xy= 32000,由基本不等式得32000= 400 x+ 900y+ 200 xy 2 . 400 x 900y+ 200 xy=1200 xy+ 200 xy,即 32000 1200 S+ 200S, 即卩 S+ 6 , S 160W0,令 t= , S(t0)，得 t2+ 6t 160W0,即(t 10)(t+ 16)W0,所以 0tW10,即 0 .SW10,所以