【高考数学秘籍】抛物线

1、第 60 讲抛物线 并辍” 1. 设抛物线y= 8x上一点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到该抛物线的焦点的距离是 (B) A . 4 B. 6 C. 8 D. 12 C33因为 y2= 8x的焦点 F(2,0)，准线 x=- 2, 由 P 到 y 轴的距离为 4 知，P 到准线的距离为 6， 由抛物线的定义知 P 到焦点 F 的距离为 6. 2. (2013 新课标卷 1)0 为坐标原点，F 为抛物线 C: y2= 4 2x 的焦点，P 为 C 上一点， 若|PF|= 4 2,则厶 P0F 的面积为(C) A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4 薛3 设 P(xo, yo),

2、则 |PF| = xo+ ,2 = 4 2, 所以 xo= 3 2,所以 y0= 4：E：2XO= 4 2 X 3 2= 24, 所以 |yo|= 2 6 因为 FC.2, 0), 1 1 所以 SzpoF = lOF| |yo|= X , 2X 2,6= 2 , 3. 3如果 P1, P2,，Pn是抛物线 C： y2= 4x上的点，它们的横坐标依次为 X1, X2,， xn, F 是抛物线 C 的焦点，若 X1 + X2+ Xn= 10,则 |PJF |+ |P2F|+ |PnF|= (A) A . n+ 10 B. n+ 20 C. 2n + 10 D. 2n+ 20 p 由抛物线的定义可

3、知|PiF| = Xi + 2= Xi + 1 , 所以 IP1FI+ IP2FI+ + |PnF|=(X1 + X2+ + Xn) + n= 10+ n. 2 、 k 4. (2016 新课标卷n )设 F 为抛物线 C: y = 4x 的焦点，曲线 y= -(k0)与 C 交于点 P, 入 PF 丄 x轴，则 k= (D) 1 A.2 B. 1 3 CQ D. 2 薛3因为 y2= 4x,所以 F(1,0).又因为曲线 y = -(k0)与 C 交于点 P, PF 丄 x轴，所以 X k P(1,2).将点 P(1,2)的坐标代入 y= -(k0)得 k= 2故选 D. X 5 . (20

4、18 广东七校联考)过抛物线 y2= 4x的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若 小 3 AF|= 3，则 |BF|= . 堪3设 A, B 的横坐标分别为 XA, XB, 由抛物线的定义可知|AF|= XA+ 2 = XA+ 1= 3, 所以 XA= 2, 2 又 AB 是抛物线的焦点弦，XA, XB满足XA XB=1 , 1 p 1 3 所以 XB= ，所以 |BF|= XB+ 2 = 1+ 1 = 3. 2 2 6. (20i6 湖南省六校联考)若以双曲线 冷器=i(b0)的左、右焦点 Fi, F2和点 M(i , 2) 为顶点的三角形为直角三角形，贝 U y2= 4bx 的

5、焦点坐标为 (i,0). 區3显然点 M(i , ,2)为直角顶点， i 所以 |0M|= 3= 2|FiF2|= c,所以 b= i. (1) 求直线 I的方程(用 p 表示); 若设 A(xi, y1), B(X2, y2)，求证:AB |= xi+ x2+ P ； (3)若|AB|= 4，求抛物线方程. 魁 3 (i)因为抛物线的焦点 F 的坐标为(2, 0), 又因为直线 I 的斜率为 i , 所以直线 I的方程为：y= x p. (2) 证明：过点 A, B 分别作准线的垂线 AA , BB，交准线于 A , B, 则由抛物线的定义得: |AB|= |AF|+ |BF|= |AA |

6、+ |BB | p p =xi + 2+ X2+ 2= Xl+ X2 + p. (3)由 |AB|= 4，得 xi + X2 + p = 4, 直线 y = x- 2 与抛物线方程联立， 2 2 P x 3px+ 4 = 0, Xi + x2 = 3p,代入 xi + x2+ p= 4, y2 = 2x.F ,且与抛物线交于 A, B 两点. p y = x 2, 2 小 y = 2px 由韦达定理，得 解得 p= 1 故抛物线方程为 & (2017 新课标卷 H )过抛物线 C: y2= 4x 的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M(M N 在 I上，且 MN 丄 I，贝

7、U M 到直线 NF 的距离为(C) F(1,0),准线方程为 x= 1.由直线方程的点斜式可得直线 在 x轴的上方)，1 为 C 的准线，点 A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 區 3 抛物线 y2= 4x的焦点为 MF 的方程为 y= ,3(x 1). 联立得方程组 :1， y2= 4x, 因为点 M 在 x轴的上方，所以 因为 MN 丄，所以 N( 1,2 3). 所以 |NF|= 1+ 1 2+ 0 2 3 2= 4, |MF|= 3 1 2+ 2,32= 4, |MN| = 解得 2护 y一 M(3,2 3). x= 3, 或 y= 2.3. 寸(3 + 1 (+ (

8、2 羽-23 ) = 4. 所以AMMF 是边长为 4 的等边三角形. 所以点 M 到直线 NF 的距离为 2.3. 9.已知以 F 为焦点的抛物线 y2= 4x 上的两点 A, 抛物线准线的距离为 9 . 4 设 AB 的中点为 C, AB 的延长线与准线相交于 B 满足 AF = 2FB，则弦 AB 的中点到 D, 设 A, B, C, F 在准线上的投影分别为 由抛物线的定义，知 AA = 2t, BB 所以 BB 为 ADA A 的中位线， 所以 I 由 MF F sjDc C,得 FD：f- = CDCC， A , B , C , F ，设 FB = t，贝U AF = 2t, BD

9、 = 3 3t + t 3t+ 2t 9 所以 = c，c，解得 C C = 10. (2016 苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l: x y 2= 0,抛物线 2 C: y = 2px(p0). (1)若直线 I过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 I对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 的中点坐标为(2 p, p); 求 p 的取值范围. 堪 3 (1)抛物线 C: y2= 2px(p0)的焦点为(p, 0), 由点(号，0)在直线 I: x y 2 = 0 上，得 2 0 2= 0, 即 p = 4.所以抛物线

10、C 的方程为 y2= 8x. (2)设 P(xi, yi), Q(x2, y2),线段 PQ 的中点 M(xo, yo). 因为点 P 和 Q 关于直线 I对称，所以直线 I垂直平分线段 PQ,于是直线 PQ 的斜率为 1，则可设其方程为 y= x+ b. |y2=轲 2 证明：由 消去 x得 y+ 2py 2pb= 0.(*) y= x+ b 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 yiz y2, 2 从而= (2p) 4X ( 2pb)0，化简得 p+ 2b0. 方程(*)的两根为 yi,2= p p2 + 2pb, yi + y2 从而 y0= 2 = p. 因为 M(x(), y