2014年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国II）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年全国，理1，5分】设集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】把中的数代入不等式，经检验满足，故选D（2）【2014年全国，理2，5分】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 （ ）（A） （B）5 （C） （D）【答案】A【解析】，与关于虚轴对称，故选A（3）【2014年全国，理3，5分】设向量满足，则（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）5【答案】A【解析】，联立

2、方程解得，故选A（4）【2014年全国，理4，5分】钝角三角形的面积是，则（ ）（A） （B） （C）2 （D）1【答案】B【解析】，或，当时，经计算为等腰直角三角形，不符合题意，舍去；当时，使用余弦定理，解得，故选B（5）【2014年全国，理5，5分】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.6 （D）0.45【答案】A【解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为，则据题意有，解得，故选A（6）【2014年全国，理6，

3、5分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】加工前的零件半径为3，高6，体积，加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，体积，消掉部分的体积与原体积之比，故选C（7）【2014年全国，理7，5分】执行右图程序框图，如果输入的均为2，则输出的（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】D【解析】，变量变化情况：，故选D（8）【2014年全国，理8，5分】设

4、曲线在点处的切线方程为，则( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】D【解析】，且，联立得，故选D（9）【2014年全国，理9，5分】设满足约束条件，则的最大值为（ ）（A）10 （B）8 （C）3 （D）2【答案】B【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数在两条直线与的交点处，取得最大值，故选B（10）【2014年全国，理10，5分】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】设点，分别在第一和第四象限，则由抛物线的定义和直角三角形可得：，解得，故选D（11）【2014年全国，理

5、11，5分】直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】如图，分别以，为轴，建立坐标系令，则，故选C（12）【2014年全国，理12，5分】设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】的极值为，即，解得，故选C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（13）【2014年全国，理13，5分】的展开式中，的系数为15，

6、则_【答案】【解析】，（14）【2014年全国，理14，5分】函数的最大值为_【答案】【解析】，最大值为1（15）【2014年全国，理15，5分】已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【答案】【解析】偶函数在单调递减，且，的解集为，的解集为，解得（16）【2014年全国，理16，5分】设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】在坐标系中画出圆和直线，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2014年全国，理17，12分】已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：解：（1），是首项

7、为，公比为3的等比数列，因此的通项公式为（2）由（1）可知，当时， ，（18）【2014年全国，理18，12分】如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）设二面角为，求三棱锥的体积解：（1）设的中点为, 连接在三角形中，中位线，且在平面上，所以平面（2）设，分别以，为，轴建立坐标系，则，设平面的法向量为，则，解得一个同理设平面法向量为，则，解得一个，解得设为的中点，则，且，面，即为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为（19）【2014年全国，理19，12分】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份200720082009201020112

8、0122013年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，解：（1），设回归方程为，代入公式，经计算得：，所以关于的回归方程为（2），2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收（千元），所以，预计到2015年，该区人均纯收入约为6.8千元（20）【2014年全国，理20，12分】设,分别是椭圆的左右焦点，是上一点

9、且与轴垂直，直线与的另一个交点为（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求，解：（1）由题知，且联立整理得：，解得 的离心率为（2）由三角形中位线知识可知，即设，由题可知由两直角三角形相似，可得，两点横坐标分别为，由焦半径公式可得：， 且，联立解得，（21）【2014年全国，理21，12分】已知函数 （1）讨论的单调性；（2）设，当时，求的最大值；（3）已知，估计的近似值（精确到0.001）解：解法一：（1）， 所以，在上单增（2），令，则，使，即，即同理，令，则这，使即，即，且，即，即，所以的最大值为2（3）设，则，即，解得由（2）知，令，则，即，即，解得，所以解

10、法二：（1），等号仅当时成立所以在单调递增（2）， （）当时，等号仅当时成立，所以在单调递增而，所以对任意， （）当时，若满足，即时，而， 因此当时， 综上所述，的最大值为2（3）由（2）可知，当时，；当时，所以的近似值为请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号（22）【2014年全国，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，为的中点，的延长线交于点证明：（1）；（2）解：解法一：（1），为等腰三角形连接，则，即，即，所以（2），解法二：（1）连接，由题意知，故因为， ，所以，从而（2）由切割线定理得因为，所以， 由相交弦定理得，所以（23）【2014年全国，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标解：（1）C的普通方程为