圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan0,)k 7x2x-1点P(xo,y°)到直线AxBy0的距离Axo Byo C.A2B2夹角公式：直线ll：yI2: yk2xbib2夹角为，则tan(3) 弦长公式直线ykx b上两点A(Xi,yJ, B(X2,y2)间的距离AB.(X2 n)2 (y2 yj2AB.1 k2x1x2(1 k2)( x2)2 4x1x21 - _1ABy y23(4) 两条直线的位置关系li : ykixbiI2: yk2x

2、 b2 l1l2k1k2=-1 l1 /l2k1k2且 b1b211: Ax By G 0(H)11l2: Ax Dy C2 0 l1 l2A a2 b1b2 0 l1/l2a1b2-a2b1= 0且AC2-A2C1 0或巴 邑 C1 者(AB2C2 0)宀 B? C2两平行线距离公式k：ykxbi距离drI2： ykxb2.1 k1 : AxByCi0 距离d|Ci C2I2 : AxByC20.A2B22、圆锥曲线方程及性质1. 圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点Fi，F2的距离的 和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于FiF?，当常数等于FiFj

3、时，轨迹是线段Fi F2， 当常数小于|FiF时，无轨迹；双曲线中，与两定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于常 数2a，且此常数2a一定要小于| F1F2|，定义中的“绝对值”与2a < |F1F2|不可忽视。 若2a = IF1F2I，则轨迹是以Fi，F2为端点的两条射线，若2a >尸汗2丨，则轨迹不存 在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程J(x 6)2 y2 J(x 6)2 y2 8表示的曲线是 (答：双曲线的左支)2. 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程)：(1)椭圆：焦点在x轴上时2 x2 a2 21

4、( a b 0)，焦点在y轴上时爲 bax2b2ABO0,且 A, B, C(a b 0)。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么?同号，Am B) o椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程：一 1(m0,n0且m n)m n距离式方程:.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsin若x, y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是, x2 y2的最小值是(答:-5,2 )2 2 2 2(2)双曲线：焦点在x轴上：令 勺=1 ,焦点在y轴上：召 令=1( a 0, b 0 ) a ba b方程Ax2 By2 C表示双曲线的充

5、要条件是什么？ ( ABCm0,且A, B异号)。如设中心在坐标原点0 ,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线C过点P(4,(10)，则 C的方程为(答: x2 y2 6)(3)抛物线：开口向右时y2 2px( p20)，开口向左时y2px(p 0)，开口向上时 x2 2py（p 0），开口向下时 x22py（p 0）。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上2 2如已知方程 一 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答:|m 1 2 m一（,i）（i,|）2（2）双曲线：由x2, y

6、2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;提醒：在椭圆中,（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b24. 圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以务芯1 （ a b 0 ）为例）：范围：a x a, b y b :a b焦点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x 0, y 0，一个对称中心（0,0），四2 个顶点（a,0）,（0, b），其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线：两条准线x ;c离心率：e -，椭圆 0 e 1， e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a如（1）2若椭圆51的离心率e严，则m

7、的值是一（答:5、3 或 15）（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ （答：22）X2 y2（2）双曲线（以-y电1（ a 0,b 0）为例）：范围：x a或x a, y R ;焦a2 b2点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x 0, y 0，个对称中心（0,0），两个顶点（a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相2 等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0 :准线：两条准线x ； c离心率：e c，双曲线e 1，等轴双曲线e .2，e越小，开口越小，ea越大，开口越大；两条渐近线：y -x。双曲线的方程的形式有两种a2 2标准方程：1(m n 0)m n距离式方程：p. (x c)2 y2. (x c)2 y21 2a（3）抛物线（以y2 2px（p 0）为例）：范围：x 0, y R ;焦点：一个焦点（卫,0），2其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y 0，没有对称中心,只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线x 卫；离心率：e -，抛物线 e 1。2a如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为（答：（0,丄）;16