圆锥曲线全部公式及概念

1、圆锥曲线x = acos0 亠 亠 c 离心率幺= y = bsin0a亍，准线到中心的距离为二，焦点到对应准线1 椭圆r +亠=1（“0）的参数方程是X IT2j 212准线到中心的距离为焦点到对应准线的距离（焦准距）/? = 通径的一半（焦参数）：乞 ccaV2 v22椭圆冇+ 一 = 1（“0）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： cr XPFl = e（x + ） = a + ex , PF2 = e（-x） = a-ex : S斗严;=戻 tan.22 223椭圆的的内外部：（1）点P（x09y（）在椭圆二+=1（“0）的内部o 算+典vl cr b，cr b222 2（2）

2、点P（x09y0）在椭圖二+二=10）的外部o 续+典1.cr Z?-cr bY* VC4双曲线匚一r = 1（“ 00）的离心率e = = cr lra12.2的距离（焦准距）p = 通径的一半（焦参数）： ca2 2 焦半径公式 |Pf；|=l e（x + ） 1=1 a + ex I, |PF,|=I e（-一 x） 1=1 a-ex, 两焦半径与焦距构成三角形的面积S出卩卜、=b2 cot W】.222 2 25 双曲线的内外部：（1）点P（xpy00）的内部o 典一理1 . cr lrcr 少2222点P（心儿）在双曲线冷一刍= 1（。0上0）的外部o算一臬Vlcr b，cr b，6

3、双曲线的方程与渐近线方程的关系：2 22 2（1）若双曲线方程为亠一.=1 =渐近线方程：二一. = 0oy = 2x/ b2a2 b2? a/7X VY* V若渐近线方程为y = -x- = 0=.曲线可设= X aa bcr2 2 2 2若双曲线与丄丁一 =1有公共渐近线，可设为丄T-丄丁 =九CT A（入0,焦点在x轴上;入 0）焦半径 |CF| = x0 + .过焦点弦长+ + x2 + = + x2 + p 2 2 2,2&拋物线y2=2x上的动点可设为P（,y0）或P（2/”2/”）P（xyJ,其中y2 = 2pxv9 二次函数y =农+ bx + c =心+件+ 4 a工o）的图

4、象是抛物线：（1）顶点坐标为 “2u 4z b 4ac-b2./、b 4ac - Z?2 +1# 、 z. v . eO,a为直线AB的F(x,y) = 0倾斜角，为直线的斜率，I召一兀1= J(X +心尸一 4召兀12 圆锥曲线的两类对称问題：(1) 曲线F(x, y) = 0关于点P(x,儿)成中心对称的曲线是F(2a0-x, 2y0 一 y) = 0.(2) 曲线F(x)=0关于直线Ax + By + C = 0成轴对称的曲线是2A(Ax + By + C)2B(Ax + By + C)户(X历 Z7S y7S) U./T +歹/T+歹特别地，曲线F(x, y) = 0关于原点O成中心对

5、称的曲线是F(x, y) = 0曲线F(x, y) = 0关于直线x轴对称的曲线是F(x,y) = 0曲线F(x, y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0. 曲线F(x, y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F(”x) = 0.曲线F(x, y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F(y,x) = 013國锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数纟，若0丘1, M的轨迹为双曲线.注意：仁还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定艾？2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1) 在椭圆中：是长半轴，是短半轴，c是半焦距，其中bS

6、e = -0e)是离心率，匕是方2准心距，二是准焦距,一是半通径.(3) 在抛物线中：是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定艾解题时.你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序？(到定点的距离比到定 直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)？等轴双曲线的离心率是多少？ ( =血)5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式A20的限 制.(求交点，弦长，中点，斜率.对称，存在性问題都在4 0下进行)注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当厶。时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于 两点和直线与双曲线两支

7、各交于一点两种情况)：当4 = 0吋，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一 条渐近线平行，当Ab0)的左焦点Fi任做一条不与长轴重合的弦AB,F2为椭圆的右焦点,U ABFi的周长是 D()(A)2a(B)4a(C)2b(D)4b2.设a,beR.a2 +2b2 =6,则a+b的置小值是()(A) 2d(B) 耳(C)-3(D)雪3椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为()(A) -(B)佥 (C)遇 (D)丄或兰223224设常数m0,椭圆x2+m2y

8、2=m2的长轴是短轴的两倍，则m的值等于()(A) 2(B) 42(C) 2 或丄 (D)或巴2 22 25 过椭圆爲+ = l(db 0)的左焦点斥作x轴的垂线交椭圆于点P.化为右焦点，若FXPF. = 60 ,则 /T椭圆的离心率为()(a)t(b)t6如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的()(A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7当关于x,y的方程x2sin y2cosor =1表示的曲线为椭圆吋，方程(x+cosor )2+(y+ sintz )2=1所表示的圆的圆心 在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

9、 (D)第四象限&已知椭圆的焦点为FF2,P是椭圆上的一个动点，如呆延长FiP到Q使得|PQ| = |PF2|,那么动点Q的轨迹是 ()(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9已知椭圆+ = 1与圆(xa)2+yJ9有公共点，则a的取值范国是()94(A)-6a6(B)0a5(C)a2 Fz,椭圆的离心率是(D)|a|/2(B)2(C)巧 (D)313已知&是椭圆的两个焦点，满足= 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()(A)(0,l)(B)(0,l(C)(0,爭(D)孚 1)14 一个椭圆中心在原点，焦点斥、巴在x轴上,P (2, VJ)是椭圆上一点，且IPf；l、l斤打l

10、、l啓I成等差数列.則椭圆方程为()(A) +21 = 1(b) +21 = 1(c) -4-21 = 1(D) -4-21 = 1861668416415若椭圆上+二=1的离心率是丄，则a的值为d + 89216椭圆x2cos2a+y2=1 (0az?0)的左、右焦点分别为斥(一0),只(0),若椭圆上存在一点P使 cr lr=1上的一点,斤尸2是椭圆的焦点，且Z F1MF2=90,则厶FiMFz的面积等于19 与圆(x+1 )2+y2二1相外切，且与圆(x 1 )2+y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是x = 4cosa, ,n20设椭圆 (a为参数)上一点P与x轴正向所成角z POx二二

11、，则点P的坐标是_y = 2 J3 sin a321 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + = l(“b0)的焦距为2c,以0为圆心，a为半径作圆M ,若过P(/,0)cr 少c作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为22 已知直线/ :y=mx+b,椭圆C:-+y2=1,若对任意实数mJ与C总有公共点，则a,b应满足的条件是.23 椭圆 Fz为双曲线 y2 =-1的两个焦点，点P在双曲线上，且Z fiPf2=90,则厶F1PF2的面积是.42双曲线焦点在y轴上，且一个焦点在直线5x-2y+20=0上,两焦点关于原点对称则此双曲线的方程是 a 33 已知双曲线=1的焦点为斥、F2 ,点M在双曲

12、线上且Mf；丄兀轴，则斤到直线行M的距离为632224 已知双曲线三_ 一 2_=1 (a0,b0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A. OAF的面枳为 J (0 a2b22为原点)，则两条渐近线的夹角为.5已知定点A、B且|AB| =4,动点P满足|PA|-|PB|=3)|PA|的置小值是2 26 已知Fu F2是双曲线丄r-=1(。00)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MFiFz,若边MR的中点 lr在双曲线上，则双曲线的离心率是.x2 V27过双曲线 =一 = l(a0, b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于人仁N两点，以加N为直径的 cr lr國恰好过双曲线的右顶

13、点,则双曲线的离心率等于2 2&双曲线二一丄_ = 1上点p到左焦点的距离为6,这样的点有个.4129. 直线护+3与曲线卜畔皿交点个数是10. 双曲线的两准线间的距离是焦距的右，则此双曲线的离心率为7已知双曲线的渐近线方程是y = 士壬厂且双曲线过点(3, 4),则双曲线的离心率为，双曲线的方程为12 设连接共純双曲线四个顶点和四个焦点所成两个四边形的面积分别为S仃S2,则()max为.14 已知双曲线经过A(-13已知双曲线的两个焦点坐标为fi(0,-10), r2(0,10)且一条渐近线方程是4x-3y = 0,则双曲线的标准方程为，且与另f曲线I,有共同蹄近线，则此戏曲线的标准方程是1

14、5已知双曲线的一条渐近线方程是3x + 4y = 0,焦点是椭圆盖25=1与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是丄16 已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是60。，则此双曲线的离心率为.9直线y = xl被双曲线,2屮-才=3所截得弦的中点坐标是,弦长是17.已知关于x,y的二次方程(4-m)x2 +(16-加)尸=府-14加+ 48表示的是双曲线，则m的取值范国是.已知双曲线方程为=1,经过它的右焦点尸2,作一条直线.使直线与双曲线恰好有一个交点，则该直 169线的斜率是.19. 已知双曲线方程为于-屮=4,过一点P(0,1),作一直线/，使(与双曲线无交点,則直线(的斜率k的集合是.20. 双

15、曲线寻气 =1右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5:3,则P点右准线的距离为.21 以2x3y = 0为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是22. 双曲线的离心率=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是.23. 双曲线x2-y = l的渐近线中,斜率较小的一条渐近线的倾斜角为.24若双曲线二-二=1的一条渐近线的倾斜角为锐角a 则双曲线的离心率为6?* lr25 已知双曲线的渐近线方程为3x4y = 0,一条准线的方程为5，+ 3占=0,则双曲线方程.26双曲线+ = 1的离心率e e(l ,2),则k的取值范围是4 k2 2 27椭圆+ = 1与双曲线二一22 = 1

16、的焦点相同，则a二4/a 22&如图，04是双曲线的实半轴,0B是虚半轴尸为焦点.且ZBAO = 30, S KF = 1(6-33),則该双曲线方程是.29 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2 +y2 = 17相交于点4(4, -1),若圆在点4的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程.30双曲线与椭圆+ = 1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.273631 直线y =丄兀+2与双曲线兰-兰=1的两个交点与原点构成三角形，求此三角形的面积.39432.已知双曲线b2x2-cry1 =a2b2J有一点 P,焦点为戸、石，且 ZF、PF = a ,求

17、证：=b2-ctg . 33斜率为2的直线(被双曲线二- =1得的弦长为-V15 ,求直线(的方程.32534.已知P为双曲线x2 -4/ =4上的动点，Q是圆屮+(y-2)=扌上的动点，求的炭小值。35 双曲线的方程是-/=1.4(D直线(的倾斜角为于，被双曲线截出的弦长为求直线(的方程.(2)过点P(3)作直线化使它截出的弦长恰好被点P平分，求的方程.35求与ffl A： (x+5)2+y2=49和圆6: (x-5)2+y2 =1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.36.已知双曲线的焦点为Fi (c,0)、Fa ( c,0)，过&且斜率为*弓的直线交双曲线于P、Q两点， 若OP丄OQ, I PQ

18、 I =4,求双曲线的方程拋物线练习1. 抛物线x2=4y的焦点弦的长为斗，则此弦的倾斜角为()(A)60(B)30(C)60 or 120(D)30 or 1502. 过抛物线=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条 (D)不存在3方程 J2(x-1) +2(y-l) =|x+y+2| 表示的曲线是()word(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)原点4已知A(0,4),P为尸x?+1上一点剧|PA|的最小值是()(A*(B)竺 (C)1LL (D)V32 2 25.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q若过点Q的直线I与抛物线有公共点,则直线I的斜率的取值范围是()(A)丄，-(B)-2, 2(C)-1, 1(D)-4, 42 26若曲线C与拋物线y2=4x-3关于直线x+y=O对称,則曲线C的方程是()(A)x24y3=0(B)x2+4y+3=0(C)y2+4x+3=0(D)x24y+3=07抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为&抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(-5,