数值分析报告整理版试的题目及问题详解

1、例1、 已知函数表X-112f(x)-304求f （x）的Lagrange二次插值多项式和Newton次插值多项式。解：（1）由题可知卜1|12yk31插值基函数分别为lo(x)Xf XX2二 X1X2 j x-1 X 26l2（X）X0 XiX0 X2-1 -1 ? -1 -2X -勺 X - x2x 1 x -2Xi -X0XiX21 1 1-2XX。Xfx 1 x-1li(x)1 x 1 x 一2(x_1 x+1)X2 -Xo X2 -X12 1 2-13故所求二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)二 ykh xk=01 1 13 6 X-1 x-20-2 X 1 x24 1 x 1 x-

2、114x -1 x -2 亍 x 1 x-1= 5x2 3x7623(2) 阶均差、二阶均差分别为fX0,xJ = 0栄x X111 2f Xz = d f X =0 4 =4一x21-23 _f咕,为丨-f %,X2丨匚一45II = * 1,X2f Xo，X1，X2X0 -X2均差表为精彩文档Xkf (Xk)一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多项式为F2x =fX0flxo,X X-Xof|Xo，Xi，X2! X-X0X-X352 X 16 x 1 X-15 2 37X X -6 23例2、设 f (x) =x2 3x 2 , x 0,1,试求 f (x)在0,

3、 1上关于(x) =1，:二span;1,X?的最佳平方逼近多项式。解：若：二spani1,x ，则 (x)=1，护1(x)=x，且 P(x)=1，这样，有11210, 0= 1dx =1,1, 1 二 x dx =-00310,1 二 1, 0xdx=20 21f, 0 = x2 3x 2 dx =0236f,；112=x x 3x 2 dx =r n2312a0 L6，经过消元得1 1匕19.23 一L.4 一0所以，法方程为1211223161.3再回代解该方程，得到 印=4，a。-116故，所求最佳平方逼近多项式为S*(x)=4x例3、 设 f(x)=eX， x0,1，试求 f (x)

4、在0, 1上关于 P(x)=1，=spa n1,x的最 佳平方逼近多项式。解：若门- span：1,xf，则 0(x) =1， ：1(x)=x，这样，有0,0 产 jldx =1011，1= X2dx0110,” ：1,0二 xdx =2021f, 0 = eXdx =1.718301f, 1 = xexdx =10所以，法方程为解法方程，得到a。=0.8732 ,印=1.6902 ,故，所求最佳平方逼近多项式为S；（x） =0.8732+1.6902X例4、用n =4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分解：（1）用n =4的复合梯形公式由于 h =2， f x = x，xk -1 2k 1,2

5、,3，所以，有h3f 1 2、f Xk f 92k =1* 1235、7 亠 J9=17.2277（2）用n =4的复合辛普森公式由于 h =2， f x i；f ?x， xk =1 2k k =1,2,3 ，=2 2k k=0,1,2,3，所以,3+ 2迟 f (耳)+f (9 kJ1 _ _ _ _1 亠 4 ： f f 2 亠 i 4 亠6 亠.8 亠 2 t i 3 亠.5 亠.7 i 亠 3 3= 17.3321例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。12x1 -3x2 3x3 =15-18X| 3x2 -x3 - -15-183-1-15 10-17/355167/617/18

6、31/6 一-183-1-15 107/617/1831/6022766/7X1 =1+x2 +x3 =6解：先消元12315 1(Ab )=-183-1-15i1116 一-183-1-15r1T2、-12-33151116一2m21亠-,第1行（-m21）第2行“第2行Tm3!,第1行（531）第 3行,第 3行18卜 18 3-1-10 7/6 17/18 310-17/35m32 -_6，第2行（_m32）第3行第3行再回代，得到x3 =3，X2 =2，7一所以，线性方程组的解为x1 =1 ， x2 =2， x3 =3例 6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。-x1+-X2+$ =

7、94561丄1丄1xix2x3 =834_X +x2 +2x3 =85i2解:设141A=-315141161121-3100 I U1110 01321_0u12u220u13 IU23 LUu33则由A =LU的对应元素相等，有111U11, U12, U13 二456113仙1 匕=132 , 1 1121U12 u22=厂u2260，,11121U13 U23 = - ： U23 -545I31U13 I32U23 U33 =2 =13111 1-1001456411A = LU =1003一60一452-361001315 一I31U12 I32U22 =1=132 = -36 ,因

8、此,101-36y2 = -4 , y3 = -15414解Ux =y，即001601 1614513_x订-9 1X2-4吝一L-154_!,得 x3 - -177.69 ,x2 =476.92 , % - -227.0815所以，线性方程组的解为旨=-227.08 , x2 =476.92 , x3 二-177.691、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U ,使A二LU唯一成立。()2、当n8时，Newt on cotes型求积公式会产生数值不稳定性。 ( )210%A =1114、矩阵012丿的 2范数 IIA 2 =9O ()2 aa0 3A =0a05、设 -3

9、24 . 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A . 5 B . 6C. 7 D . 8211、设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,贝U抛物插值多项式中x的系数为(A )。A .- 0 . 5 B . 0 . 5 C . 2 D . -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A . 3 B . 4C. 5 D . 213、( D )的3位有效数字是0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418(D) 235.54 X 10- 114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把

10、方程f(x)=0表示成x= (x)，则f(x)=0的 根是(B)。(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y= ：:(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x 与y=(x)的交点|3xx2 4x3 = 1 - + 2x2 _9x3 = 015、 用列主元消去法解线性方程组厂4人-3X2 +忑1，第1次消元，选择主元为(A )。(A) 4(B) 3(C) 4(D) 916、 拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(B)Rn(X)=f(X

11、)_Pn(X)=f( J(n +i)!(C)（D）17、等距二点求导公式f(x,x0,xi,x2,xn)(x x0)(x xi)(x x2)(x xn i)(x xn),f(n 卑(Rn(X)=f(X)Pn(X)ni(X)(n +i)!f(x1)( A )。f(Xi) - f (X0)(A)Xi X0(B)f(Xl)f(X0)(C)X0 Xif(X0)f(Xi)X0 Xi(D) f(xi) - f (X0)XiXo18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A ）,则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f（x）=0的根。(A) f (Xo)f (x) 0(B)f(Xo)f(

12、x) .0(C) f(Xo)f (x) ：0(D) f (x。)f (x) ： 0i9、为求方程x3 x2仁0在区间i.3,i.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并 建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A ）。2X(A),迭代公式:Xk ix -i(B)x = i 丄，迭代公式：xk彳X=i2Xk(C)=i x2,迭代公式:Xk i=(i x：)i/3(D)x3-1 = X2,迭代公式:Xk ii x2 Xk i2i、解方程组 Ax二b的简单迭代格式（1） （A）：i, （2） （B）：1(k 1)(k)x Bxg收敛的充要条件是(?(A) 1, (4)(B) 122、在牛顿-柯特斯求积

13、公式:bf(x)dxan：(b-a)，Ci(n)f(Xi)i =0中,当系数（n）Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1） n -8，（2） n -7，（3） n -10，（4） n -6，23、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1） 二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取、3 ： 1.732计算x = （ 3 一1）4，下列方法中哪种最好？（）16(A)1628、(A)形如f (x)dx A f (x1) A2 f (x2) A3 f (x3)a的

14、高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为29、计算(A)(B)7 ；( C) 5 ；i 3的Newton迭代格式为()xk3-2 Xk(D)xk3xk ,kk 书22X；(B)22Xk ；(C)Xk厂兰2Xk ； (D)Xk 1 二昼- k 13Xk。用二分法求方程 次数至少为()(A)10 ；(B)1230、X34X2 -10 =0在区间1,2】内的实根，要求误差限为；(C)8；(D)9。32、 设li(x)是以Xk二k(k =0,1,山,9)为节点的Lagrange插值基函数，则(A) X ；( B)k ；( C) i ；33、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)

15、5 ；(B)4；(C)6；(D)3。335、已知方程x -2x- 5=0在x= 2附近有根，下列迭代格式中在(D) 1。Xo=-10,2，则对分9Zk =0kh(k)二(=2不收敛的是xk 1(D)(2 x； 53 斤-2。X01234f(x)143-5(A) Xk 1 二申 2Xk 5 ； (B) Xk ； ( C) xk 1 = Xk _ x-36、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4 ；(B)2；(C)1；(D)3。5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()；(B)9 ；(C)10；(D)11。是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)37、(A)8X11.52

16、2.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.55;3 ；( D) 2。(B)4 ；(C)b(A)28-16、，3 ；(B)(4-2 卯；(C) (4 2、3)2 ；(D)(-3 1)4。27、由下列数表进行 Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是()1、已知观察值(x，yi)(i =01，2,，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。()2x2、 用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(X -X)(X -X2)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。广3-25、矩阵A= 111、用高斯-

17、塞德尔方法解方程组求按五位有效数字计算）。I高,并求其代数精度；利用此公式求2 11x（保留四位小数）1 15 32 5丿具有严格对角占优四、计算题:4x1 2x2 x3 = 11x-i 4x2 2x3 二 182x1 X2 5x3= 22，取 x=(0,0,0)丁，迭代四次(要答案：迭代格式x；k。J(11-2x2k)-x3k)4(k 卅)1 o *制 c *) X2= (18 - 捲2x3 )4=2(22-2x15-XT)kx1k)x2k)x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202

18、.48203.7019f (x)dx A f(1) + f (1) + B f ( ) + f ()2、求A B使求积公式42丿2刀的代数精度尽量答案：2f（x） =1,x,x是精确成立，即2A 2B =2 1 2 2A B23A,B芒得 991 1 8 1 1求积公式为卄畀(一1)屮1)寸(一2)q2 1当f(x) = x3时，公式显然精确成立；当f(x) =x4时，左=5，右=3。所以代 数精度为3。匸dxP打丄dt J丄+丄+亠1 xJt 39 -13139-1/2312397140:0.692863、已知Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插

19、值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。L(x) = 2(X -(x _ 4)(x _勺 6 (x _1)(x _ 4)(x _ 5) 答案：3-(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)(3 -1)(3 - 4)(3 - 5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(x-1)(x-3)(x-4)(4 -1)(4 - 3)(4 - 5)(5 -1)(5 - 3)(5 - 4)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014P3(x) =N3(x) =22(x -1) -(x 1)(x -3)(x -1)(x -3)(x -4)4f(2) ： P3(2)

20、=5.56、已知sinx区间0.4 , 0.8的函数表Xi0.40.80.50.60.70.389420.479430.564640.64422yi0.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差M 3|R2(X)| 才3&)|尽量小，即应使3(X)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果SinO.63891 ： 0.596274，且sin 0.63891 -0.5962741 兰一|(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891

21、0.7)3!0.且f (x) =ex 10 0对一(-:：，r)，故f(x) =0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)变形为x(2_ex)10则当x (0,1)时(x)1(ex)|：(x)X10 ,x e10故迭代格式1 xXn.i 市(2 一 en)收敛。取X。=0.5，计算结果列表如下:n0123X0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 IX7x6 |乞0.000 000 95 c 10* 所以 x* 止 0.090

22、525008X +2x2 +3x3 =142x1 5x2 2x3 = 188、利用矩阵的LU分解法解方程组 3x1 x2 5x3 = 20答案：解:A=LU = 211-43 _5 1 _24 一令 Ly = b得 y = (14,_10,_72)T , Ux = y 得 x = (1,2,3)T3x2x210x3 二 15 10X1 4X2 - X3 = 59、对方程组 2X1 +10x2-4x3=8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值x(0) =(0,0,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求| X(k 计)_ x(k) |： ： 10 七解：调整方程

23、组的位置，使系数矩阵严格对角占优10X -4x2 - x3 = 52X + 10x2 - 4x3 = 8 3X +2x2 +10x3 = 15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为4x2k)+ x3k)+5)七心)=丄(-2x1)+4x3k)+8)10x3k*)=丄(_3x1k41)2x2k41)+15).3 10 1 2取X(0) =(0,0,0)T,经7步迭代可得：x* :- x(7)=(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T10、已知下列实验数据Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次

24、多项式拟合以上数据1 x解：当 0x1 时，f”（x）=ex，则要求近似值有5位有效数字,R(n)(f)兰(ba)fW12n2即可,解得f (x)乞 e，只须误差，只要R(n)(ex) 12n2且dx有一位整数.R1(n)(f)e212n10-42n6102= 67.30877所以n =68，因此至少需将0,1 68等份。1-41X2-1211、用列主元素消元法求解方程组J1解:j-11-41一心T 5_ 43-125_43-121-11_ 4：21111 _I21111 一1山32113r213回代得-5-43-12-5-43-12 1128131790*055555513179128.00

25、_ -555-1555 一5-43-12 11 2 A53 -215135155_1379551312、取节点X。=0, xi = 0. 5, X2 = 1 ,求函数 f(X)=e在区间0,1上的二次插值多项式解:B（x）,并估计误差。P2(x)匕-0.5)(x - 0 . ea(0-0.5)(0-1)(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)e (X _ 0)(x - 0.5)(1 -0)(1 -0.5)0 5_1=2(x0.5)(x1)4e .x(x1) 2e x(x0.5)f (x)二 e： f (x) - -e = M 3 二 max | f (x) 1= 1又X 0,1故截断误

26、差|5|宀吓)|40”1)|o14、给定方程 f（x） = （x-1）eX -1 =01）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。x解: 1）将方程（xT）e -1 （ 1）改写为x _1 = e（2）作函数f1（x） =XT，f2（x）二e的图形（略）知（2）有唯一根八（1,2）x2）将方程（2）改写为x / e-_ ,_xkxk半=1 +e k构造迭代格式X。=1.5（k “1,2,）计算结果列表如下：k1234567891.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784Xk

27、3199264763) W(x)=1+e (x)=e当 x 1,2时，（x），（1）1,2，且（x）国 e1 ：1所以迭代格式Xk .1：（Xk） （k二。，1,2,）对任意X。1,2均收敛。15、用牛顿（切线）法求3的近似值。取Xo=1.7,计算三次，保留五位小数。解：3是f（X）=x2-3=0的正根,f （x） =2x，牛顿迭代公式为Xn -3Xn 1 7 -2Xn ，即Xn3巧药（n，2,）取Xo=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.732055)的16、已知f （-1）=2，f （1）=3，f （2）=-4，求拉格朗日插值多项式L2（x）及f （1，近似值，取

28、五位小数。H 3(X %-2)_4(X 心)解：(-1-1)(-1-2)(1 1)(1 - 2)(2 1)(2-1)2 34(x T)(x -2) (x 1)(x -2) (x 1)(x -1)3 23f(1.5) ： L2(1.5)=丄：0.041672417、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）并求误差估计1 X1 0 r 01 32 3、1 re dx “3 =e +2(e+e )+e；t 1.7342解：02 3L xxf (x) =e , f (x) =e , 0MxM1 时，|f(x)|3e0.025 乞 0.05108*3015、1-31x2-1J -1 4C8至少有两

29、位有效数字。T,列表计算三次，保留三位小数。 迭代格式为：18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取 x(0) =(0,0,0)解: Gauss-SeidelX1(k 1)x2kx3k1(-x1k 1)3J(-X14-x3k)x2k d)5)-8)31系数矩阵0-3-1取 x=(0,0,0)4 -严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.列表计算如下：kx1k)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526T220、( 8分)用最小二乘法求形如 y = a bx的经验公式拟合以下数据:Xi192530

30、38Yi19.032.349.073.32解：门-span1, x T 1 1 1 1A1 = IJ92 252 312 382 一 yT=19.0 32.3 49.0 73.3】解方程组A AC二y其中S爲3黑03心=严1$79980.7 一C 0.9255577 解得：|0.0501025所以 a = 0.9255577, b= 0.0501025edx21、（ 15分）用n = 8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0差。用n = 8的复化梯形公式（或复化b 一 a11|RTf =h2f “）兰石12时，试用余项估计其误 Simpson公式）计算出该积分的近似值。111F =

31、0.00130212 82768解：h7T(8H-f(a)f (Xk) f (b)2k 411 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207)+ 0.36787947= 0.632943422、（ 15分）方程X3 -X-1 = 0在X =1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） x = 3 x 1对应迭代格式Xn 1 = 3- Xn 1 ； （2） X 迭代格式Xn 1 = Xn -1。判断迭代格式在 精确到小数点后第三位。1+-禺也二仆丄3X对应迭代格式Xn ；（ 3）X = X- 1

32、对应Xo =1.5的收敛性，选一种收敛格式计算 x = 1.5附近的根,（A(x) = (x +1)解: (1)3.5） O1，故收敛;(x)(2)(3)： (x)= 3x2选择(1): X。=1.5,X5 =1.32476.17，故收敛；(W = 3 1.51，故发散。X1 =1.3572 X2 =1.3309 x 1.3259 X4 =1.3249? ? ? X6 =1.32472，其中431f24 134-1f =30-T 4 -i-24 _23、（ 8分）已知方程组A 二AX =(1)(2)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 求出Jacobi迭代矩阵的谱

33、半径。解：Jacobi迭代法:T(243x2k)4dl(33x1(k) -x3k)4f 】(24x2k)4k = 0,1,2,3,XiX3x；k。J(24 3x2k)4x2k1)J(30 3xm4x3k d)二(一24 x2k1)4Gauss-Seidel 迭代法:k = 0,123,1Bj D (L U)二_340343458(或旦)=0.790569425、数值积分公式形如10 Xf(X)dX ： S(x)= Af(0)Bf (1) Cf(0)Df (1)试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽1量高；(2)设f(x)，C40,1，推导余项公式R(x)0Xf(x)dx-S(x)，并

34、估计误差。f() 12 3a，b = Z,b =丄 d丄解：将f(x)曰必x ,x分布代入公式得：20203020出化)=f(xj构造Hermite插值多项式Hx)满足iH3(Xi) = f Xi)i =0,1 其中 x = 0* =11则有：0XH3(x)dx=S(x)f(x)-H3(x) =%2&-1)2宀)x3(xMdX4!(4)()Xxdx 二亠f(4)()4!27、( 10分)已知数值积分公式为:4! 601440hh20f(x)dx f(0) f(h)hf(0f(h)，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) -R(x)xf(x) -S(x)dx 二显然精确成立;hh2hf (x)二 x时,o xdx 右=-0h h21 _1f(x) =x2 时,f(x) =X3 时,f(x) =x4 时,2dxh 3xdxh 4x4dxh33h44h5h 220 h2h20 -2h二 2h3122弓0 h存0-3h- 2h=：2丄12 -0 h4 丄h20 4h3二2 12h5所以，其代数精确度为 3。28、( 8分)已知求-a(a 0)的迭代公式为:1 aXk 1(Xk)X。0 k= 0,1,22 Xk证明：对一切k二1,2，Xk 一 V，且序列 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。xk 1(xk)2、xka k = 0,1,2