关于二项分布与超几何分布问题区别举例

1、关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例概率问题是历年高考必考内容，也是高考试题研究的热点话题；因此，对于这部分内容，我们在备考复习中也投入了大量的精力，作了充分的准备；然而，在平时的练习和模考中，经常会发现学生的错误频频，准确地讲：对“二项分布”和“超几何分布”的概念模糊，判断不准，互相误用，导致错误；为此，本文对“二项分布”和“超几何分布”的概念和应用作出具体的剖析.一基本概念1.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X=k发生的概率为：P(X=k)= ,k= 0,1,2,3,m；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N

2、N*为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X服从超几何分布.其中，EX= n 2.二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,n),此时称随机变量X服从二项分布. 记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1)“二项分布”所满足的条件 j每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.k各次试验中的事件是相互独立的；l每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不

3、发生；m随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. (2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布; (3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.事实上，对于“超几何分布”中,若p= ,则EX= = n.“超几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化. 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容

4、量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的二典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则；因此，的分布列为0123（2）不放回抽样时，取

5、到的黑球数可能的取值为，1，2，且有：；因此，的分布列为012例2.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为

6、： P = = ，则XB(3,);P(X=0)= C30( )0(1- )3-0 = ;P(X=1)= C31( )1(1- )3-1 = ;P(X=2)= C32( )2(1- )3-2 = ;P(X=3)= C33( )3(1- )3-3 = ;EX = 3= .说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望”.那么X服从“超几何分布”，即：P(X=k)= ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3= .例3.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产

7、品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)= = , P(A2)= = , P(A3)= = ; 所以，P = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)= .(2)X=0，1，2，3; X服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一

8、件三等品)= = ; P(X=1)=P（二件一等品，一件二等品） = = ;P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)= = ; P(X=3)= P（三件一等品，零件二等品）= = ;EX = = = 0.9 说明：谨防错误地认为随机变量X服从二项分布，即：XB(3, ).例4.设不等式x2+y2 4确定的平面区域为U，x+y 1确定的平面区域为V.(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；(2)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望. 分析：对于问题(1)：基本事件个数为有限个，每个事件发生的

9、可能性相等，因此，问题（1）是古典概型；对于问题（2）：基本事件的个数是无限个，每个事件发生的可能性相等，因此，（2）是几何概型，随机变量X服从二项分布.解：(1)依题意可知：平面区域U的整点数为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),( 2,0),(1,1).共有13个.平面区域V的整点为：(0,0),(0,1), (1,0)共有5个，因此，P = = .（2）依题可得：平面区域U的面积为S= p22= 4p， 平面区域V的在面积为S= 22= 2, 在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为：p = = . X的可能取值为：0,1,2,3, 则P(X=0)=C30( )0(1

10、- )3 _ 0 =,P(X=1)= C31( )1(1- )3 _ 1 = ,P(X=2)= C32( )2(1- )3 _ 2 = ,P(X=3)= C33( )3(1- )3 _ 3 = X的分布列为：X0123pEX = 0+1+2+3= 或X(3, ), EX = np = .说明：谨防以下错误：（1）对于问题（1）按二项分布计算概率.即：在区域U内任取一点，此点恰在区域V中的概率为:p= ,则在U中任取3个整点，恰好在区域V内有两个整天点的概率为：P(X=2)=C32（）2（1- ）3-2= .(2)解答第（2）时，利用第（1）的结论.例5.某高中社团进行社会实践，对25，55岁的

11、人群随机抽取n人进行一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图14所示统计表和如图2各年龄段人数频率分布直方图：组数分 组时尚族的人数占本组的频率第一组25，30)1200.6第二组30，35)195P第三组35，40)1000.5第四组40，45)a0.4第五组45，50)300.3第六组50，55)150.3 ( 图1 )年龄频率/组距o253035404550550.010.020.030.040.050.060.070.08图 2请完成以下问题：(1) 补全频率分布直方图，并求n,a,p的值；(2) 从40，45)岁和45，50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在40，45)岁的人数为X,求X的分布列和期望E(X).解：(1)第二组的频率为：1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3高为= 0.06 ；第一组的人数为：=200,频率为：0.055=0.2, n = =1000.第二组的人数为：10000.3=300,p=0.65第四组的频率为：0.035=0.15,第四组的人数为：10000.15= 150；所以，a = 1500.4 = 60 （2）40，45)岁和45，50)岁年龄段的“时尚族