浙江师范大学《高等数学》d12_3幂级数

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项无穷级数函数项无穷级数 ，简称（函数项）级数.对,0Ix 若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数

2、, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域发散域 .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 在收敛域上, 对应于任意x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，有一确定的和, )(xS称它为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有：, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即是 x 的函数，高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学

3、数理与信息工程学院例如例如, 等比级数它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如, 级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散 ;所以级数的收敛域仅为. 1x,)1,1(时当x有和函数 ,1时收敛当x,10时但当 x高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxa

4、a2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.其收敛域与发散域, 即nnxxa)(0称 常数乘幂函数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院收敛收敛 发散发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x ，幂级数都绝对收敛绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院证证: 设

5、x0，是幂级数的收敛点，即00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛,则必有),2, 1(0nMxann于是存在 常数 M 0, 使nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0则有级数一般项的绝对值：当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,

6、 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,证毕高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = + 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ; 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院推论推论 ： 若幂级数0nnnxa,0点收敛

7、一不是仅在x也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的时，幂级数绝对收敛；当Rx 正数R存在 ，使得：时，幂级数发散；当Rx .可能发散时，幂级数可能收敛也当Rx (-R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， (-R , R ) 称为收敛区间收敛区间.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xaannn1lim定理定理2. 若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，这级数相邻两项之比：1) 若 0, 则根据比值审敛法可知:x1) 当 0 时,2) 当 0 时,3)

8、 当 +时,则这幂级数的收敛半径：xaaxaxannnnnn111高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发.0R对任意 x 原级数因此散 ,因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明: :据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R当,1x原级数发散.即时,1x当,1x原级数收敛;即1x时,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及

9、收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, ,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 limn 级数为交错级数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! )

10、1(1n高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解

11、解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaR

12、x ,0nnnxcRx 则有下列四则运算:nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和以上结论可用部分和的极限证明的极限证明 .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院,0nnnxcnnnnnnxbxa00说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛

13、半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11例如例如, 设 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院性质性质1 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续.性质性质2：幂级数的和函数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.多次用上次结论，则幂级数的和函数在其收敛区间（多次用上次结论，则幂级数的和函数在其

14、收敛区间（-R,R）内具有任意阶导数内具有任意阶导数.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS 得由故得.e!0 xnnnx的和函数的和函数 .因此得设高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例6. 1nnxn求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(

15、nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例7. 求级数求级数01nnnx的和函数的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中则在 x = 1 时级数发散, 有时当,0 x高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院) 1 ,0()0, 1x)(xS,

16、)1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而 x = 0 时级数收敛于1, , )1ln(1xx,10 x) 10(x1x及,1)1 (lnlim0 xxx高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例8.2) 1(122的和求级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院31212)(nnnnnxxnxxxS1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd

17、011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS21S2ln4385)0( x)2(212xxx故高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学

18、院浙江师范大学数理与信息工程学院2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.3. 求和函数的常用方法 利用幂级数的性质 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院P281 1 (5), (7), (8) 2 (1), (3)作作 业业高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习 1. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答: 根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2. 在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能. 因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之