浙江师范大学《高等数学》d10-2二重积分计算

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第二节 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分X型区域、Y 型区域直角坐标下二重积分的计算公式应注意的问题极坐标下二重积分的计算公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分X型区域：型区域：xyO ab y=j1(x) y=j2(x)xyOab y=j1(x) y=j2(x)D ： j1(x)yj2(x)，axb xyO42Dx=y2 x=2y

2、 例如：D：xyxx21, 40 特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院d cOx x=y1(y) x=y2(y)yD ： y1(y)xy2(y)，cyd Y 型区域：型区域：d cOx x=y1(y) x=y2(y)yxyO42Dx=y2 x=2y 例如：D：0 y 2， y2 x 2y 特点：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xyO若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干2D1D3

3、DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD则则 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院练习：练习：把下列区域表为把下列区域表为X-型区域和型区域和Y-型区域：型区域：yOx1D1(x-1)2+y2=1yOxx=y2y=x2D2D3xyOx2+y2=4x2+y2=1114x=y2x= y +2xyO1高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院曲顶柱体体积的计算：曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)0，则以曲面z f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的曲顶柱体的体积为dyxfVD),(xyzOab zf(x,

4、 y) y=j1(x) y=j2(x)x0A(x0)()(000201),()(xxdyyxfxAjjDbadxxAV)(根据求截面面积为已知的立体体 积的方法，曲顶柱体的体积为设 D 为X型区域：D ： j1(x)yj2(x)，axb 任意取一点x0 a，b ，平面xx0 截曲顶柱体得一截面， 其面积为)()(000201),()(xxdyyxfxAjjdxdyyxfbaxx ),()()(21jj高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 类似地，如果区域如果区域D 为为Y 型区域：型区域：D ： y1(y)xy2(y)，cyd .，或记为二重积分的计算公

5、式：二重积分的计算公式： 设设 D 为为X型区域：型区域：D ： j1(x)yj2(x)，axb 则有则有二次积分dyxfD),(dxdyyxfbaxx ),()()(21jjdyxfD),(baxxdyyxfdx)()(21),(jjdyxfD),(dcyydxyxfdy)()(21),(yy高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院成的闭区域 解法1，画出区域D， 可把可把D看成是看成是X型区域：型区域： 1x2，1yx dxyD 211xdxxydy21122dxyxx213)(21dxxx21242421xx89Ox y12 y=x12(x, y)(x

6、, 1)x于是1yx1x2 例例 1 计算dxyD，其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围 例1 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 也可以把D看成是Y型区域： 1y2，yx2 成的闭区域 解法2，画出区域D，Ox y12 y=x12(x, y)(2, y)1y2 yx2 ydxyD89于是 212ydyxydx21222dyxyy213)22(dyyy21428yy 例例 1 计算dxyD，其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围 例1 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院dxyD 212ydyx

7、ydx21222dyxyydxyD 211xdxxydy21122dxyxx应注意的问题：应注意的问题：212yxydxdy22212yxydy211xxydydxxyxdx12212 dxyDdxyDdxyDdxyD211xxydydxxyxdx12212 212yxydxdy22212yxydy211xydyxdx21122dxyxx21222dyxyy212yxdxydy211xydyxdx21122dxyxx 已知比较已知比较高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院及yx 所围成的闭区域 解 画出区域D，于是可把D看成是X型区域：1x1，xy1dyx

8、yD221dxdyyxyx111122 1112322)1(31dxyxx113) 1|(|31dxx103) 1(32dxx y x O1 11(x, 1)(x, x)121 y=x 例例 2 计算dyxyD221，其中 D 是由直线 y1、x1 例2 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院及yx 所围成的闭区域 解 画出区域D，于是还可把D看成是Y型区域：1y1，1xydyxyD221 y x O1 11 y=x1(1, y)(y, y)哪个二次积分容易计算？哪个二次积分容易计算？可把D看成是X型区域：1x1，xy1dxdyyxyx111122 于是又

9、有dyxyD221111221ydydxyxy 例例 2 计算dyxyD221，其中 D 是由直线 y1、x1 例2 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xyDO说明说明: 若积分区域既是若积分区域既是 X - 型区域又是型区域又是Y - 型区域型区域Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyjba)(1yxy)(2yxydc则有x)(1xyjyyyxfxxd),()()(21jjbaxdxyxfyyd),()()(21yydcyd在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，在化二重积分为二次积分

10、时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序需要选择恰当的二次积分的次序.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院所围成的闭区域 解 画出区域D，D 可表为DD1+D2：其中 D1：0 x1，xyx；D2:1x4，x2yx于是dxyDdxyD1dxyD2 10 xxdxxydy124x=y2x= y +2xyO1D1D2 412xxdxxydyxx 例例3 计算dxyD，其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所 例3 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 解解 画出区域画出区域D，124x=y2x= y +2

11、xyOD 也可表为：1y2，y2xy2于是ydxyD 2122yydyxydx212222dyyxyy2152)2(21dyyyy 例例3 计算dxyD，其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所所围成的闭区域 例3 2162346234421yyyy855高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 例4 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的的直交圆柱面所围成的立体的体积体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为D(x，y)|0y22xR ，0

12、xR，它的顶是柱面 z22xR x2y2R 2x2z2R 2Rx yzODDdxR22 RxRdxdyxR002222RxRdxyxR002222RdxxR022)(V1332R；V8V13316R高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 RxRdxdyxR002222讨论讨论 1下列积分还可以怎样写？下列积分还可以怎样写？ 2积分积分RxRdydxxR002222是否能看成是积分是否能看成是积分 与积分与积分 的乘积的乘积？RxRdydxxR002222RxRdydxxR002222 RxRdxdyxR002222或RxRdyxRdx002222，RxRd

13、ydxxR002222高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 二二 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 有些二重积分， 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便， 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单dyxfD),(这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院按二重积分的定义dyxfD),(=niiif10),(limi 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族

14、同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域， iiiirrq2)(21iirq221iiiiirrrrq2)(其中r i表示相邻两圆弧的半径的平均值xO yDr=rir=ri+riqiriqqiqqi+qi iiiirrq小闭区域的面积为：高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院按二重积分的定义dyxfD),(=niiif10),(limi xO yDr=riqqiii iiiirrq取 ， iiirqcosiiirqsin，iniiif10),(limdyxfD),(=Df(rcosq，rsin)qrdrdq于是iiiiiniiirrrrfqqq)sin,

15、cos(lim10，即高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院D 若积分区域可表示为j 1(q)rj 2(q)， aqb，D f(r cos q ，r sin q rdrdq =baqd)()(21qjqj f(r cos q ，r sin q rdrxO yqaqbr=j1(qr=j2(qa则br高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院讨论：讨论： 区域如下图，如何确定积分限区域如下图，如何确定积分限?D f(r cos q ，r sin q rdrdq =？r=j1(qxO yrq高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息

16、工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院a的圆周所围成的闭区域 解 在极坐标系中，闭区域D可表示为0ra ，0q 2 Dyxdxdye22Drrdrdeq2qdrdrear2002 qdear020212q20)1 (212dea)1 (2aexO yr = a 利用上述结果可计算出概率积分利用上述结果可计算出概率积分P150：于是220 dxexrq 例例 5 计算Dyxdxdye22，其中 D 是由中心在原点、半径为 a 例5 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院讨论讨论 1下列积分还可以怎样写？下列积分还可以怎样写？qdrdrear2002 q200

17、2arrdred 2积分q2002arrdred是否能看成是积分 与积分 的乘积？q2002arrdredq2002arrdred高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 例例6 求球求球x2 y2 z2 4a2体被圆柱面体被圆柱面x2 y2 2ax所截得的（含在所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积圆柱面内的部分）立体的体积 解 由对称性x yzO2aD2aDdxdyyxaV22244，)322(3322a20cos202244qqardrrad2032)sin1 (332qqdaDrdrdraVq2244于是2 0r2a cos q ，0q D可表示为

18、：高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院)()(,),(21qjqjbqaqrrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(qq则)()(21d)sin,cos(dqjqjbaqqqrrrrf极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为qddrrabD)(1qjr)(2qjrOx高等数学高等数学浙江师范大学