高数C2习题册答案

1、习题一定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D 2、B 3、C 4、C *5、D 二、填空题102 3 4678 > 三、求解题1求下列函数的导数（1）解： （2）解：2求下列极限： *(1) *(2)解： 解：故极限不存在。3 证明：=24解：，令，得，当时，；当时，所以，函数在内单调递减，在单调递增，在点处取得极小值=.习题二定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1计算下列定积分(1) (2)解：原式= 解：原式=(3) (4)解：原式 解：原式(5) (6)解：令 解：原式原式(7) (8)解：原式 解：原式 故 2 解：令，则令，则二、证明题1证明：令，则2证明

2、：令，则3证明：令，则4证明：，令，则 又是奇函数即是偶函数.习题三广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B 2. C 3. D 二、填空题1，>1 ,；，<1，2.，.三、计算题1判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1) (2)解：原式 解：原式(3) (4) 解：原式 解：原式2解：令，则为驻点，且时，；时，所以时，取得最小值。3. 解：=4解：5解：曲线在点处的切线为，则过原点的切线为，即故6解：7解：8解：习题四定积分及其应用总习题一、填空题12 3 4 56 708*二、计算题1解：方程两边对求导，得故，代入原方程有即那么2解：3解：，令，则故4*解：令，则5.

3、 解：三、证明题1证明：令，则2证明：令，则令，则3证法一：对右边，由定积分的分部积分公式：证法二：交换二次积分的顺序：4证明：，其中，（积分中值定理）又因为，即单调递减，故，则，那么在(0,a)内单调减少。习题五微分方程的基本概念，一阶微分方程一、单项选择题1 C 2 C 3 D 4D 二、填空题1 导数或微分 ， 常。 2 3。 3 阶 。4 初始 。5。*6。三、计算题1求下列微分方程的通解：（1） （2）解： 解：（3）（4）解： 解：令，则即故通解为（5） （6）解： 解：令，则2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）解：，又，则，故特解为（2）解：，则，又，则，故特解为（3）

4、解：，则，故，又，则，特解为3解：设所求曲线方程为，那么，且，由得，即又时，故，所以4.设可微且满足关系式，求.解：方程两边同时求导，得，解之，又，即故，那么习题六可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程一、选择题1 A 2 D 二、填空题1。2。3。 4 5二、求解题1求微分方程的通解。(1)(2) 解： 解：令，则，即2 求下列方程满足条件的特解(1)解：，又故，那么(2)，解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为，特征根，由于不是特征方程的根，故设特解为，代入原非齐次方程得，于是原非齐次方程的通解为，又，则原非齐次方程的特解为解法二：令，则，故，又，那么，所以，又，则，特解为，

5、可化简为3求下列微分方程的通解：(1) (2)解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为，特征根，特征根于是通解为 于是通解为(3) (4)*解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为，特征根，特征根于是通解为 于是通解为(5) (6)解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的的特征方程为， 特征方程为， 特征根 特征根于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为由于不是特征根， 由于不是特征根，故设特解为， 故设特解为代入原非齐次方程得 代入原非齐次方程得于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为(7) (8)解：所给微分方

6、程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的的特征方程为， 特征方程为， 特征根 特征根于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为由于是二重特征根， 由于不是特征根，故设特解为， 故设特解为代入原非齐次方程得 代入原非齐次方程得于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为(9)*解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为，特征根，由于不是特征方程的根，故设特解为，代入原非齐次方程得，于是原非齐次方程的通解为.4求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），解：所给齐次方程的特征方程为，特征根于是通解为，又，代入得，故特解为（2）,解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为，

7、特征根，由于是特征方程的单根，故设特解为，代入原非齐次方程得，于是原非齐次方程的通解为，又，代入得，故特解为5试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线解：，又经过点，故，且在此点与直线相切，则，那么，所以6设函数y(x)连续，且，求y。解：原方程两边对求导，得，解之得，但代入后习题七常微分方程总习题一、填空题13。2。3。4。二、求解题1求下列微分方程的通解：（1）解：（2）解：由 有 则设 为方程的特解有 则通解为2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），解：由 有 则 则通解为又，则（2），解：由 有 则 设 为方程的特解有 则通解为又，则3设函数, 求解：由 有 则 设 为方程的特

8、解有则通解为又则4该可导函数满足求解： 有 5设二阶常系数线性方程的一个特解为，试确定常数并求该方程的通解。解：代入有 解之有又 有 则通解为6设，是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。解：通解为则该方程为 因 有则该方程为 一般解：由 有 及 由解之有代入有7 求满足, 的特解解：由 有 则 又, 则8求满足的特解解：由 有 及由 有 则 通解为又, 则9已知常系数齐次线性方程的特征根为,试确定该微分方程解：由 有 则该微分方程为 习题八 常数项级数的概念和性质一、 选择题1 （B）2（A、D）3（A、C）二填空题1 2 三用定义判别下列级数的敛散性：1 解：级数发散。

9、2解： 级数收敛。四判定下列级数的收敛性1 解：这是几何级数，公比级数收敛2 解：原级数即是： 而调和级数发散发散3 解：级数的通项 而 由级数收敛的必要条件可知级数：发散。4 解：这是公比的几何级数级数发散5 解：几何级数：收敛 几何级数：也收敛收敛习题九 正项级数及其审敛法一、 选择题1 （B）2（C）二用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性：1 2 解： 解： 又发散 又发散级数发散 级数发散3 4。解： 解：当； 而级数收敛 此时级数发散级数发散时 当时； 此时几何级数收敛 则级数收敛。三用比值审敛法判别下列级数的敛散性：1 2 解：级数的通项为： 解：级数的通项为：级数发散 级

10、数收敛3 4 解：级数的通项为： 解：级数的通项为：级数收敛。 级数收敛。 四用适当的方法判别下列级数的敛散性：1 2 解：级数的通项为： 解： 又级数发散，由比较判别 由比值判别法，知级数：收敛。 法的极限形式知级数发散。3 4 解： 解：级数的通项为： 又收敛，由比较判别法， 知级数：收敛。 由级数收敛的必要条件知级数发散。五利用级数收敛的必要条件证明：证明：由第三题.4小题知级数：收敛， 由级数收敛的必要条件知。习题十 任意项级数的绝对收敛与条件收敛一 讨论下列交错级数的敛散性：1 解：级数通项的绝对值 又 由莱布尼兹判别法知，交错级数：收敛。2解：级数通项的绝对值 又由莱布尼兹判别法知

11、，交错级数：收敛。3解：级数的通项： 故。由级数收敛的必要条件知级数发散。二 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？1解：级数的通项： 又收敛 由比较判别法，知级数收敛绝对收敛，从而级数收敛。2解：级数的通项：级数绝对收敛，从而级数收敛。3解：级数的通项： 而收敛 故原级数绝对收敛，从而级数收敛。4解：级数的通项： 令，则 而级数发散，由比较判别法的极限形式，知级数发散。 且由莱布尼兹判别法知，交错级数：收敛。 综上知级数条件收敛。习题十一 泰勒公式与泰勒级数一、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间；1 解： 令 2 解：令3 解： 令4 解：5 解：二将下列函

12、数展开成的幂级数 1 解：令，即 2 解：三将展开成的幂级数解：习题十二 幂级数一、 填空题1 3。 2、 二、 求下列幂级数的收敛域：1解：因为 所以 收敛半径 当时，级数成为；当时，级数成为 两个级数都发散，故收敛域为 2 解：因为 所以 收敛半径，收敛域为 3 解：因为 所以 收敛半径。当时，级数成为 4 解：因为 故 当即时级数收敛；当即时级数发散，故收敛半径；当时，级数成为收敛，故收敛域为 5 解：因为 故当即时级数收敛，当时级数发散，则收敛半径为。 当时级数成为 当时级数成为 以上级数均发散。故级数的收敛域为 6 解：令，则上述级数变为 因为 所以收敛半径。收敛区间为，即 当时，级

13、数成为，此交错级数收敛 当时，级数成为，此级数发散。 故级数的收敛域为三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：1解：显然，所给幂级数的收敛区间为。收敛域为。 设 注意到s(0)=0 2. 解：显然，所给幂级数收敛域为 3解：显然，所给幂级数的收敛域为习题十三一、（1）C,（2）A，（3）A，（4）C（5）A二、三、四、（1）（2）单调递减.故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.五、证明：，而正项级数，都收敛，故与都收敛.六、见教材P467 例4七、八、（2）解：幂级数在点收敛都绝对收敛.故绝对收敛.九、解：，又当时，发散，故收敛域为.， 十、，又，故.十一、解：又当时，收敛，故当时，习

14、题十四一、（1）D，（2）C，（3）C。二、（1）过（1，0，0）点，平行于yoz平面的平面。 （2）过点（1，0，0）和（0，1，0）且平行于z轴的平面。三、（1）以Z轴为中心轴，底面半径为1的柱面。 （2）夹在平面Z=1和Z=2之间，底面半径为1的圆柱体。四、表示球心在（1，-2，0）点处，半径为的球面。习题十五一、（1）B，（2）C，（3）C，（4）D，（5）D，（6）D，（7）D。二、（1）（2）三、（1）（2）（3） 又习题十六一、（1）D，（2）C，（3）A，（4）C，（5）D，（6）A二、（1）1，（2）三、（1） （2） （3） （4）（5）（6）四、1.， 习题十七一、（1）

15、B，（2）A，二、（1） （2） （3）三、习题十八一、（1）C，（2）B二、三、四、证明：对方程两端同时对求偏导数得：同理对求偏导数得：故五、六、七、习题十九一、二、三、四、解：而，故五、8*解：习题二十一、（1）B，（2）B，（3）C二、解：，令，解出得唯一驻点.又， ，三、，四、解：（1）利润函数令解得唯一驻点（0.75，1.25），又，故点（0.75，1.25）为极大值点.即此时最优广告策略为：用0.75万元作电台广告，用1.25万元作报纸广告.（2）令拉格朗日函数令，即广告费用1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.习题二十一 一. 解 定义域为二.解 三 解四 解 。，五 解 。

16、六解 七解 。八解 九解 ，十解 ，故十一解 。十二解 十三、解：（1）设利润函数为，则，令又因最大利润一定存在，必在驻点处取得，故当时有最大利润.（2）令，那么，则令，得唯一驻点.又因最大利润一定存在，必在驻点处取得，故当时，有最大利润.显然实行价格差别策略时总利润要大些.习题二十二 一、(1).C (2).C (3).B (4).D (5).D (6).D (7).A (8).C (9).A二、（1）> (2) (3) (4)三 1 解： 。2解：3解：4解： 5解：四 1解： 2解： 3解： 4解： 5解： 6解：原式=七 1解：原式=2解：原式=八 1解：原式= 2解：原式=习题二十三一 解： 二 解： 三 解 ： 四 解： 五 解 六 解 自测题（一）一、 单项选择题题号1234567答案CBDBDCC二、 试解下列各题1、 解： 2、 解： 3、解：则 与同敛散 而