浅谈现代数学理论与中学数学的教学实践

1、浅谈现代数学理论与中学数学的教学实践 摘要：本论文主要介绍了现代数学所包含的领域，以及现代数学对中学数学教学所产生的影响。现代数学对中学数学起着主导作用，对于数学教师理解透彻的理解中学数学教学具有重要的意义，使中学数学教师能站在更高的高度上认识数学教学。并且本文通过具体的实例阐述了现代数学对中学数学教学所带来的巨大影响。关键词：现代数学；中学数学；教学实践；Discussion on modern mathematical theory and middle school mathematics teaching practiceXue FengSchool of Mathematics an

2、d Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper focuses on the areas of modern mathematics, as well as the impact of the modern mathematics in middle school mathematics teaching.Modern mathematics in middle school mathematics plays a leading role,for math teachers to

3、 understand important significance to the thorough understanding of maths teaching in middle schools,middle school math teachers can stand at a higher altitude on the understanding of mathematics teaching.And through specific examples in this article describes the modern mathematics in middle school

4、 mathematics teaching the huge impact. Key words:Modern mathematics;Middle school math;Teaching practice 当今时代是科学飞速发展，新技术迅猛增长的时代，是知识爆炸，信息高速发达的时代。现代社会的发展对人才提出了更高的要求，也引起了数学教学的任务和性质发生了根本性的变革。目前，更新旧的教学观念和教学思想，改进旧的教学方法，促进数学的学习和人才的成长已成为数学教学改革的重要任务。因此，在现代数学理论引领下加强现代数学与中学数学的教学实践研究具有巨大的意义。 近些年来，不少的中学数学教师对新课程中

5、新引入现代数学理论知识内容存在不少看法。如“现在学的部分中学数学好像与经典数学没有多大联系”；“学习高等数学内容对中学数学思维训练作用不大”。有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本不该用”等等。这些看法正如哲学家们早已指出的那样：“新的东西呈现，他们开始面对的问题好像同以往学过的东西一点也没有联系似的。当然他总是念念不忘以往学的东西。”但是身为教师，他们又突然发现，新的内容真正实用，有的只是难以考试，与经典内容有些许不同。如统计、微积分等等。要他们按传统的教法来教更新的、更深层次的高等数学，由于缺乏指导，他们需要联系当前数学的教学内容和所受大学数学训练影响之间的联系，于是需要革新相沿成习的教学

6、方法，要把他们自身所受的大学训练转化成为一种愉快的回忆，对他们的新课教学产生影响。当然产生这些疑虑和误解的原因很多，笔者认为归纳起来主要有两个方面：一是中学老师对高等数学与初等数学之间联系的意义不明，认识不足；二是目前的中学数学课程在改革后对教学目的、教材内容、教学方法等方面也确实存在一些很大的变化。探究现代数学理论与中学数学的教学实践是有很大的实际意义。一般说来，现代数学是指19世纪30年代以后诞生的数学，从那以后发展起来的非欧几何、抽象代数、集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑和数学基础等，都是现代数学内容。现代数学，跟以微积分、解析几何为基本内容的古典高等数学相比，在研究对象和研究方法上都

7、与初等数学有显著的不同。在研究对象上，初等数学以数和三维空间的图形为主要研究对象，现代数学则以任意集合及其间的种种关系为研究对象在现代数学中，数推广成一般集合的元素；数的计算推广为集合中元素的一般运算；函数推广为集合的映射；曲面、曲线推广为一般空间的任意流行，等等。如果说，恩格斯在一百多年前所说，纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，主要是对集合论产生以前的数学研究对象的科学概括的话，那么，对现代数学而言，今天就要对“空间形式”和“数量关系”做本质上的推广。“空间形式”应理解为抽象空间的任一子集；“数量关系”应理解为集合与集合之间的一般关系。在思想观念和方法上，现代数学以集合论为基础，普

8、遍采用公理化方法和数学结构观点进行统一处理。 集合论观点、公理化观点、结构观点和同构观点，是现代数学的基本观点。 此外，电子计算机进入数学研究领域，“机器证明论”的兴起，正在改变以前人们只承认逻辑证明的传统观点。在数学语言上，现代数学全面使用集合论符号和数理逻辑符号，使其语言更加统一和形式化，因此，也更加准确和简练。在应用上，不仅现代数学在力学、物理、天文、化学、机械学等传统领域中的应用不断拓广和加深，而且对于生物学、地学、经济学，甚至语言学、历史学和社会学等原来不用或少用数学的学科领域，数学的应用也越来越广泛，越来越显得重要。现代数学发展到今天，它已经划分为基础数学、应用数学和数学技术三大部

9、分，而数学技术是“未来高科技的核心”。中学数学，是指在中学数学教材和课外活动（数学竞赛等）中所包含的数学。因此，随着中学教材的改革和更新，随着数学竞赛活动的发展，中学数学的内容也在不断变化和发展。从上世纪末起到本世纪初，正是我国中学数学教学改革、教材全面更新的时期。九年义务教育初中数学教材已经普遍使用；与此相衔接的新编高中数学教材（试验本）1997年已经在部分省市试用，并将于1999年在全国使用与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等方面，有很大的进步。首先，新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中次要的、用处不大的，或者学生学习有困难的内容，如幂函数、指数方程、对数方程、一些

10、三角恒等式、反三角函数、三角方程，以及立体几何中的梭台、圆台等；新增了向量、简易逻辑、概率统计和微积分初步。其次，改革了传统数学知识的处理方式和数学语言，广泛地使用集合符号、逻辑符号和标准计量单位和符号，使用向量代数方法证明余弦定理，处理空间线、面关系。第三，高中数学不再分科编写，而是把多科数学内容总和为一门数学教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用 。与此同时，全国中学生数学竞赛，主要是全国高中数学联赛、中国数学奥林匹克和国际数学奥林匹克（IMO）的水平不断提高，现代数学的思想和方法的参透越来越普遍和深入。这就要求中学数学教师拓宽知识面，提高综合素质。因此，高师数学专业

11、不仅要有足够多的现代数学课程，而且要有相应的课程指导学生用现代数学思想、观点和方法，将高等数学与中学数学结合起来，同样要培养学生的数学应用意识和应用能力。我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别。因此，我们常常会问学习这么深的高等数学对中学数学教学有什么作用？在工作一年后，我觉得提高数学教学质量的重要途径之一就是掌握相当程度的高等数学知识。一方面，高等数学是在初等数学基础上的提高；另一方面，初等数学里很多理论证明问题只有在高等数学中才能完全解决。所以，在初等数学教学中不可忽视高等数学的作用，下面就这个问题谈一点我个人的体会和一些简单的实例。例1 讨论函数与的性质

12、。 中学数学中对正弦函数的性质讨论分为五点：定义域、值域、周期、奇偶性、单调性。这五点性质都是通过观察其图像而得出，一些问题并没有理论上的证明。首先，就作函数的图像而言，描点后，我们会说“用光滑曲线把它们连接起来”。这有何理论根据呢? 中学不能给出严格解释，这个问题主要是由于正弦函数有连续的一阶导数，是微分学范畴回答的。数学分析中也给出了函数单调性与导数符号之间的密切关系，其思想方法远超过中学数学中所应用的直观比较法。另外，数学分析中对一个函数图形的绘制还要求出渐近线、极值点以及拐点，判别出凹凸性，从而使函数图形描绘地更加准确。对正切函数,较难说明的是当趋近于时，趋向于+，只有用数学分析中极限

13、的观点才能跟学生说清楚。例2 求证：。证明：设，则从而（为常数），令，得于是 所以，利用数学分析的思想观点、原理和方法，可改变我们对一些问题的思维方式、拓宽思路，大大扩展中学数学的应用范围。例3 因式分解问题。 在中学中教材是用描述的方法讲解了因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式积的形式叫因式分解。在实际教学中，不少学生会问：是不是每个多项式都能进行因式分解呢?因式分解到底到什么程度才能结束?因式分解的形式是否唯一?这些问题只有在高等代数中才能真正解决。 高等代数中我们学过不可约多项式，“数域上次数l的多项式称为数域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘

14、积。”具体地，在复数域上，只有一次多项式不可约，在实数域上，只有一次多项式与判别式小于零的二次多项式不可约，在有理数域上，有充分性判别法Eisenstein判别法：设整系数多项式，若存在素数，使不能整除，可以整除，但不能整除，则在上不可约。学习了这些知识后，对中学的因式分解问题可以给出快速而又准确的回答。高等代数是中学代数的理论基础，中学代数只不过是高等代数最最基本的简单应用。所以我们想要教好中学代数，就应该掌握好牢固的高等代数知识。例4 设数列的通项公式，的前n项和为，求证:对任意实数x和任意正整数n总有< 2.从级数的角度来看本例,函数项级数的收敛域为R ；从不等式与数列的角度来看,

15、两个“任意”意味着要证的不等式与x , n 无关, 因此考虑放缩法：而证明是大家所熟悉的,继续放大,本题得证。 因此现代数学理论对中学教学具有重大的意义和作用。人们常说：要给学生一碗水, 自己要有一桶水。作为一名合格的中学数学教师, 不仅要通晓中学数学教材,熟悉中学数学的解题技巧,还应掌握高考数学与初等数学的内在联系,只有这样,才能在教学中真正做到居高临下。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代的数学教学。即把中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。以上的阐述，主要从数学学科自身的特点，用认识论的方法，站在数学教育的角度，简略地探讨了数学的文化价值。充分认识数学的文化价值，从文化的视角去审视数学，在实施素质教育的今天，不仅具有重要的理论意义，更具有重要的现实指导意义。总之，要力求将现代数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数学概念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找现代数学与中学数学的结合点，在现代数学观点下，继续深入研究和发掘高等数学与中学数学更普遍、更深入的联系。现代数学和中学数学是紧密结合在一起的，