《概率论与数理统计》课程练习计算题

1、三、解答题1.设对于事件A、B、C有P(A)P(B)P(C)1/4,P(AB)P(BC)0,P(AC)1/8,求A、B、C至少出现一个的概率。解：由于ABCAB，从而由性质4知，P(ABC)P(AB)0,又由概率定义知P(ABC)0,所以P(ABC)0,从而由概率的加法公式得P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)2.设有10件产品，其中有3件次品，从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？解：设A表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品"。则n()015)05件产品中恰有2件次品的取法共有C；2C3种，即n(A)C：2C3。于是所求概率为P

2、(A)n(A)/n()C3C3/C15)35/843.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。求:(1)第二次取出的是次品的概率；(2)两次都取到正品的概率；(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设Ai表示：“第i次取出的是正品"(i=1,2),则(1)第二次取到次品的概率为P(A1A2 A1A2)1022212 12 12 1210122512361 / 30(2)两次都取到正品的概率为P(A1A2) P(A)P(A2 |A1)10 102512 1236(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率为P(A1A2)4.一批产品共有10个正品2个次

3、品，从中任取两次，每次取一个(不放回)(1)至少取到一个正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。解：设Ai表示：“第i次取出的是正品"(i=1,2),则(1)至少取到一个正品的概率o求:1p(AiA2)1p(Ai)p(A2|4)(2)第二次取到次品的概率为165121166P(A1A2A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)10_2_2_112111211(3)恰有一次取到次品的概率为P(A1A2A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)1022101012111211335.一批产品共有10件正品2件次品，从中

4、任取两件，求:(1)两件都是正品的概率；(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次品的概率。解：设A表示：“取出的两件都是正品是正品”；B表示：“取出的两件恰有一件次品”C表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则(1)两件都是正品的概率-2ci15P(A)会一C2222(2)恰有一件次品的概率C110c210P(B)32210C1233(3)至少取到一件次品的概率3 / 30_2，_C10157P(C)1P(A)12°1C12222220.6,乙机床和丙机床需6.一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，(1)没有一台机

5、床需要照看的概率;(2)至少有一台机床不需要照看的概率。解：设A表示：“没有一台机床需要照看”；B表示：“至少有一台机床不需要照看“；Ci表示：“第i台机床需要照看"(i=1,2,3)。则AC1c2c3；BC1C2C3。P(A)P(CQ2c3)P(C1)P(C2)P(C3)(1P(C1)(1P(C2)(1P(C3)0.04p(b)p(C1C2C3)p(cc2c3)1P(gC2c3)1 P(C1)P(C2)P(C3)0.767.在某城市中发行三种报纸A、B、C,经调查，订阅A报的有50%,订阅B报的有30%,订阅C报的有20%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A及C报的有8%,同时

6、订阅B及C报的有5%,同时订阅A、B、C报的有3%,试求下列事件的概率：(1)只订阅A及B报；(2)恰好订阅两种报纸。解：(1)P(ABC)P(ABC)P(ABABC)P(AB)P(ABC)0.10.030.07(2)P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.070.020.050.148.一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%,从中任取一球，结果不是红球，求：(1)取到的是白球的概率；(2)取到的是黑球的概率。(1) P(A3A2)解：设Ai分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”(i=1,2,3),则问题(1)化为求P(A3|A2)；问题(2)化为求P(A1

7、|A2)。由题意A,、A2、A3两两互不相容，所以，P(A3A2)P(A3)。因此由条件概率公式得P(A3 1A2)P(A3)0.22P(A2)10.37P(A3A2)P(A2)5 / 30(2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(Al I A2)P(A0)P(A2)P(A1)0.55P(A2) 1 0.3715 / 309.已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。解：设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”；B“取到的产品

8、是B工厂的”。则(1)取到的产品是次品的概率为P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)6014027100100100100500(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为P(B|C)P(BC)P(B)P(C|B)P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)40210010047750010 .有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”B表示：“由甲袋取出的球是黑球”C表示：“从乙袋取出的球是白球”。则P(C)P(A)P(CIA)P(B

9、)P(CIB)42J2且661661211/2是第一家工厂生产的，其余两家各2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一11 .设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中生产1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有件产品，求：(1)取到的是次品的概率;(2)若已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件A表示：“取到的产品是次品”;事件A表示:“取到的产品是第i家工厂生产的”(i 1,2,3)。则 A1 A2 A3，且 P(Ai)0,A1、A2、庆3两两互不相容,(1)由全概率公式得3P(A)P(Ai) P(A| Ai)i 1100100513100400(2)由贝叶斯公式得P(A1)

10、P(A| A)P(A1|A)-1P(Aj)P(A|Aj) j 121001340041312.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为 0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求:(1)恰好取到不合格品的概率;(2)若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解:设事件A表示：“取到的产品是不合格品"；事件Ai表示:“取到的产品是第i家工厂生产的”1, 2, 3)。3则Aii 1，且P(A) 0, A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得P(A)3P(Ai) P(A|Ai) i 113.4010051

11、00由贝叶斯公式得P(A2 |A) =空工空2 37/1000100 100 100 100P(A2)P(A|A2) 3P(Aj)P(A|Aj) j 10.25 0.04 10/3737 /1000有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求:(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件A表示：“此人来迟了"；事件A分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机4来”(i1,2,3,4)。则Ai，且P(A)0,AAA3、A4两两互不相容i1

12、(1)由全概率公式得4P(A)P(A)P(A|Ai)i1311111211104531012585(2)由贝叶斯公式得P(A/A) =P(A1)P(A|A1)4P(Aj)P(A| Aj) j 13 110 4 31/5814.有两箱同类零件,第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只,今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只(有放回)，试求：(1)第一次取到的是一等品的概率；(2)两次都取到一等品的概率。解：设A表示：“取到第i箱零件”(i 1, 2) ； Bi表示：“第i次取到的是一等品” (i 1,2)；(1) P( B1) P(B1AB1A2) P(B

13、1A) P(B1A2)(2) RB1B2)P(B1B2A B1B2A2)P(B1 B2A1) P(BB A2)(10) 10 1 182 50 2 3055015.设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设A表示：“第i个电子元件被损坏”(i=1,2,3),则有P(A1)0.03；P(A2)0.04；P(A3)0.06。依题意所求概率为P(AiAA3)P(Ai)P(A2)P(A3)P(AiA2)p(AA3)P(A2A3)P(AiA2A3)0.030.040.060.030.040.040.060.030

14、.060.030.040.060.1246720.070.020.050.1416.甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为为0.5,求下列事件的概率:(1)敌机被击中；(2)甲击中乙击不中;0.8,乙击中敌机的概率(3)乙击中甲击不中。解：设事件A表布:“甲击中敌机”；事件B表示：“乙击中敌机”；事件C表示：“敌机被击中”。则(1)P(C)P(AB)1P(AB)P(AB)所以(2)(3)17.解:18.解:0.10.9P(AB)P(AB)已知P(A)由于P(AP(AB)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10.5)0.4(10.8)0.50.11/4,P(B|A)1/

15、3,P(A|B)1/2,求P(AB)。B)P(A)P(B)P(A)P(B|A)1P(AB)112P(A|B)K1P(AB)4设P(A)0.3,由于P(B|(AB(AB)BAP(BA)P(A)P(AB)P(B)1_13121120.4,P(AB)0.5,求P(B|(AB)。B)PBP(AB)BBBA,AABP(AB)1P(A)AB,ABABP(AB)0.7050.2,P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.710.40508,故P(B|(AB)安寻器1。P(AB)0.8419 .设事件A、B相互独立，已知P(A)0.4,P(AB)0.7。求：(1) P(AB);(2)P(AB)。解：由P(AB)

16、P(A)P(B)P(AB)0.7即0.4P(B)0.4P(B)0.7解得P(B)0.5所以P(AB)P(A)P(B)0.4(10.5)0.2P(AB)0.60.50.60.50.820 .设A、B为随机事件，且P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8,求:(1) P(AB);P(aJb)。解：(2) P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4(3) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.40.721 .设事件A、B相互独立，已知P(A)0.5,P(AB)0.8,求：(1) P(AB);(2)P(AJb)。解：由条件P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B

17、)P(A)P(B)0.8即0.5P(B)0.5P(B)0.8解得P(B)0.6,所以(1) P(AB)P(A)P(B)0.50.40.2(2) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.40.50.40.722.设事件A与事件B相互独立，试证明：(1)事件A与事件B相互独立；(2)事件A与事件B相互独立；(3)事件A与事件B相互独立。证明：(1)欲证明A、B相互独立，只需证P(AB)P(A)P(B)即可。而P(AB)P(AAB)P(A)P(A)P(B)P(A)(1P(B)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。同理(2)由于P(AB)P(BAB)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(

18、A)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。(3)由于P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(A)P(B)1P(A)1P(B)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。23.若P(A|B)P(A|B),证明事件A与事件B相互独立。证明：由于AABAB,且ABAB,所以P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(B)P(A|B)P(A|B)从而有P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B)故由独立性定义知，事件A与事件B相互独立。第二章随机变量及其分布三、解答题1 .设X的概率分布为X 0P

19、7/3求：（1） X的分布函数；1（2） PX 3、P11/61/2X- > P1 X2解：(1) F(x) PX0,x 01一，0 x 1x 3一,1 x 221, x 21 1PX F (-)2 23P1 X 2PP1 X 3P1-;331X - PX 1-；26331X 2PX26。2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。1、解：由题意知X服从二项分布B(3,),从而21 31PX0(1-)31；2 811123PX1C一-(1-)2-；228PX2C,(一)2(

20、11)3;228131PX3(R3鼻28即X的概率分布列为X0123Pk1/83/83/81/8由分布函数定义0,x01/8,0x1F(x)PXx)4/8,1x27/8,2x31,x33.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知X服从二项分布B(3,2),从而5PX0)(12、327一)5125PX1)C325 (12 254一)5125PX2)C；(|)2(15)36125PX3)2(5)8125即X的概率分布列为X0123Pk27/12554/12536/12

21、58/125由分布函数定义得0,x027/125,0x181/125,1x2117/125,2x3F(x)PXx)1,x30.10, 0.20,4.一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.30,假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。解：设：Ai(i1,2,3)表示：“部件i需要调整”。PX0P(A1A2A3)0.90.80.70.504；PX1P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(AA2A3)0.398；PX2p(A1a2a3)p(a1a2a3)p(a1A2A3)0.092PX3P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

22、0.0064/5,今独立重复地作刺激试验，直到发火故X的概率分布列为X0123Pk0.5040.3980.0920.0065.已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。解：X的可能取值为1,2,3,。记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示“第k次试验雷管不发火”从而得,、4P1PX1P(A)-514P2PX2p(aiA2)P(A)P(A2)-455124P3PX3P(AA2A3)P(A)P(A2)P(A3)(-)2-551k14PkPXkP(AA2Ak1Ak)(-)k1-55依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为4 1klPXk(-)k

23、1(k1,2,3,)5 56 .设随机变量X的概率密度为f(x)Acosx，x;，求：0,其它(1)系数A;(2)X的分布函数；(3)X落在区间(,一)内的概率。44解：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A及X的分布函数，至于(3)可由X的分布函数求得。(1)由归一性,f (x)dx2 Acosxdx 2A 1 万解得A1/2。(2)由连续型随机变量的定义知X的分布函数为F(x)xf (u)du当 x 一时，F(x)2f (u)du =0；当一x一时,22F(x)f (u)du2 0dxx 1 cosxdx 221-一 一sinx2 2当x时,2F(x)f

24、(u)du2 0dx万 18sxi万2dxx0dx 12故X的分布函数为0,/2F(x)(1sin x)/ 2,1,/2/212,(3)所求概率为PzXNFT7.设随机变量X的分布函数为1n,，F(x)aArctanx(求：(1)系数a；(2)X落在区间(一1,1)中的概率;解：（1）由 F（）1,-O故得2F(x)1 Arc tan x (2) P 1 X1F(1)F( 1)4)（3）所求概率密度为f(x) FArc tanx)(18.设随机变量X的概率分布为f （x）Ax,0,0 x其它1，、一， 山，工,以Y表不对X的三次独立重复观察中事件X1、，-,出现的次数，试确定常数2A,并求概率

25、PY 2。21 / 30解：由归一性f (x)dx0Axdx所以A=2。即f(x)2x, 0 x 10,其它11-px 2%)2 "X xd 2 1 一 #所以YB(3,1),从而4PY 2 = C(1)243 _94 649.在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0,5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率解：设X表示每个人等车时间，且X服从0,5上的均匀分布，其概率分布为1/5, f0,0x5其它2PX 22f(x)dx q 1/ 5dx 0.4又设Y表示等车时间不超过2分钟的人数，则YB(3,0.4)

26、,所求概率为PY21PY11C；0.63c30.40.620.35210 .在电源电压不超过200,200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2假定电源电压XN(220,252),试求：(提示：(0.8)0.788)(1)该电子元件被损坏的概率(2)电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。解：设A1 : “电源电压不超过A3: “电源电压超过 240伏”;B: “电子元件被填坏”由于 X N(220 , 252),所以P(Ai)P(A2)P(A3)由题设p(b|aj200 220PX 200F(200)()25( 08) 1(08)

27、 1 0.788 0.212240 220200 220P200 X 240(父 220)(200 220)2525(08)( 08) 2 (08) 1 0576240 220PX 240 1()251(08) 1 0.788 0.21201, P(B|A2) 0.001, P(B|A3) 0.2,所以由全概率公式3P(B)(A)P(B|Ai) 0.0642i 1由条件概率公式P(a2|b)P(A2)P(B|A2)P(B)0.009200伏”；£:“电源电压在200240伏”；11 .一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1,2,2。现从袋中任意取球二次，每次取(有放回)，以X、Y分别

28、表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:(1)X和Y的联合概率分布;(2)关于X和Y边缘分布;(3)X和Y是否相互独立？为什么?解：(1) (X,Y)的所有可能取值为(1,1)、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2)。P11PX1, Y1P12PX1, Y2P21PX2,1p22PX2,2(X,Y)的概率分布表为X12Pi1/32/3Y12Pj1/32/31211/92/922/94/9(2)关于X和Y的边缘概率分布分别为(3)X和Y相互独立。因为i,j有pipjpij12.一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3,从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取

29、得的球上的号码，试求:(1)随机向量(X,Y)的概率分布;(2)(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布;(3) X和Y是否相互独立?为什么?解：(1) (X, Y)的取值为(1,2),(1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2),由概率乘法公式可得P12P(X1,Y2P13 PX 1,1113326同理可得P21P23p31P321/6此外事件X 1,1, X 3, Y 3, X 2, Y 2都是不可能事件，所以(2)(X, Y)关于Y的边缘概率分布P11 P33Pj1/31/31/3(3)X和Y不相互独立，由于 P Pj13. 一口袋中装有四只球，分别标有数字

30、1, 1, 2, 3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:(1) X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布;(2)X与Y是否独立？为什么？解：(1)(X,Y)的概率分布表为3YX1211/61/61/621/601/1231/61/120X的边缘概率分布为X123Pi1/21/41/4Y的边缘概率分布为Y123Pj 1/21/41/4(2) X与Y不独立，由于23 / 30PX1,Y1PX1PY114.设G为由抛物线yx2和yx所围成区域，(X,Y)在区域G上服从均匀分布，试求：(1)X、Y的联合概率密度及边缘概率密度;(2)判

31、定随机变量X与Y是否相互独立。解：如图所示，G的面积为12A(xx2)dx因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为f(x,y)6,(x,y)G其他fX(X)f(x,y)dyx26dyx6(xx2),0fY(y)f(x,y)dxy6dxy6(4y),0所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为.6(xx2fX(x)0,),其他6(、yfY(y)0,y),0y1其他(2)由于fX(x)fy(y)f(x,y),故随机变量X与Y不相互独立。15.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为ey,0xyf(x，y)0,其它求：(1)随机变量X的密度函数fX(x)；(2)概率PXY1。解：(1)X0时,fX(X)=0

32、；X 0时，fX (x)=f (x,y)dydy故随机变量X的密度函数fX (x)=e0,(2) PX Y 1f (x, y)dXdy112dx0Xe ydy25 / 30112e216.设随机向量(X,Y)的概率密度为A,0x1,0yxf(X，y)0,其他试求：(1)常数A;(2)关于X、Y的边缘概率密度。解：(1)由归一性1x.A1f(x,y)dxdy00Adydx-所以A2。X、Y的联合概率密度为2,0x1,0yxf(x，y)0,其他(2)关于X、Y的边缘概率密度为fX(x)f(x,y)dy；2dy2x(0x1)即2x,0x1fX(x)0其它同理可求得关于Y的边缘分布密度为,/、2(1y

33、),0y1Yy0,其他17.设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)Ce(xy),x0,其它0,y0求（1）常数C;（2）边缘分布密度。解：（1）由于f(x, y)dxdy 1,故1= Ce (x y) dxdy00C e xdx e ydy 00所以C=1,即f (x, y)e (x y),0,x 0, y 0其他(2) fx(x)f(x, y)dy 0 e (x y)dy e x x 0,即fx (x)xe , x 00, 其他fY(y)f(x, y)dx 0 e (x y)dx e y y 0,即fY(y)e y, y 00, 其他y1y2y3PXxiPix11/8x21/12PYy

34、jPj1/61（X，Y）联合分布律及关于X和关于18.设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量Y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。解:x)Cyy1y2y3PXXiPiXi1/121/87/241/2x21/121/87/241/2pyyjPj1/61/47/121第三章随机变量的数字特征解答题X,1.设随机变量Xf(x)AX,0x1,求:0,其它(1)常数A;(2)EX;(3)DX。解：(1)由归一性1=f(x)dx01(1x)dx1；(Ax)dxA从而得,A1；(2)(3)EX=由于EX2DX2.设xf(x)dx0、，1x(1x)dxx2f(x)dx10x(1x)dx012

35、,.1x(1x)dxEX2(EX)2X的分布密度为f(x)解：EX=xf(x)dx10xEX22-xf(x)dx10x2(1x)dx1/6x,x,0,xdxxdxx其它(2x)dx12,求：数学期望EX和方差DX。221x(2x)dx627 / 30221DXEX 工 一，因此由数学期望性质 2、性质3及重要公式得16(EX)263.已知随机变量X的分布列如下,试求：(1) EX解:(1) EXEX2DXPk(2)0.3E(X0.2.、21)2； (3)0.5X的分布函数。xk Pk k 10 0.3EX20.31 0.2 20.5 1.2120.2_222 0.52.2(EX)22.2 1.

36、220.7631 / 30Y10Pk0.80.21)2?Y的概率分布列2(2)经计算得(X(3)4.设求：E(XEYkyk Pk11 0.80.2 0.80,F(x)0.3,0.5,1,X、Y的概率分布为1,(、1 x 5,(x)40,其它，(y)4e4y,0,0,0,Y)和 E(2X 3Y2)。解：由于X在有限区间1,5上服从均匀分布，所以EX5 1c , 3；又由于Y服从参数21为4的指数分布，所以 EY=、4DY11E(XY)EXEY33-44E(2X_223Y)2E(X)3E(Y)5 .已知r v X、XY 1/ 2 ,设 Z6 3(DY (EY)2) 63 55。8 8Y分别服从正态

37、分布 N (0, 32)和N(2,X/3Y/2,求:(1)数学期望EZ,方差DZ ；(2) X与Z的相关系数xz °42),且X与Y的相关系数由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZE号Y2)哈E(2)11-0-2132DZ一 X Y2Cov( , )321 32DX17DYXY DX . DY(2) Cov(X,32122421( 2) 3 4 1Z)Cov(X,1 -X312Y)1-Cov(X, X) 31Cov(X,Y)2从而有X与Z的相关系数1 一DX3XY DX . DY 0XZCov( X,Z) 0, DX、DZ6.设随机变量X、Y独立同服从参数为泊松分布，U2XY,

38、V2XY,求U与V的相关系数UV。解：由条件X、Y独立同服从参数为泊松分布，所以EXEY,DXDY因此EY2EX2DX(EX)22EU2EXEY3EV2EXEY_ 2 一- 2EY33DUDV4DXDY4_22_EUVE(4XY)4EXCov(U,V)EUVEUEV于是U与V的相关系数UVCOv(UVj3DU.DV57.设一部机器一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周工作日内无故障可获利 8万元，发生一次故障仍获利4万兀，发生两次故障获利 0兀，发生三Y123# / 30次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。k k 5 kC5pq解：设Y表示生产利润，X表

39、示每周发生故障的次数，则Y是X的函数，而XB(5,0.2),其概率分布为PXkY可能取值为2, 0, 4,8。PY8PX00.85 45/55 1024/3125PY4PX1c50.2 0.84 5 44/55 1280/3125PY0PX2C520.2208310 43 /55640/ 3125PY2PX31PX 3181/55 181/3125EY1024 43125128031256400(31251812)3125129504.1443125与独立同分布，已知 的概率分布为P i 1/3(i1,2,3),又设X max。求：(1) EX、EY ；(2)随机变量X, Y的协方差。(X,Y

40、)的概率分布为YX12311/92/92/9201/92/93001/9关于X、Y的边缘概率分布分别为X123P1/93/95/9从而得EX5/93/91/9EY19593939(2)EXY59192922T14§Cov(X,Y尸EXYEXEY19369129221499229163639.游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第低层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达低层候梯处，且该游客等候时间的数学期望。815分钟、X在0,25分钟、55分钟从60上均匀分布，求解：已知X在0,60上均匀分布，其概率分布为1f(x)600,60其它设Y表示游客等候电梯时间（单位：分）因

41、此X,Yg(X)25X,2555X,255560X5,55X60EYEg(Y)g(x)f(x)dx(525x)dx5(25160g(x)dx60055x)dx+25(55x)dx6055(6555x)dx35/311.67第四章随机变量及其分布三、解答题1.已知随机变量X的概率分布为37 / 30X123P020.30.5试利用切比雪夫不等式估计事件XE(X)1.5的概率。解：依题意，EX2.3,DX0.61,故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为DX0.61PXEX1.5151亍0.72891.521.52第五章随机变量及其分布三、解答题其中1.设 X1，X2,Xn为X的一个样本,X f (

42、x,)(1)x ,0 x 10, 其它1为未知参数，求的极大似然法估计量。解：设x1,x2,xn为X1,X2,Xn观测值，则构造似然函数nL()(1)n(X)i1nlnLnln(1)lnxii1令ln xidlnLd解得的极大似然估计量为lnXii12.设总体X的分布列为pkXn为X的一个样本，求p的极大似然估计。解：设Xi,X2，Xn为XX2,Xn观测值,X的分布律为于是似然函数L(p)InLp(x,p)pX(1np(Xi,p)i1nXpi1(1p)1Xp)X1,0)Xip(1p)1"nInpXii1n(nXi)ln(1p)i1人dInL令dpdIndpnXii1pnnXii11p