动力学定律一般问题约束问题引力问题两体问题非惯性系

1、动力学定律一般问题一般问题约束问题约束问题引力问题引力问题两体问题两体问题非惯性系非惯性系*一般问题一般问题力力来自相互作用；力是运动状态变化的原因. 万有引力1231221122122112rrmmGrrmmGF引力质量与惯性质量 弹性力或回复力)(胡克定律xkF取决于变形程度，电磁力 摩擦力（静摩擦力和滑动摩擦力）NFf复杂性，电磁力，耗散力 与相对滑动趋势的指向相反 正比于正压力质点动力学问题典型问题：I：已知作用于物体（质点）上的力，由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态； II：已知物体（质点）的运动情况或平衡状态，由力学规律来推出作用于物体上的力。解题十六字诀： 隔离物体，具体

2、分析，选定坐标，运动方程。隔离物体，具体分析，选定坐标，运动方程。 中心问题在于正确地列出代数代数方程组； 关键问题有在于正确地进行具体分析(F,ma)。 例 一根绳子跨于一光滑的定滑轮两边，绳中张力为T，绳与滑轮接触的一段在轮心所张的角是2 。求绳对定滑轮的作用力。T0coscos0sinsinTTTTNNTOABxycos,cosTTsin,sin,TTNsin2TN n解： x方向， y方向，TTFF=2Td21d21d21d21yNfd21d21OT+dTTxT0T1例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数

3、量关系。. 02sin2sin2, 02cos. 02sin)(2sin, 02cos2cos)(ddTdTNNddTddTTdTNNdTddTT.TddT . 1cos,sin,222dddd 很小. 021, 0dTdTdNNdT.,TdNNdTeTTdTdTTT01010千克力39101025.0510eeTT练习：（1）皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为 。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。 （2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为 ，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。（3）如果园

4、盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？RMgnMgdnReMgTeTT2/cos ) 3(2)0()0()( )2(222/RMgRTnTdnRdTdndlN2/解解由M的受力平衡条件得，由于系统处于静力平衡，所以T1=m1g,，T2=m2g，T3=Mg。代入m1和m2的数值，得 考虑到上式，又知道当 时，M极大， 时，M极小，即322112211coscossinsinTTTTT例例 一不可伸长的轻绳跨过两个滑轮组成的系统。绳的两端分别系有质量为m1=4kg和m2=4kg的物体。两滑轮之间挂有质量为M的物体。试求维持平衡时M的取值范围。21sinsin2

5、M21cos2cos490,02190021M222cos2sin411402902kgMkgM32,6minmax解：选取地面参考系。水相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg g为重力，N N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N N应垂直于液体表面。 angrzgrdrdzrmmaNmgNn2tansin0cos2222例 定量计算牛顿旋转水桶的水面形状此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。IPhO21-3中子星的旋转(p258)毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围

6、内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp.考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*102 s（1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳

7、层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。（2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形状变化）。 解：建立XOY坐标，原点在星体中心，表面方程 y=y(x) 。假设没有切向应力，即合力沿着表面法向（即与切线垂直）沿切线取一个矢量 (1, dy/dx)，表面质元dm受合力为 (GMdmx/r3 w2xdm, GMdmy/r3)两者垂直，内积为零：GMdmx/r3 w2xdm（GMdmy/r3 ) dy/dx0Ydy+(1-w2r3/GM)xdx=0

8、43232322222107 . 322111GMrrrreGMrGMrrrrxryepeepep IPhO20-2 不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？ 解: 取坐标原点在质心，则引力 质点1惯性离心力 与引力平衡，故代入两项不共线，所以系数分别为零， 0/ )(/ )

9、(3313132121121crrmGmarrmGmrm0332211rmrmrm33131133212112/ )(,/ )(crrmGmFarrmGmF2323213133322/rcGmaGmrcGmcGmaGm322113/mrmrmr0/0/31333223232cGmcGmaGmcGmaGm333212/)(aGMammmGcba IPhO4-1 (1970) 在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木

10、板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在（a）远处的柱子，(b)木板的端面上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？解：（a）木板速度达到v0之前匀加速，雪橇在木板经过的距离为此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。Mmgamavs255. 0220msL245. 0255. 05 . 0（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，)(00vVmMVmvV=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0n例 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑

11、。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。a0amOxyn解：受力分析：mgNa0aa加速度分析：a= a+a0X方向:ax=acosY方向:ay=a0-asin列方程：Nsin =macosNcos -mg =m(a0asin )解得:a=(g+a0)sin , N= m(g+a0)cos 练习:(p507,4.11)sincos221aaaaayxMma1a2xy分析：M: m:加速度：a1(+x方向） a=a1+a2 MgRNmgN列方程：m:M:sincos)cos(sin221mamgNaamN0cossin1NMgRMaN2221sinsin)(sincossinmMgM

12、mamMmga解解1：两侧挂有M1,M2的滑轮与质量m的物体等效21214MMMMm2433 ,4.)()(4)(4)(gmmgmgamxmxxmxmxfmxfxffmxxmxf解解2：第一滑轮绳子张力为第一滑轮绳子张力为T, 重力加速度为重力加速度为g, 第二滑轮绳子张力为第二滑轮绳子张力为T/2, 重力加速度为重力加速度为g=g-a, T:T/2=g:(g-a)a=g/2约束运动问题问题 运动学的约束：质点被限制于某个曲面或某个曲线上运动。 约束反力：约束对质点的反作用力。沿着约束的法向OR例2（P143）：质点从光滑的静止大球的顶端滑下。试问滑到何处，质点就会脱离球面飞出。求解及分析（初

13、始条件）法向切向cossin2mgNmRmgmR O法向切向NmgR)cos1 (sin22RgRgddmgmgN2cos3当=cos-1(2/3), N=0 标志质点开始离开球面例题： 质点沿光滑抛物线 y2=2x无初速的下滑，质点的初始坐标为（2，2），问质点在何处脱离抛物线。提示：曲率半径|/|)/(1222/32dxyddxdyR解： 2/, 1 , 0)4)(1(0)1 ()(21)1 (|)/11 (|1cos ,/1)(2cos/22/32222/322/3232222xyyyyyyhmgyymgNyyyRyyyytgyhgvNmgRmv取解2 ：质点受力mg, N, 当N0时，

14、水平方向受力为零，故ax=0, 即vx（或vx2)有极大值0431)(21cos )(224222222yyyyyyhgvyyyhgvx得到：IPhO9-1 半径R=0.5m的空心球以角速度 绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2)(1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？(2)求 时实现这一情况的条件。(3)在以下两种情况下研究运动的稳定性 (i)木块位置有微小变动； (ii)球角速度有微小变动。18 s15 s 解：（1）（2）（3）把 和 当作变量，判断N,f以及 的增减。179. 0sincossincossin222RggRNf）下（向）向上

15、（8f ,cos5f ,cossin)cos(222gRgRRgmfNfRmmgfRmmgNcossinsinsincos222226. 0sincoscossinsin222RgRgNf增加 ，则N增加，f减小，能满足 ，所以能保持平衡，减小则N减小，f增大，不能满足 ，向下滑。改变，两者系数皆正，两者比值的变化更重要222sincoscossinsinRgRgNf15 s附近，fN fN 120cos60cos2coscos22RgmRgmf120sin60sin2sinsin22RgmRgmN22222sincos2sinsincossinsin2coscosRgRgRgRgNNff该系

16、数仍大于零。如果木块向上滑动，增加，要求摩擦系数增加，不够大，故滑下来；如果向下滑，则摩擦力足够，不回来了。18 s222sincossincossinRggRNf附近增加则增大，不能保持平衡，向上滑；减小则减小， 保持平衡。增加时，要求摩擦系数减小，可以停留；如果向下滑，要求摩擦系数增大，摩擦力不够，返回。引力问题引力问题球壳的万有引力 )( 0)( 2RrRrrrrGMmF地球内部物体受到的万有引力3233 RGMmrrmMGFRrMVMVMM兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量球体的万有引力 )( )( 32RrrrRGMmrRrrrrG

17、MmFORFr原型： 假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。 考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。考题（2004复赛第三题） 有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B ，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变

18、为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？ 已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。 3.弹性碰撞 4. 机械能守恒 5.有心力场里的运动（第一宇宙速度）竞赛题与常规考题的区别：1. 考察的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强 对策：对策：熟悉各种原型问题。2. 在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。 对策：对策：识破题目的障眼法，找到

19、原型。3. 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论， 有的是多个不同物理原型的综合。对策：对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。 解： )( )( 3222RrrRmgRGMmrRrRrmgrGMmFkx -mgx/R r Rmg xmFxcos 线性恢复力，做振幅为A的简谐振动 gRhRAuhRARgmk22222/umMmMvuVvMVmvmuMu32弹性碰撞，注意：正负号，用恢复系数 （写能量守恒式子）umM

20、mMvvvmMmuvmMMuvumMmMvuvcmmMmc32,22简谐振动，能量守恒 （不要把v 当成发射速度）2222212212212132121212121umMmMuvvmumvkAmvmv宇宙速度 RgvmgRvm21210222925. 013RhRggRhRmMmM2002决赛第五题 假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。 已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离 太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳

21、质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答： 1.论证银河系物质能否均匀分布 2.计算银河系中发光物质质量最多有多少 3.计算整个银河系物质质量至少有多少 4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少上述计算结果均用太阳质量MS表示。091075. 1Ra年8104 . 2Tar5 . 1ara6解：如果均匀分布，M(r)r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必须M(r)r为了确定M(a)rrGMvrvMrMrGMss)( )(22araMrMrrM)()(,)(

22、即sssssMTTRaaMTRGMTaaGMTaaMavMaMaGM2030203023222)(2 ,2 )(2 )()(5 . 1)(6)(6)6()(5 . 1)5 . 1 (aMaMaMaMaMaM银河系暗物质质量银河系物质质量发光物质质量两体问题两体问题质点组动力学的一个特殊问题两个质点组成的质点组彼此以内力相互作用，不受外力作用彼此以内力相互作用，不受外力作用mass 1 mass 2 211221FFrr 211221221211FFFrmFrm 0)(2112221122FFrmrmdtd0)()(2122112221mmrmrmdtdmm质心的运动质心的运动0)()(2122

23、112221mmrmrmdtdmm210mmm2122110mmrmrmr00orm r2r1m2r0m1m0o即系统动量守恒SunEarthCM直角坐标系：0211202121,lmmmllmmml.,212211212211212211mmzmzmzmmymymymmxmxmxooo质心坐标系CM frame 实验室系 lab frame质心系是惯性系吗? 相对运动相对运动 以质点2作为平动参考系（非惯性） 研究质点1相对运动2112rrr2112121rmFrm 12221122112212112121FmmmFmmFFmmFrm 12122121Frmmmm 212121111,mmm

24、mmmmm或约化质量Reduced mass122122)(Frrdtdm例(p241)：两个完全相同的滑块a和b，其质量均为m,用轻弹簧将它们连接，弹簧的原长为l,劲度系数为k。将整个系统放在光滑桌面上，并保持静止。在某个时刻（记t=0),突然给滑块a一个冲量，使它获得向右的初速度v0, 求解它们的运动。axv0ob分析：分析：)(),(lxxkxmlxxkxmbabbaa 0)(),(0021210210 xvxxxxxxbaba 两体问题质心运动方程相对运动方程lxxxbaa:记)(.,21mmxmxkxkFaaa . 0amkaxx .sin)2/cos()cos(00tttAxvva

25、a与b相对于质心各作简谐振动，它们的位相正好相反。.cos,00tvxxvxxbaba).cos1 (),cos1 (2200txtxvbva开普勒第三定律的修正F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2F2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2 / m1The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which gives r1 = m2

26、a / (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2T2 = 42 a3/G(m1 + m2).mv2 / a = Gm1m2 / a2v=2a/Tm=m1m2 / (m1 + m2) Solution II:T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).练习：练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能

27、用常飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为的倔强系数为k=605.6N/m。(1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是是T0=1.28195s。计算椅子的质量计算椅子的质量m0 (2) 当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期椅子的振动周期T，测得，测得T=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0=1.27395s。问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？问宇航员的