初二――函数及函数图像

1、主讲老师：杨月娇主讲老师：杨月娇函数及函数图像一般函数一次函数、正比例函数一次函数、正比例函数图像一次函数、正比例函数图像一次函数、正比例函数图像o2536xyxyo温故而知新张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报，下图是据此情景画出的图象，返回途中在读报栏前看了一会儿报，下图是据此情景画出的图象，请你回答下面的问题：请你回答下面的问题：(1)张爷爷在什么地方碰到老邻居的，交谈了多长时间？张爷爷在什么地方碰到老邻居的，交谈了多长时间？(2)读报栏大约离家多少路程？读报栏大约离家多少路程？(3)张爷爷在哪

2、一段路程走得最快？张爷爷在哪一段路程走得最快？(4)图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？ 学校 t(分) s(千米) 学 校 s(千 米 ) t(分 ) 学校 s(千米) t(分) 学校 s(千米) t(分) 6 早晨，小强从家出发，以早晨，小强从家出发，以v1的速度前往学校，的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以途中在一饮食店吃早点，之后以v2的速度向学校行进，的速度向学校行进，已知已知v1v2，下面的图象中表示小强从家到学校的时间，下面的图象中表示小强从家到学校的时间t（分）（分）与路程与路程s（千米）之间的关系是图中的（）

3、（千米）之间的关系是图中的（）B、C、D、A、A总结总结1 函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。组成的图形，就是这个函数的图像。2 描点法画图像：列表、描点、连线描点法画图像：列表、描点、连线（1）函数图像上的任意点）函数图像上的任意点P（x,y）中的）中的x,y满足函数关系式；满足函数关系式； 满足函数关系式的满足函数关系式的 任意一对任意一对(x,y)的值所对应的点一定在的值所

4、对应的点一定在 函数图像上；函数图像上；（2）函数的图像不仅可以是直线或曲线，也可以是线段，折线，）函数的图像不仅可以是直线或曲线，也可以是线段，折线，还可能是还可能是由几个不连续的点或线段组成。由几个不连续的点或线段组成。3 函数的三种表达方法：函数的三种表达方法：列表列表、图像图像、解析式解析式x00.511.522.53S00.2512.2546.259S=x21.1.列表列表 2.2.描点描点3.3.连线连线列表图像解析式1.作出函数y= (x0) 的图象.x6解解: : (1)列表x0.511.522.53456y126432.421.51.21(2)描点 (3)连线翻开新的一页！翻

5、开新的一页！问题问题：某登山队大本营所在地的气温为：某登山队大本营所在地的气温为55海拔每升高海拔每升高1 km1 km气温下降气温下降66，登，登山队员由大本营向上登高山队员由大本营向上登高x kmx km时，他们时，他们所在位置的气温是所在位置的气温是yy试用解析式表示试用解析式表示y y与与x x的关系的关系解：解：y与与x的函数关系式为的函数关系式为y=-6x+5当登山队员由大本营向上登高当登山队员由大本营向上登高0.5km时时,他们所在位置的气温就是当他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数时函数y=-6x+5的值的值,即即y=-60.5+5=2下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函

6、数表下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？示？这些函数有什么共同点？（1 1）有人发现，在）有人发现，在20252025时蟋蟀每分钟鸣叫次数时蟋蟀每分钟鸣叫次数c c与温度与温度t t（单位：（单位：）有关，即）有关，即c c的值约是的值约是t t的的7 7倍与倍与3535的差；的差；（2 2）一种计算成年人标准体重）一种计算成年人标准体重G G（单位：千克）的方法（单位：千克）的方法是，以厘米为单位，身是，以厘米为单位，身高值高值h h减常数减常数105105，所得叉是，所得叉是G G的的值；值；（3 3）某城市的市内电话的月收费额）某城市的市内电话的月收费额y

7、 y（单位：（单位：元）包括：月租费元）包括：月租费2222元，拨打电话元，拨打电话x x分的计时费分的计时费按按0.010.01元元/ /分收取分收取; ; (4)(4)把一个长把一个长10cm10cm、宽、宽5cm5cm的长方形的长减少的长方形的长减少xcmxcm，宽不变，长方形的面积宽不变，长方形的面积y y（单位：（单位：cmcm2 2）随）随x x的值的值而变化。而变化。解解:C=7t-35解解:G=h-105解解:y=0.01x+22解解:y= -5x+50可以得出上面问题中的函数解析式分别为：可以得出上面问题中的函数解析式分别为：（1）c=7t-35（2）G=h-105（3）y=

8、0.01x+22(4)y=-5x+50上面这些函数的形式都是：上面这些函数的形式都是：自变量自变量x的的k(常数常数)倍倍与与一个常数的和一个常数的和.一次函数的定义一次函数的定义 一般地，形如一般地，形如（，为常数，（，为常数，）的函）的函数，叫做数，叫做一次函数一次函数当时，当时，y=kx+by=kx+b即即y=kx,y=kx,所所以说以说正比例函数正比例函数是一种特殊的一是一种特殊的一次函数次函数. .例例1：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？些是正比例函数？ （1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数。它是一次函数，不是正比

9、例函数。（2）y=5x2+6它不是一次函数，也不是正比例函数它不是一次函数，也不是正比例函数。（3）y=2x它是一次函数，也是正比例函数。它是一次函数，也是正比例函数。它不是一次函数，也不是正比例函数它不是一次函数，也不是正比例函数(5)y=-8x它是一次函数，也是正比例函数。它是一次函数，也是正比例函数。xy8(4)画出在同一坐标系中画出在同一坐标系中y=2x, y=2x -1,y=2x+1y=2x, y=2x -1,y=2x+1的函数图象的函数图象结论结论:注意注意：画函：画函 数数 y = kx+b y = kx+b 的的 图图 象象 通常取点通常取点（_，_ _ ）和（）和（_,_,_

10、）的一）的一 条条 直直 线。通常，我们把一次函数线。通常，我们把一次函数y = kx + b y = kx + b 的图象叫的图象叫做直线做直线 y = kx + by = kx + b0 0b b0 0-b/k-b/k一次函数的图象是一条直线一次函数的图象是一条直线一次函数一次函数y=kx+b有下列有下列性质性质：1）当）当 k0 时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；2）当）当 k0 时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。随堂随堂练习：练习：3 3，在下面的直角坐标系内画出下列函数的图象：，在下面的直角坐标系内画出下列函数的图象：y = 3x, y= -3x, y= 3x +

11、 3, y = -3x + 3y = 3x, y= -3x, y= 3x + 3, y = -3x + 3 一次函数的图象和性质一次函数的图象和性质y=3xy=-3xy=3x+3y=3x+312332x0-3-2-11y-3-2-1 正比例函数正比例函数y=kxy=kx与一次函数与一次函数y=kx+by=kx+bK K值值K0K0b b值值b 0b=0b 0b0b=0b0图图象象画画法法象象限限增减增减性质性质xy0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy02、3、41、2、31、31、3、4 1、2、42、4（0 0，0 0）, ,（1,k1,k）两点）两点（0，b）,（-b/ k ，0）y

12、y随随x x的增大而增大的增大而增大y y随随x x的增大而减小的增大而减小探求新知探求新知 1.1.问题：小芳以问题：小芳以200200米分的速度起跑后，先匀加速米分的速度起跑后，先匀加速跑跑5 5分钟，每分提高速度分钟，每分提高速度2020米，又匀速跑米，又匀速跑1010分钟请分钟请写出这段时间里她的跑步速度写出这段时间里她的跑步速度y(y(米分钟）随跑步时米分钟）随跑步时间间x(x(分）变化的函数关系式分）变化的函数关系式2.请画出上述函数的图象请画出上述函数的图象我们称此类函数为我们称此类函数为分段函数分段函数 30020020 xy(0 x5)(5x15)051015x/分10020

13、0300y/（米分）xy1 1.已知下列函数已知下列函数:y=2x+1; xxy 21; s=60t; y=100-25x,其中表示其中表示一次函数的有一次函数的有( )(A )1个个( B)2个个( C)3个个( D)4个个D2.要使要使y=(m-2)xn-1+n是关于是关于x的一次的一次函数函数,n,m应满足应满足 , .n=2m2精讲精讲3.下列说法不正确的是下列说法不正确的是( )(A)一次函数不一定是正比例函数一次函数不一定是正比例函数(B)不是一次函数就一定不是正比例函数不是一次函数就一定不是正比例函数(C)正比例函数是特殊的一次函数正比例函数是特殊的一次函数(D)不是正比例函数就

14、不是一次函数不是正比例函数就不是一次函数D4.若函数若函数y=(m-1)x|m|+m是关于是关于x的一次函数的一次函数,试求试求m的值的值.3. 3. 一次函数一次函数y=x+1y=x+1的图像大致是的图像大致是（ ）. .111111. .直线经过（，）和直线经过（，）和B B（2 2，）两点，）两点， 请你求出这个条直线的表达式请你求出这个条直线的表达式. .4.4.一次函数一次函数y=-x+1y=-x+1的图像通过第的图像通过第_,_, 象限，且象限，且y y随随x x的增大而的增大而_._.D一、二、四一、二、四减小减小y = x + 2已已知一次函数的图象经过点知一次函数的图象经过点

15、(3,5)(3,5)与（与（4 4，9 9）. .求这个一次函数的解析式求这个一次函数的解析式 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.y=kx+b的图象过点（的图象过点（3，5）与（）与（-4，-9）. 3k+b=5 -4k+b=-9 解得解得 k=2 b=-1 这个一次函数的解析式为这个一次函数的解析式为y=2x-1 待定系数法待定系数法: 先设出函数解析式，再根据条先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法个式子的方法. .整理归纳整理归纳从数到形从数到形从形到数从形到数数学的基本思

16、想方法：数学的基本思想方法：数形结合数形结合2.2.在一次蜡烛燃烧实验中，在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度余部分的高度y y（cmcm）与）与燃烧时间燃烧时间 x x（h h）之间的）之间的关系如图所示关系如图所示. .请根据图像捕捉有效信息：请根据图像捕捉有效信息：1.1.函数函数 的图像与的图像与x x轴交点轴交点A A 的坐标为的坐标为_,_,与与y y轴交点轴交点B B的坐标为的坐标为_，AOBAOB的面积为的面积为. .4x32y 挑战自我挑战自我(-6,0)(0,4)12（1 1）甲、乙两根蜡烛）甲、乙两根蜡烛燃烧前燃烧前的高度分别是的

17、高度分别是_,_,从点燃到燃尽所用的时间分别是从点燃到燃尽所用的时间分别是_；（2 2）当）当x x时，时，甲、乙两根蜡烛在燃甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等烧过程中的高度相等. .30cm,25cm2h , 2.5h1h5.5.一弹簧，不挂重物时，长一弹簧，不挂重物时，长6cm6cm，挂上重物后，重，挂上重物后，重物每增加物每增加1kg1kg，弹簧就伸长，弹簧就伸长0.25cm0.25cm，但所挂重物不，但所挂重物不能超过能超过10kg10kg，则弹簧总长，则弹簧总长y y（cmcm）与重物质量）与重物质量x x（kgkg）之间的函数关系式为之间的函数关系式为_,_,此时自变量的取此时自

18、变量的取值范围是值范围是. .4 4、某函数具有下列两条性质（、某函数具有下列两条性质（1 1）它的图像是经）它的图像是经 过原点（过原点（0 0，0 0）的一条直线；（）的一条直线；（2 2）y y的值随的值随x x值的值的增大而增大增大而增大. .请你举出一个满足上述条件的函数请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）（用关系式表示）y=0.25x+60 x 102.（1 1）对于函数）对于函数y5x+6，y y的值随的值随x x值的减小而值的减小而_. （2）对于函数对于函数 , y y的值随的值随x x值的值的_而增大而增大. . x3221y 3. 3. 一次函数一次函数y=kx

19、y=kxk k的图像大致是的图像大致是（ ）. .ABCDxyoyyyxxxooo1.已知函数已知函数 , 当当m为为_时时， 它是一次函数它是一次函数. .4mX)2m(y5m5m2 1或或4减小减小减小减小B小试身手小试身手1.已知函数已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当求当m为何值时为何值时, (1)此函数为正比例函数此函数为正比例函数 (2)此函数为一次函数此函数为一次函数解解:(1)由题意由题意, 得得2m-3=0,m= ,所以当所以当 m= 时时,函数为正比例函数函数为正比例函数y= x232323(2)由题意得由题意得2-m0, m2,所以所以m2时时,此函数为一次函数此函数

20、为一次函数2 已知直线323xy向左平移2个单位，则平移后的直线解析式为 我国每我国每一一、年都有大量土地被沙漠吞噬，改造沙漠、保护土地资源、年都有大量土地被沙漠吞噬，改造沙漠、保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务。某地区现有土地面积已经成为一项十分紧迫的任务。某地区现有土地面积100万万km2，沙漠面积沙漠面积200万万km2，土地沙漠化的变化情况如图所示。，土地沙漠化的变化情况如图所示。（1）如果不采取任何措施，那么到第）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠化面积将年底，该地区沙漠化面积将新增加多少万新增加多少万km2？（2）如果该地区沙漠的面积继续）如果该地区沙漠的面积继续按

21、此趋势扩大，那么从现在开始到按此趋势扩大，那么从现在开始到第几年底，该地区将丧失全部土地第几年底，该地区将丧失全部土地资源？资源？（3）如果从现在开始）如果从现在开始采取植树造林等措施，采取植树造林等措施，每年改造每年改造4万万km2沙漠，沙漠，那么到第几年底，该那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减地区的沙漠面积能减少到少到176万万km2？ 二、某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定的二、某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定的剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y微克随时间微克随时间x/h的变化如图所示。的

22、变化如图所示。 当成人按规定剂量服药后：当成人按规定剂量服药后： （1）服药多长时间血液）服药多长时间血液中含药量最高，达每毫升中含药量最高，达每毫升多少微克？多少微克？ （2）分别求出）分别求出x2和和x2时，时，y与与x之间之间的函数关系式。的函数关系式。 （3）如果每毫升）如果每毫升血液中含药量为血液中含药量为4微微克或克或4微克以上时对微克以上时对治疗疾病是有效的，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间那么这个有效时间有多长？有多长？ 三三、小量家最近买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺、小量家最近买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺设客厅。经市场调查得

23、知：用两种材料铺设地面的工钱不同。小亮根据地面的面设客厅。经市场调查得知：用两种材料铺设地面的工钱不同。小亮根据地面的面积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料和工钱）分别做了预算，通过列表，并积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料和工钱）分别做了预算，通过列表，并用用x（m2）表示铺设地面的面积，用）表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制作成函数图像，（元）表示铺设费用，制作成函数图像，请根据图中提供的信息，解答下列问题：请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）预算中铺设）预算中铺设卧室的费用为卧室的费用为_元元/m2，铺设客厅的，铺设客厅的费用为费用为_元元/m2。 （2）表示铺设卧

24、室）表示铺设卧室的费用的费用y（元）与面（元）与面积积x（m2）之间的函）之间的函数关系式为数关系式为_，表，表示铺设客厅的费用示铺设客厅的费用y（元）与面积（元）与面积x（m2）之间的函数关系式为之间的函数关系式为_。 （3）已知在小亮的预算中，铺设）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多的木质地板的工钱多5元；购买元；购买1m2的瓷砖是购买的瓷砖是购买1m2木质地板费用的木质地板费用的3/4.那么铺设每平方米的木质地板、那么铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各

25、是多少？的费用各是多少？ 解：解：设铺设每平方米的木质地板的工钱为设铺设每平方米的木质地板的工钱为a元，购买每平元，购买每平方米的木质地板的费用为方米的木质地板的费用为b元，则元，则110435135baba120b15a解得 所以，铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱分所以，铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱分别是别是15元、元、20元；购买每平方米的木质地板、瓷砖元；购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别是的费用分别是120元、元、90元。元。 （3）已知在小亮的预算中，铺设）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多的木质地板的工钱多5元；购买元；购买1

26、m2的瓷砖是购买的瓷砖是购买1m2木质地板费用的木质地板费用的3/4.那么铺设每平方米的木质地板、那么铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少？的费用各是多少？ 解：解：设铺设每平方米的木质地板的工钱为设铺设每平方米的木质地板的工钱为a元，购买每平元，购买每平方米的木质地板的费用为方米的木质地板的费用为b元，则元，则110435135baba120b15a解得 所以，铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱分所以，铺设每平方米的木质地板、瓷砖的工钱分别是别是15元、元、20元；购买每平方米的木质地板、瓷砖元

27、；购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别是的费用分别是120元、元、90元。元。六、某加油站五月份营销一种油品的销售利润六、某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图像如图中折线所示，该加油站截止到（万升）之间函数关系的图像如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为日调价时的销售利润为4万元，截止至万元，截止至15日进油时的销售利润为日进油时的销售利润为5.5万元。（销售利润万元。（销售利润=（售价（售价成本价）成本价）销售量）销售量） 请你根据图像及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，请你根据图像及加油站五月份该油品的

28、所有销售记录提供的信息，解答下列问题：解答下列问题： 五月份销售记录五月份销售记录1日日：有库存：有库存6万升，成本价万升，成本价 4元元/升，升， 售价售价5元元/升。升。13日日：售价调整为：售价调整为5.5元元/升。升。15日日：进油：进油4万升，成本价万升，成本价4.5元元/升。升。31日日：本月共销售：本月共销售10万升。万升。（1）求销售量）求销售量x为多少时，销售利润为为多少时，销售利润为4万元；万元；（2）分别求出线段）分别求出线段AB与与BC所对应的函数解析式；所对应的函数解析式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在

29、那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）哪一段的利润率最大？（直接写出答案）七、某超市经销七、某超市经销A、B两种商品，两种商品，A种商品每件进价种商品每件进价20元，售价元，售价30元；元；B种商品每件进价种商品每件进价35元，售价元，售价48元。元。 （1）该超市准备用）该超市准备用800元去购进元去购进A、B两种商品若干件，怎样购两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获得利润最大（其中进才能使超市经销这两种商品所获得利润最大（其中B种商品不少种商品不少于于7件）？件）？（2）在）在“五五一一”期间，该商场对期

30、间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活两种商品进行如下优惠促销活动：动： 打折前一次性购物总金额打折前一次性购物总金额 优惠活动优惠活动 不超过不超过300元元 不优惠不优惠 超过超过300元且不超过元且不超过400元元 售价打八折售价打八折 超过超过400元元 售价打七折售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购种商品，小华去该超市购买买B种商品，分别付款种商品，分别付款210元与元与268.8元。促销活动期间小明决元。促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华两人购买的同样多的商品，他需付款定一次去购买小颖和小华两人购买的同样多的商品，

31、他需付款多少元？多少元？八、我市部分地区近年来持续干旱现象，为确保生产用水，某村决八、我市部分地区近年来持续干旱现象，为确保生产用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。该村共有水池。该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：费用和可供使用的户数及用地情况如下表：储水池储水池费用（万元费用（万元/个）个） 可供使用的户数（户可供使用的户数（户/个）个）占地面积（占地面积（m2/个）个） 新建新建 4 5 4 维护维护 3 18 6 已知可支配使用土地面积为已知可支配使用土地面积为106m2，若新建储水池，若新建储水池x个，新建个，新建和维