2000年（上）试题及答案

1、2000 级级高等数学高等数学（上） 试题（上） 试题一试解下列各题（30 分）1求xxx)3ln(2lim 2求dxxx31 3设xxeey，求 y4求曲线)2() 1(2xxy的凹凸区间5过球面9)4() 1()3(222zyx上一点2)- 0, , 1 (p，求球面的切平面方程二试解下列各题（28 分）1 求4 0 1xdx2设曲线方程为ttyttxcossin2，求此曲线在2x点处的切线方程3求tgxxxx1sin11lim0 4求xdxx sin2三设)(xfy 在) ,(上可导，且)2)(1()( 22xxexfx。试确定)(xfy 的单调区间（10 分）四设方程arctgyxex

2、ysin21arccos确定函数)(xyy ，求)0( y（9 分）五求曲线xysin与xy2sin在 , 0间围成的面积（10 分）六指出非零向量ba ,应分别满足什么条件才能使下列各式成立： （1）baba ， （2）baba ， （3）baba（8 分） 七设)(xf在2 , 0上连续，在)2 , 0(内可导，且0)2(f，证明存在一点)2 , 0(，使0)( )(ftgf（5 分）2000级级高数高数上试题解答上试题解答一、一、1.xxx)3ln(2lim 解解 型型原式原式232limxxx (简单有理函数的极限简单有理函数的极限)0 dxxx31 . 2解解简单有理函数的不定积分简

3、单有理函数的不定积分原式原式 dxxx31)31(131 dxdxx3131131 Cxx 3131ln91yeeyxx 求求设设, . 3解解xexeyxx2121 xxeex 21 xxxxeexxeexxy 212141 xxxxeexeexx 4141的凹凸区间。的凹凸区间。求求)2()1( . 42 xxy解解2)1()2)(1(2 xxxy)1(32 xxy6 060 xxy令令原曲线是凹的；原曲线是凹的；时时, 0,0 yx原曲线是凸的。原曲线是凸的。时时, 0,0 yx5. 过过球球面面9)4()1()3(222 zyx上上一一点点2)- 0, , 1(p，求求球球面面的的切切

4、平平面面方方程程解解切平面为垂直于过球心切平面为垂直于过球心o与与p点直线的平面点直线的平面 p且且2 , 1 , 2 op的的法法向向量量为为平平面面切平面方程为切平面方程为0)2(2)1(2 zyx0622 zyx即即 4 0 1 . 1xdx求求二、二、解解 2 0 12ttdt换元换元24002,2 txtxtdtdxtxxt令令原式原式 2 0 1222tdtt 2 0 20122tdtdt 20)1ln(2tt 3ln24 2.2.设曲线方程为设曲线方程为 ttyttxcossin2，求此曲线在，求此曲线在2 x点处的切线方程点处的切线方程解解故故是是单单调调函函数数,sin2tt

5、x 1, 0,2 ytx时时dtxdtydxdytt ttcos1sin1 2 xdxdy210cos10sin1 切线方程为切线方程为02 yx tgxxxx1sin11 . 3lim0求求解解 型型 原式原式xxxsincos11lim0 型型00 xxxx20211lim 21 xdxx sin . 42求求解解两个相互独立的初等函数的积的形式两个相互独立的初等函数的积的形式原式原式 xdxcos2 xdxxxxcos2cos2 xxdxxsin2cos2 xdxxxxxsin2sin2cos2Cxxxxx cos2sin2cos2三、设三、设)(xfy 在在) ,( 上可导，且上可导，

6、且)2)(1()( 22 xxexfx，试确定，试确定)(xfy 的单调的单调区间。区间。解解0)2)(1()( 22 xxexfx令令1, 1, 2321 xxx得得0)(),2 ,( xfx其单调递减；其单调递减；0)(),1 , 2( xfx其单调递增；其单调递增；0)(),1, 1( xfx其单调递减；其单调递减；0)(), , 1( xfx其单调递增；其单调递增；递减；递减；和和)(,1 , 12,(xf 递增。递增。和和)(), 11, 2xf 四、设方程四、设方程arctgyxexy sin21arccos确定函确定函数数)(xyy ，求，求)0(y 解解隐函数的导数值隐函数的导

7、数值1,0 yx时时yyxexyexxxyy 22311cossin)2(212111求导有求导有两边同时对两边同时对)0(21231110)20(21201111, 0yeyx 代入上式有代入上式有将将ey221)0( 五、求曲线五、求曲线y=sinx与与y=sin2x在在间围成的面积。间围成的面积。, 0 解解oxyy=sinxy=sin2x 3 xyxy2sinsin3 x 0sin2sindxxxA 332sinsinsin2sin0dxxxdxxx 332coscoscos2cos21021xxxx 25 六、六、各各式式成成立立满满足足什什么么条条件件才才使使下下列列、非非零零向向量量bababa )2(baba )3(222),cos(2)(bbabaaba 222),cos(2)(bbabaaba 2),(0),cos( baba2),(0),cos( baba ),(bababa )1(解解22),cos(2 )1(bbabaa 22),cos(2bbabaa 22),cos(2 )2(bbabaa 22),cos(2bbabaa 22222 ),cos(2 )3(bbaabbabaa 七七设设)(xf在在2 , 0 上上连连续续，在在)2 , 0( 内内可可导导，且且0)2( f， 证证明明)2 ,