固体物理习题解答

1、习题第一章1、NaCl与金刚石结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元是什么？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a )(2/11kjaa)(2/13jiaa)(2/12kiaaNaCl：复式格子，基元为一对NaCl，原胞基矢为a1 、a2 、a3，晶胞为面心立方，基矢为a、b、c，金刚石：复式格子，基元为两个C原子，原胞基矢为a1 、a2 、a3，晶胞为面心立方基矢为a、b、c，2、六角密集结构 OA1A3: (1,1-2,1) A1A3B3B1: (1,1-2,0) A2B2B5A5: (1,-1,0,0) A1A2A3A4A5A6: (0,0,0,1)3、球占据体积与总体积的比

2、简立方：/6,简立方原子半径 R=a/2；原子体积 V=4R3/3 = a3/6 6633aa晶胞体积为 a3；密度 = 体心立方：4/3422/ 122aaaR343342aV838333aabcc一个晶胞有二个原子 密度 = FCCaR42342344aV6243aVfcc一个晶胞有四个原子 密度 = 六角密积 hcp一个晶胞有6个原子 R=a/2原子体积 = 332346aa晶胞体积 = 32362321acaa 密度 = 622333aahcp633. 1383832432323322222222acacacaaacEFaAGAE金刚石金刚石一个晶胞有8个原子，对角线长 a3aR833

3、316388334aa16316333aa原子体积 = 密度 = 4、金刚石键角1090 28A(0,0,0), B(1/4, 1/4,1/4), C(1/2, 0, 1/2), D(0, 1/2, 1/2), E(1/2, 1/2, 0 )BA= （1/4i+ 1/4j+1/4k）BE 1/4i+ 1/4j1/4kBA.BE-1/16=ACDBEcos4/34/3,28109, 3/1cos05 面心立方（110）和（111）晶面族的原子数面密度，晶格常数为a（100）晶面的原子密度（1/44 + 1）/ a2 = 2 / a2 (110) 晶面的原子密度( 1/44 + 1/2 2)/ 2

4、1/2a2 = 1.414 / a2 (111) 晶面的原子密度( 1/23 + 1/6 3) / 3/1/2 / 2 a2 = 2.31 / a2 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比立方晶体中的原子数之比. . 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 晶胞的体积 一个晶胞包含两个原子, 单位体积晶体中的原子数为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 一个晶胞包含四个原子, 单位体积晶体中的原子数为 . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为=0.918.3/4R33/4R3

5、3/4/2R2/4R32/4/4R解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 画出体心和面心的原胞和晶胞，在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性. 晶面指数为（晶面指数为（123123）的晶面）的晶面ABCABC是离原点是离原点O O最近的晶面，最近的晶面，OAOA、OBOB和和OCOC分别与基矢、和重合，除分别与基矢、和重合，除O O点外点外, ,

6、OAOA、OBOB和和OCOC上是上是否有格点？否有格点？ 若若ABCABC面的指数为（面的指数为（234234），情况又如何？），情况又如何？ 有通过原点和（有通过原点和（100）的晶面）的晶面 两个晶面之间的晶面平分基轴两个晶面之间的晶面平分基轴a1，间距为，间距为a1/h1 晶面族第一个面在晶面族第一个面在a1轴上的截距为轴上的截距为a1 /h1 a2/h2 , a3/h3 ( h1 h2 h3)晶面指数晶面指数六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 六角密积属六角晶系, 一个晶胞包含6个原子. 体心立方元素晶体, 111方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? 结晶学的晶胞,

7、其基矢为a,b,c,只考虑由格矢ha+kb+lc构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体111方向上的结晶学周期为 , 但实际周期为 /2. a3a3第二章第二章 晶体中的衍射晶体中的衍射X射线衍射的本质 晶面间距晶面间距A 与晶面间距相当的波：与晶面间距相当的波：X光、电子束、中子束光、电子束、中子束 X射线射到晶体各层面的原子，原子中的电子发生强射线射到晶体各层面的原子，原子中的电子发生强迫振荡迫振荡 向周围发射同频率的电磁波，即散射向周围发射同频率的电磁波，即散射 每个原子是散射的子波波源每个原子是散射的子波波源 劳厄斑是散射的电磁波的叠加。劳厄斑是散射的电磁波的叠加。基本概念 倒易点阵倒

8、易点阵 布里渊区布里渊区 Bragg反射和反射和Laue方程方程 原子散射因子原子散射因子 几何结构因子几何结构因子倒易点阵倒易点阵 2 lhRK ijjiba2 213132321222aabaabaab 2 0 正格子是真实的晶体结构，L (长度) 倒格子为晶体点阵的衍射图象，量纲L-1 正点阵中的一个平面 倒易点阵的一个点 倒格子的晶胞体积*=(2)3 正格子中的一族晶面 (h k l) 与倒易矢量正交 倒格矢的模正比与正空间 (h k l) 平面面间距的倒数 正格子中的一族晶面正格子中的一族晶面倒格子中的一个点倒格子中的一个点 晶体衍射：晶格和波的作用，一族晶面散射波的晶体衍射：晶格和

9、波的作用，一族晶面散射波的干涉干涉照片上一个点照片上一个点 用倒格点描述衍射问题用倒格点描述衍射问题Bragg定理和Laue方程 把晶体分解成相互平行的晶面，每一个晶面都相当于把晶体分解成相互平行的晶面，每一个晶面都相当于一个半透明的镜子，当一个半透明的镜子，当x-ray射到晶面上时，晶面要反射到晶面上时，晶面要反射一部分射一部分x-ray，并将大部分，并将大部分x-ray透射到下一个晶面。透射到下一个晶面。当从相邻的晶面上来的反射波有相同的位相，称为当从相邻的晶面上来的反射波有相同的位相，称为Bragg峰，这种现象称之为峰，这种现象称之为Bragg反射反射 nd sin2Laue方程 一组倒

10、易点阵矢量一组倒易点阵矢量 确定可能的确定可能的x-rayx-ray反射反射( (由各个方由各个方向的反射波发生相长干涉而来向的反射波发生相长干涉而来) )，所有的，所有的 对应了可能对应了可能的反射束。的反射束。hkhk )(0SSRlSk 2 k-kk-k0 0= nK= nKh h满足方程满足方程, ,与入射波矢差一个倒格矢的方与入射波矢差一个倒格矢的方向将出现衍射极大，得到亮斑向将出现衍射极大，得到亮斑Bragg定理和Laue方程 nd sin2 )(0SSRlSk 2 k-k0= nKh满足方程满足方程,与入射波矢差一个倒格矢的方向与入射波矢差一个倒格矢的方向将出现衍射极大，得到亮斑

11、将出现衍射极大，得到亮斑Laue衍射条件就是衍射条件就是Bragg定理在倒易空间的表现形式定理在倒易空间的表现形式反射球反射球 反射球把晶体衍射和衍射照片上的斑点直接联系起来Ewarld球hKOCPhhKKnk晶体衍射的主要方法晶体衍射的主要方法 Laue法：法：X光波长在一定范围内光波长在一定范围内 旋转晶体法旋转晶体法 粉末衍射法粉末衍射法原子散射因子和几何结构因子原子散射因子和几何结构因子 晶格对X射线的衍射晶体内每个原子对X射线的散射 原子对X射线的散射原子内每个电子对X射线的散射 原子内各部分电子云对X射线的散射波之间有相位差产生干涉 原子散射因子：原子内所有电子的散射波的振幅的几何

12、和一个电子的散射波的散射振幅几何结构因子几何结构因子晶胞对射线的衍射晶胞对射线的衍射LaueLaue衍射条件衍射条件: :各各阵点阵点上散射波的相长干涉条件上散射波的相长干涉条件可能会出现尽管可能会出现尽管LaueLaue条件满足，而由于基元中各原子散射波之间发生相条件满足，而由于基元中各原子散射波之间发生相互干涉而使得总散射波强度为零的情况互干涉而使得总散射波强度为零的情况衍射条纹的位置相对强度衍射条纹的位置相对强度原胞结构原胞结构复式格子由相同的子格子套构而成，衍射加强对应与相同的复式格子由相同的子格子套构而成，衍射加强对应与相同的BraggBragg条件条件各子格之在同一方向的衍射极大又

13、将发生干涉各子格之在同一方向的衍射极大又将发生干涉总衍射强度决定于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子总衍射强度决定于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波动振幅之比动振幅之比几何结构因子几何结构因子123(),jiK rjjjjjjF Kf eru av aw a n几何结构因子采用结晶学中的晶胞几何结构因子采用结晶学中的晶胞 2()222cos 2()sin 2()jjjni hukvlwhkljjhklhklhklhkljjjjjjjjjjFsf eIFFFfn hu

14、kvlwfn hukvlw BCC的倒格子是的倒格子是FCC )(2)(2)(2321zyxaazyxaazyxaa332121)(aaaa )(2)022()111111111111(44)(2/2233231yxakjiakjiaaaaab )(2)(232zxabzyab FCC的倒格子是的倒格子是BCC )(2)(2)(2321yxaazxaazyaa332141)(aaaa )(2)(48)(4/2233231zyxakjiaaaaab )(2)(232zyxabzyxab 2、简单正交、简单正交(hkl)晶面间距晶面间距klcbhlcahkbaclbkahGGGhklhklhkl)

15、( 2)( 2)( 2222222 kabcjacbibccba 222)(2 2222222222222224444ccbbaaacbacba )(12)(42222222222222clbkahGdclbkahGhklhkl c lbkahGhklabc 3、六角密集结构的倒格矢、六角密集结构的倒格矢 kcajaiaajaiaa321232232 kcjaiajaiabjiajaiakcbjiakcjaiab 2)232()232(2)33(2)232(2)33(2)232(23212323232232)(22213cakakcjaiajaiakcaaa 4、ndsin20)()/(22/

16、)cos1(/22/cos/2)2/90(/2222222222222222222 hlklklkhlkllkhlkhaSinlkha K0和和Kh都在都在yz平面内，所以平面内，所以K也在此平面内也在此平面内5、NaCl衍射强度衍射强度部分奇或部分偶部分奇或部分偶全奇全奇全偶全偶nlnknhInlnknhffInlnknhffIlnknhnlkhnfklnlhnkhnflwkvhunflwkvhunflwkvhunflwkvhunflwkvhunfIClNahklClNAhklClNahklClNajjjjCljjjjNajjjjjjjjjjjjjjjhkl,0,)(16,)(16cosco

17、scos)(cos)(cos)(cos)(cos1 )(2cos)(2cos )(2cos )(2sin )(2cos002102102100212121:212102102102121000:2222222 6 金刚石结构的金刚石结构的 几何因子几何因子）等面的一级衍射斑点）等面的一级衍射斑点），（），（没有（没有（也为偶数也为偶数全为偶数，且全为偶数，且全为奇数全为奇数221321)(2/1,0)33(2/1sin)33(2/1sin)33(2/1sin)(2/1sin)33(2/1cos)33(2/1cos)(2/1cos)33(2/1cos)(cos)(cos)(cos1 )(2sin

18、 )(2cos434341,434143,414343,414141:212102102102121000:22222lkhnlnknhnlnknhIlkhnlkhnlkhnlkhnlkhnlkhnlkhnlkhnhknlknkhnflwkvhunflwkvhunfIBAhkljjjjjjjjjjhkl 7、二维格子、二维格子a22a1，夹角夹角120度，画出度，画出1BZ 和和2BZ)2/32/1(60sin/2)2/12/3(60sin/22211022011jiaaiaajabjiab 8、Cu K : =0.154nm,入射入射Al单晶，（单晶，（111）面一级）面一级布拉格反射角布拉

19、格反射角19.2度，计算面间距和铝的晶格常数度，计算面间距和铝的晶格常数nmdalkhadnmdd405. 03/234. 0,sin2222 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 晶体中原子间距的数量级为晶体中原子间距的数量级为A，要使原子晶格成为光，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于波的衍射光栅，光波的波长应小于A. 但可见光的波长但可见光的波长为为400760nm, 因此因此, 在晶体衍射中，不能用可见光在晶体衍射中，不能用可见光. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同对于同级衍射级衍射, 哪一晶面族

20、衍射光弱哪一晶面族衍射光弱? 为什么为什么? 高指数的晶面族衍射光弱高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强低指数的晶面族衍射光强. 原子面密度原子面密度 布拉格反射公式布拉格反射公式 ndhkl sin2温度升高时温度升高时, 衍射角如何变化衍射角如何变化? X光波长变化时光波长变化时, 衍射角如何变化衍射角如何变化ndhklsin2 温度升高时温度升高时, 晶面间距变大，可知晶面间距变大，可知, 对应同一对应同一级衍射级衍射, 当当X光波长不变时光波长不变时, 面间距逐渐变大面间距逐渐变大, 衍射衍射角逐渐变小角逐渐变小当温度不变当温度不变, X光波长变大时光波长变大时, 对于同一

21、晶面族对于同一晶面族, 衍射角变大衍射角变大由由KCl的衍射强度与衍射面的关系的衍射强度与衍射面的关系, 说明说明KCl的衍的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效. Cl 与与K离子外层电子排布相同离子外层电子排布相同 散射因子相同散射因子相同 KCl为为NaCl结构结构 对对X光衍射来说光衍射来说, KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效的衍射条件与简立方元素晶体等效.第三章、晶体的结合和弹性第三章、晶体的结合和弹性 原子如何相互作用结合成固体原子如何相互作用结合成固体 5种结合类型种结合类型 根据结合力性质，晶体可以分为根据结合力性质，晶体可以分为5种类

22、型种类型 离子晶体：离子键离子晶体：离子键 原子晶体：共价键原子晶体：共价键 金属晶体：金属键金属晶体：金属键 分子晶体：范德瓦耳斯结合分子晶体：范德瓦耳斯结合 氢键晶体：氢键氢键晶体：氢键概念概念1 1内聚能内聚能以自由原子的能量为参考点，原子组成以自由原子的能量为参考点，原子组成晶体后系统能量的降低称为内聚能，也晶体后系统能量的降低称为内聚能，也就是把一个晶体拆散成它的组成单元时，就是把一个晶体拆散成它的组成单元时，外界需提供的能量。外界需提供的能量。它表示晶体结合的强弱，组成晶体时放它表示晶体结合的强弱，组成晶体时放出的能量多，拆散时供给的能量也多，出的能量多，拆散时供给的能量也多，内聚

23、能就大。内聚能就大。概念概念2 2平衡距离平衡距离( )mnabu rrr吸引：异性电荷库仑力吸引：异性电荷库仑力排斥：同性电荷库仑力、泡利原理引起排斥：同性电荷库仑力、泡利原理引起 内内聚聚能能 )1(, 00minnmraruruambnrrrrurfmmno产生吸引和排斥的物理原因和晶体具体的产生吸引和排斥的物理原因和晶体具体的结合方式有关结合方式有关概念概念3 3体积弹性模量体积弹性模量 弹性模量弹性模量Bm， 表明在温度不变时，随压力的变化体积表明在温度不变时，随压力的变化体积的变化的变化 dU=TdS pdV， 不考虑热效应不考虑热效应TmVPVB)(22222() ,mmUBVV

24、UrBVUNu VNvrV 概念概念4 4电负性电负性 原子对价电子吸引能力原子对价电子吸引能力 电离能电离能Wi： 亲和能亲和能Wa： 同一周期从左至右，电负性值递增；同一周期从左至右，电负性值递增； 同族元素从上到下，元素电负性值递减同族元素从上到下，元素电负性值递减)(3 . 61aiWW 只有有电负性相差较大的元素之间才能形成离子键。只有有电负性相差较大的元素之间才能形成离子键。概念概念5 5 LennardJones势势126( )4u rrr LennardJones势势r = 时，时，u( ) = 0，这时吸引能与排斥能相等；，这时吸引能与排斥能相等； 的物理意义是两分子间的结合

25、能的物理意义是两分子间的结合能范德瓦尔斯力结合范德瓦尔斯力结合概念概念5 5共价键共价键 两个原子各贡献一个电子成为共用的电两个原子各贡献一个电子成为共用的电子对子对 方向性、饱和性方向性、饱和性 极性和非极性极性和非极性 键和键和键键 轨道杂化：轨道杂化：在同一个原子中能量相近的在同一个原子中能量相近的不同类型的几个原子轨道在成键时可以不同类型的几个原子轨道在成键时可以相互叠加而组成同等数量的能量完全相相互叠加而组成同等数量的能量完全相同的杂化原子轨道同的杂化原子轨道概念概念6-6-氢键氢键氢键表示为氢键表示为 XH Y氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合氢同时和两个电负性很大而

26、原子半径较小的原子相结合饱和性饱和性结合能：结合能： 10 kcal/mol离子晶体 离子键离子键 结合能结合能 150 kcal/mol，经典模型计算经典模型计算 马德隆常数马德隆常数 导电性差、熔点高、硬度高、膨胀系数小导电性差、熔点高、硬度高、膨胀系数小 无方向性和饱和性无方向性和饱和性 高配位数高配位数 正负离子半径比决定结构正负离子半径比决定结构 CsCl、NaCl、ZnS分子晶体 分子之间的结合力：范德瓦耳斯力分子之间的结合力：范德瓦耳斯力 弥散力弥散力 取向力取向力 感应力感应力 结合弱，结合弱， 1 kcal/mol，熔点低，经典计算熔点低，经典计算 电子云分布球对称，密堆，面

27、心立方电子云分布球对称，密堆，面心立方126( )4u rrr 共价晶体 共价键的饱和性确定配位数共价键的饱和性确定配位数 方向性确定结构方向性确定结构 C、Si、Ge：金刚石结构：金刚石结构 AN B8-N型化合物晶体，型化合物晶体， 共价键数目共价键数目 配位数配位数 GaAs：闪锌矿结构，配位数：闪锌矿结构，配位数4 两个原子把所有价电子共用，两个原子都形成两个原子把所有价电子共用，两个原子都形成8电子稳定结构电子稳定结构 结合能结合能 150 kcal/mol 熔点高、硬度高、熔点高、硬度高、导电性差导电性差 量子力学方法计算量子力学方法计算金属晶体金属晶体 电子的共有化：自由电子气电

28、子的共有化：自由电子气 导电、导热、金属光泽导电、导热、金属光泽 电子云与原子实之间的吸引力没有方向电子云与原子实之间的吸引力没有方向性，对结构没有限制，排列紧密性，对结构没有限制，排列紧密 面心立方（面心立方（Cu 、Ag 、Al )、六角密排、六角密排(Be 、 Mg、Zn )，少量体心立方，少量体心立方(Li、Mo、W) 结合能：结合能： 50 kcal/mol，量子力学计算量子力学计算氢键晶体氢键晶体氢键表示为氢键表示为 XH Y氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合饱和性饱和性结合能：结合能： 10 kcal/mol典型晶体：

29、典型晶体：H2O、HF、KH2PO4（KDP）等）等第三章 习题1、一维等间距排列的离子晶体的马德隆常数2ln22ln24131211 2ln1432)1ln(4131211 20, 0,)1(43200 xxxxxxaaRRajjjj取取左边左边右边右边为原点为原点以某一原子点以某一原子点2、NaCl的每对离子内聚能 NaCl晶格常数2r0,每个晶胞有4对NaCl8 . 71025. 1)11(4,36)1(282. 01082. 241002. 645.58)2(16. 2170024002802330 nJnrMeNUrMenBnmcmrrcm 3、LiF100223423000 020

30、.2014(1)11012.8 10,(1)3646.02 106.32,.,7.23 10/cmmrnmUnMeMeBJrNrnnBN m 4、37. 1131/,2),(23 rrarrraCsCl结构，r-/r+1.37NaCl结构，r-/r+ r0时时, 吸引力起主导作用吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离当相邻原子间的距离 r0时时, 吸引力起主导作用吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离当相邻原子间的距离r r0时时, 排排斥力起主导作用斥力起主导作用. 当固体受挤压时当固体受挤压时, r r0, 原子间的吸引力抗击着这一形变原子间的吸引力抗击着这一形变. 固体呈现宏观弹性的微观

31、本质是固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用原子间存在着相互作用力力, 这种这种作用力既包含着吸引力作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力又包含着排斥力. 第四章第四章 晶格振动晶格振动 在平衡位置附近的振动在平衡位置附近的振动 简谐近似简谐近似 振动模式是独立的、分立的振动模式是独立的、分立的 振动模式可以用简谐振子来描述，谐振子的振动模式可以用简谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子（正则变换）能量量子称为声子（正则变换） 晶格振动具有波的性质格波晶格振动具有波的性质格波一维单原子链一维单原子链 原子之间的互作用势原子之间的互作用势运动方程运动方程 近似：近似： 只考虑势能的二阶

32、近似（简谐力）只考虑势能的二阶近似（简谐力） 只考虑近邻相互作用只考虑近邻相互作用 ：恢复力常数：恢复力常数22()ad Udr 12sin2aqm )(tnaqinAe 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波 晶格中原子间的振动存在固定的位相关系，即在晶格中原子间的振动存在固定的位相关系，即在晶体中存在着角频率为晶体中存在着角频率为 的平面波的平面波格波格波 波长波长 BornKarman边界条件边界条件 长波极限长波极限q 2 qaa 简约区简约区hNaq 2h =整数整数ll 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质12sin

33、2aqm )(tnaqinAe 一维双原子链的振动一维双原子链的振动 声频支和光频支声频支和光频支 光频支：光频支：光波的电场可以激发的晶格振动光波的电场可以激发的晶格振动 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，原原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动心基本保持不动 声频支：声频支： 原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动本上无相对振动aaaq 2a

34、M 2am 0q 00 1102Mm 轻原子不动轻原子不动重原子不动重原子不动122aqqMm 简振坐标 不是描述某个原子运动的坐标，而是反不是描述某个原子运动的坐标，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标映晶体中所有原子整体运动的坐标晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式振动模式jjj12En 能量本征值：能量本征值：j0,1,2,n l 声子是晶格振动的能量量子声子是晶格振动的能量量子 j或格波的能量量子或格波的能量量子11)( KTqeqn 声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，一种准粒子，一种准粒子

35、声子是波色子声子是波色子jq晶格振动的模式数j色散关系的个数，即格波的支数：由原胞内的原子个数决色散关系的个数，即格波的支数：由原胞内的原子个数决定和晶体的维度决定定和晶体的维度决定3n，其中，其中3支声频支，支声频支，3n3支光频支支光频支波矢波矢q的取值在的取值在1BZ中，数目由晶体中原胞的数目决定中，数目由晶体中原胞的数目决定N总的晶格振动的模式数总的晶格振动的模式数3nNnNiiiqqnE31)(21)(晶格振动总的能量晶格振动总的能量晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 在在 空间中，波矢空间中，

36、波矢 的分布密度：的分布密度： 3.8Vconstqqq格波频谱密度格波频谱密度g( ) qdq d 振动的频率分布函数振动的频率分布函数g( )振动模的态振动模的态密度函数密度函数 jj38qVdSg 黄昆方程 电磁波与长光学模的相互作用电磁波与长光学模的相互作用 离子相对位移离子相对位移W，宏观极化，宏观极化P、电场、电场E11121222Wb Wb EPb Wb E 离子晶体中，长光学离子晶体中，长光学纵纵波使晶格出现宏观极化波使晶格出现宏观极化极化波极化波长光学长光学纵纵波声子极化声子波声子极化声子长光学横波具有长光学横波具有电磁性电磁性，长光学横波声子（长光学横波声子（TO)是是电磁

37、声子电磁声子22( )(0)ToLo LST关系关系Lyddane-Sachs-Teller222222(0)( ), ( )( )LOLOTOTO 晶格比热 杜隆珀替定律杜隆珀替定律 由晶格振动的内能推导晶格比热由晶格振动的内能推导晶格比热 爱因斯坦近似：爱因斯坦近似：所有原子都以所有原子都以 0振动，爱因斯坦温度振动，爱因斯坦温度 德拜近似：低温下热只能激发长波声子，德拜温度德拜近似：低温下热只能激发长波声子，德拜温度在一定温度下，晶格振动的总能量为：在一定温度下，晶格振动的总能量为：01( )2exp1BEEE Tk Tjjjjj物态方程lnlnddV Grneisen const.晶格

38、状态方程：晶格状态方程：dUEpdVV 与晶格振动的非简谐性有关与晶格振动的非简谐性有关31统计物理，统计物理，F2=kBTlnZ配分函数配分函数 对所有晶格振动的能级相加对所有晶格振动的能级相加/iBEk TZe 热膨胀热膨胀VmCBV Grneisen定律定律热膨胀和非线性振动有关，体积膨胀和热振动成正比，热膨胀和非线性振动有关，体积膨胀和热振动成正比，和定容比热成正比和定容比热成正比晶格热传导声子是晶格振动的能量量子，声子的定向运动即为热流声子是晶格振动的能量量子，声子的定向运动即为热流晶格热传导是晶格热传导是“声子声子”扩散运动的结果扩散运动的结果vckv31声子通过和晶体中其它声子发

39、生碰撞，总使得温声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总使得温度较低的区域具有同样的度较低的区域具有同样的“声子声子”密度密度 温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度密度高高晶体中声子数目是否守恒? i11)(/TkiBien频率为频率为的格波的的格波的(平均平均) 声子数为声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此因此, 晶体中晶体中声子数目不守恒声子数目不守恒, 它是温度的变量它是温度的变量.按照德拜模型按照德拜模型,

40、晶体中的声子数目晶体中的声子数目N为为.d2311d )()(0322/0DBiDpcTkVeDnNgTkVNpDBc3322343高温时高温时, 晶体中的声子数晶体中的声子数目与温度成正比目与温度成正比. 低温时低温时, 晶体中的声子数目与晶体中的声子数目与T 3成正比成正比. 温度一定，一个光学波的声子数温度一定，一个光学波的声子数目多目多, 还是声学波的声子数目多还是声学波的声子数目多? 光学波的频率比声学波的频率高光学波的频率比声学波的频率高 11)(/TkiBien一定情况下一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目声学波的声子数目 长声学

41、格波能否导致离子晶体的宏观极化? 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子同的原子(正负离子正负离子)产生了相对位移产生了相对位移. 长长声学格波的特点是声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没原胞内所有的原子没有相对位移有相对位移. 因此因此, 长声学格波不能导致长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化离子晶体的宏观极化.金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl晶体, 结论又是什么? 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对

42、位移移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场电场的方向是阻滞离子的位移的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系使得有效恢复力系数变大数变大, 对应的格波的频率变高对应的格波的频率变高. 长光学格横波长光学格横波不引起离子的位移不引起离子的位移, 不产生极化电场不产生极化电场, 格波的频格波的频率不变率不变. 金刚石不是离子晶体金刚石不是离子晶体, 其长光学纵其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而而KCl晶体是离子晶体晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等

43、波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率频率大于同波矢的长光学格横波频率. 简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ 离子晶体能强烈吸收远红外光波离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单简单晶格中不存在光学波晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会所以简单晶格不会吸收远红外光波吸收远红外光波. 格波的频率与格波的频率与 成正比成正比. 说明该说明该光学横波对应的恢复力系数光学横波对应的恢复力系数 , 时时, 恢复力消失恢复力

44、消失, 发生了位移的离子再也发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡而到达另一平衡位置位置, 即离子晶体结构发生了改变即离子晶体结构发生了改变(称为称为相变相变). 在这一新的结构中在这一新的结构中, 正负离子存在正负离子存在固定的位移偶极矩固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场产生了一个稳定的极化电场 0T00如何理解铁电相变的软模理论 爱因斯坦模型在低温下与实验存爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么在偏差的根源是什么? 按照爱因斯坦温度的定义按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型爱因斯坦模型的格波的频

45、率大约为的格波的频率大约为1013Hz, 属于光学支属于光学支频率频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献但光学格波在低温时对热容的贡献非常小非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长低温下对热容贡献大的主要是长声学格波声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源下与实验存在偏差的根源. iiiin21iinin2/i11/TkiBienin在绝对零度时还有格波存在吗在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在若存在, 格波间还有能量交换吗格波间还有能量交换吗?的格波的振动能为的格波的振动能为是由是

46、由个声子携带的热振动能个声子携带的热振动能是零点振动能是零点振动能, 声子数声子数绝对零度时绝对零度时, 格波的振动能只剩下零点振动能格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度绝对零度时时, 声子消失声子消失, 格波间不再交换能量格波间不再交换能量.频率为频率为=0聚乙烯链聚乙烯链1211212112()(1/2)()()ABBAnnnnBAABnnnnAi naqtnBinaqtnmUUUUmUUUUUAeUBe ABNUn AUn B1212 2/12212212122/112/122212/122/11221)(21s

47、in4110)()(0)()( aqmAeeBmBeeAmiaqiaqiaqiaq一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度 j3j8VdSgqdqaqdNadqdLgm2/1sin/22 21211cos122mmmdaaqadq 22122mNg金刚石的德拜温度金刚石的德拜温度 j3j8VdSgq3122123248vVvqV KkEVmNmvVNNdgBDDlDjD28271069. 3/)6()6(,)(143/123/120 德拜模型计算晶体中各声频支的德拜模型计算晶体中各声频支的零点振动能零点振动能DDlljlDjNvVdvVdgEvVNNdgDDD 83164)(2/1

48、,)6(,)(4320332003/120 纵声频支：纵声频支：两支横声频支：DNE 830 7113104 . 3)(2/2)(2, 0 sMmmMEaMmmMq 2222cosMmMmMmaqMm2212411sinMmMmaqMmMm +：光频支：光频支mmcfc 55105 . 5/2/5 jj38qVdSg 3122123248vVvqV 223232232322334( )824( )8221( )( )2( )()2llltttlttlVqVgvvVqVgvvVgggvv 第五章 晶体中的缺陷 1.设晶体只有弗仑克尔缺陷设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、填隙原子的振动

49、频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？率有什么差异？ 原子间距原子间距 弹性力常数弹性力常数 原子振动频率与原子间力系数的原子振动频率与原子间力系数的1/2次方近似成正比次方近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高 ；空位附近原子的振动频率比正常格点原子的低。空位附近原子的振动频率比正常格点原子的低。 KCl晶体生长时，在晶体生长时，在KCl溶液中加入适量的溶液中加入适量的CaCl2溶液，溶液，生长的生长的KCl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？晶体

50、的质量密度比理论值小，是何原因？ 离子半径：Ca离子的半径(0.99)， K的半径1.33 替位式杂质 电中性，产生K+空位 原子质量相当 为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低尔缺陷所需能量低? 肖特基缺陷 晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值 弗仑克尔缺陷 空位填隙原子. 形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能和晶体内部一个原子与其它原子相

51、互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多。由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.金属淬火后为什么变硬金属淬火后为什么变硬?晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除

52、的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法.高温下, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率大, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷。这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来。数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.在位错滑移时在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上刃位错上原子受的力和螺位错上原子

53、受的力各有什么特点原子受的力各有什么特点? 在位错滑移时在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直方向相垂直.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数面指数 滑移面一定是密积面滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原因为密积面上的原子密度最大子密度最大, 面与面的间距最大面与面的间距最大, 面与面面与面之间原子的相互作用力最小之间原子的相互作用力最小. 对于立方密对于立方密积积, 111是密积

54、面是密积面. 对于六角密积对于六角密积, (001)是密积面是密积面. 因此因此, 立方密积和六角密积晶立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为体滑移面的面指数分别为111和和(001). 晶体结构对缺陷扩散有何影响晶体结构对缺陷扩散有何影响? 扩散是自然界中普遍存在的现象扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本它的本质是离子作无规则的质是离子作无规则的布郎运动布郎运动. 通过扩散通过扩散可实现质量的输运可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺不同之处是缺陷在晶体中运动要受到陷在晶体中运动要受到晶格周期性晶格周期性的限

55、的限制制, 要克服势垒的阻挡要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格对于简单晶格, 缺缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期期.第六章 金属电子论传导电子看作传导电子看作自由电子费米气体自由电子费米气体。忽略传导电子与离子实之间的。忽略传导电子与离子实之间的相互作用，忽略传导电子之间的相互作用，这种自由电子气体服相互作用，忽略传导电子之间的相互作用，这种自由电子气体服从费米从费米狄喇克统计规律。狄喇克统计规律。把离子实的电荷抹散成一个正电荷背景把离子实的电荷抹散成一个正电荷背景( (这样周期势场就不存在这样周期势场就不存在了了) ) 好象好象“凝胶凝胶”一样，补偿传导

56、电子之间的排斥作用。一样，补偿传导电子之间的排斥作用。电子在正电荷的背景中运动不受正电荷的散射，电子所受到的散电子在正电荷的背景中运动不受正电荷的散射，电子所受到的散射纯粹来自周期结构的破坏与偏离：电声子相互作用、缺陷、电射纯粹来自周期结构的破坏与偏离：电声子相互作用、缺陷、电子之间的散射（泡利不相容原理）子之间的散射（泡利不相容原理）用量子力学确定电子状态，电子气费米狄拉克分布用量子力学确定电子状态，电子气费米狄拉克分布自由电子能级和能态密度1()2 ()2EnkdsN E 等等能能面面2222)2(22nLmkmn 电子气体服从泡利不相容原理和电子气体服从泡利不相容原理和费米费米 狄拉克统

57、计狄拉克统计11),()( TkEEBFeTEf0()()f E T VN E d EN EF为为化学势，化学势，费米费米 狄拉克分布狄拉克分布FBEEseveral k T FBEEseveral k T 1 TkEEBFe0)( Ef1)( Ef1)0TK( )1f E ( )0f E 3) 在较低温度时，分布函数在在较低温度时，分布函数在EEF处发生很大变化处发生很大变化E EF2) T= 0 K费米面和费米能级k空间的费米面空间的费米面FEET=0K的费米面内所有状态均被电子占有的费米面内所有状态均被电子占有T0K,费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近费米能量降低，一部分电子被

58、激发到费密面外附近k空间的费米面：空间的费米面：EEF费米能级 T0K0()()NVf E N E dE 00()FEVN E dE 3/2220)3(2nmhEF自由电子的费密能级自由电子的费密能级VNn 电子的平均能量电子的平均能量 平均动能平均动能053FKinEE 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子个自旋相反的电子 所有的电子不可能都填充在最低能量状态所有的电子不可能都填充在最低能量状态 费米能级 T0K0()()Nf E N E dE 020201ln()() 6FFFBEFdEEQEk TEdE 对于近

59、自由电子对于近自由电子2/1)(EEg )(121 2020FBFFETkEE 温度升高费密能级下降温度升高费密能级下降电子气比热0()()Uf E EN E dE 0()()ER EEN E dE 2002()()()6FFBUR EN Ek T 热激发电子的数目热激发电子的数目kBT 每个电子获得的能量每个电子获得的能量0()()FBN Ek T20()()3VFBBCN Ek T k 000()3/ 2FFN ENE 只有在附近约只有在附近约kBT范围内电子参与热激发，对范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献金属的热容量有贡献 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息从电子的热容

60、量可获得费米面附近能态密度的信息重费米子系统0()FN Em200()()()3VFBBFCN Ek T kN E 电子比热系数越大，相应的电子的有效质量越大电子比热系数越大，相应的电子的有效质量越大 材料称为重费密子系统材料称为重费密子系统2400/mJ K金属电导率金属电导率0ffefEvBk 2234FFxxxxSkdseje vEEE )(,)3(2312FFEmnenk 晶格振动对电子的散射，本征电阻率晶格振动对电子的散射，本征电阻率高温高温 L T低温低温 L T51)/exp(1 TknBqq 霍尔效应霍尔效应 RH=Ey/(jxB)霍尔系数霍尔系数neRH1 载流子为空穴，霍尔