变化率与导数导数计算

1、一、选择题1若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：y4x34，得x1，即切点为(1,1)所以过该点的切线方程为y14(x1)整理得4xy30.答案：A2(2011·山东高考)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15解析：y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.答案：C3(2011·重庆高考)曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x解析：依题意得，

2、y3x26x，y|x13×126×13，即所求切线的斜率等于3.故所求直线的方程是y23(x1)，整理得y3x1.答案：A4(2011·湖南高考)曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()A B.C D.解析：y，把x代入得导数值为.答案：B5设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A1 B.2 / 9C D1解析：y2ax，y|x12a.即yax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2xy60的斜率为2.这两直线平行，它们的斜率相等，即2a2，解得a1.答案：A6(2011·湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成

3、其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln 2太贝克C150ln 2 太贝克 D150太贝克解析：因为M(t)M02·ln 2，所以M(30)M0ln 210ln 2.所以M0600.所以M(t)600×2.所以M(60)600×22150(太贝克)答案：D二、填空题7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(

4、x)2x2f(1)，f(1)22f(1)即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：48(2012·启东中学模拟)已知函数f(x)x3ax4(aR)，若函数yf(x)的图像在点P(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则a_.解析：f(x)3x2a，yf(x)的图像在点P处的切线的倾斜角为，即f(1)tan，3a1.解得a4.答案：49曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_解析：点(2，e2)在曲线上，切线的斜率ky|x2ex|x2e2.切线的方程为ye2e2(x2)即e2xye20.与两坐标轴的交点坐标为(0，e2)，(1,0)，S×1×e

5、2.答案：三、解答题10求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)法一：y.法二：y1，y1()，即y.11(文)设曲线C：yln x(0x1)在点M(et，t)(t0)处的切线为l.(1)求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值解：(1)y(ln x)(0x1)，在点M(et，t)处的切线l的斜率为et，故切线l的方程为ytet(xet)，即etxy1t0.(2)令x0，得yt1；再令y0，得x.S(t)(t1)(t1)2et(t0)从而S(t)et(

6、1t)(1t)当t0,1)时，S(t)>0；当t(1，)时，S(t)<0，S(t)的最大值为S(1).11(理)已知曲线f(x)e2x1在点A处的切线和曲线g(x)e2x1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且·0，求AOB的面积解：f(x)e2x1·(2x1)e2x1，g(x)e2x1·(2x1)e2x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1e2x11，y2e2x11，f(x1)e2x11，g(x2)e2x11，由题意有x1x21，x1x2.x1，x2.y1，y2.OA，OB.·0.SAOB××.12已知曲线S：y3

7、xx3及点P(2,2)(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)(x00)的切线与S至少有两个交点解：(1)设切点为(x0，y0)，则y03x0x.又f(x)33x2，切线斜率k33x.即3x0x2(x02)(33x)(x01)(x01)230，解得x01或x01±，相应的斜率k0或k9±6.切线方程为y2或y(9±6)(x2)2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为yy0(33x)(xx0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3xx3y03(1x)·(xx0)，即3xx3(3x0x)3(1x)(xx0)即(xx0