合肥工大高数第12章微分方程

1、第十一章 微分方程函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。第一节 微分方程的基本概念定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。如： 二阶方程；一阶方程；三阶方程，等等讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，方程两边三次积分，得方程的解（为任意常数）。当时，也满足方程。

2、可见包括了所有的解的形式。则称它为通解。定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解注2：一阶方程的几种形式：一般形式：，从这个方程种有可能解出，也有可能解不出来；一阶显式方程：；对称形式：或注3：在一阶方程种，和的关系是等价的.因此，有时可将看成函数，看做变量。第二节 可分离变量方程定义1：称能改写为形式：的一阶方程为可分离变量方程。注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。定理1：

3、若，则的通解为证： （1）先证是方程的解。两边对求导，得，即故是方程的解 （2）设是方程的任一解，则两边关于积分，得 又 是的一个原函数，是的一个原函数则，即在中所以， 为的通解。1 / 14注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。【例1】 求的通解，并求满足初始条件的特解。解：方程可变为，两边积分，得即 为方程的通解。又，代入，得 即满足初始条件的特解为 【例2】 求的通解。解：由，分离变量，得，两边积分，得，即为方程的隐式通解。二、可化为齐次方程的方程经变换将行如方程化为齐次方程。【例3】 求的通解。解：令，则

4、令 即 方程变为： ，令 代入，得，积分，得 ，由 代回，得通解为： （其中为任意常数）第三节 齐次方程一、齐次方程定义1：称能改写成形式：的微分方程为一阶齐次方程。我们下面来看看齐次方程解的情形：令，即，代入方程，得，分离变量，得两边积分，解出，再将回代，即得通解。【例1】 求 的通解。解：原方程可化为，令，即，代入方程，得，化简 积分，得 ，将回代，得通解为二、可化为齐次方程的方程经变换将行如方程化为齐次方程。【例4】 求的通解。解：令，则令 即 方程变为： ，令 代入，得，积分，得 ，由 代回，得通解为： （其中为任意常数）第四节、一阶线性方程一、 一阶线性微分方程定义1：称可转化为形式

5、： (1)的方程为一阶线性方程；若，则（1）式称为一阶线性齐次方程；，（1）式称为一阶线性非齐次方程。 下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程： （2） 显然是可分离变量方程。得，两边积分，得 （3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。 下面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来求（1）的解：假设为非齐次方程(1)的解，代入方程，得则， 积分，得 则 （4）即为方程（1）的通解。【例1】求的通解。解：由于为一阶线性非齐次方程，且，代入（4），得其通解为 例2 求的通解。解： 若将看成函数，作为变量，此方程不是一阶线性方程。故

6、将看成函数，作为变量，则原方程化为： 进一步化简，为一阶线性方程，代入（4），得方程的通解为 。二、 贝努力方程可化为一阶线性方程的方程定义2：称形如：的方程为一阶贝努力方程。下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为 ，令，则方程化为，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，最后将代回，即得通解。【例3】求的通解。解：将方程变形，得 ，为贝努力方程。令，代入，利用（4），得 ，又，所以 为原方程的通解。第五节 全微分方程定义1：如果存在可微函数，使，则称微全微分方程。命题：（1）为全微分方程 （2）的通解为 ，其中。【例1】求的通解。解：令，由于，故方程为全微分方程所以 二、可化为全微分方程

7、的方程积分因子定义2：设不是全微分方程，如果存在可微函数使为全微分方程，则称为原方程的积分因子。注：积分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积累才能有效的解题。【例2】（1） ； （2）解：（1） （2） 第六节 可降阶的高阶微分方程定义1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。一、连续积分n次即得其通解。【例1】连续积分两次，得，二、跟标准形式相比，缺少。令，则，则，设其通解为则 ，两边积分即得通解。【例2】求的通解。解：令令，则，则 （一阶线性方程）利用（4），得通解： 又，所以通解三、缺少令，则，代入，得设其通解为，则，即，积分即得。【例3】， 求特解。解：

8、令，则，从而 ，积分，得 由，得所以 由知所以 由知 【例5】 求的通解。 解：此题既缺少，又缺少。从理论上，按以上两种方法都能算出结果，但可能难度有差别。此题课堂上当场做，检查学生的能力。第七节 二阶线性微分方程解的结构一、 函数的线性相关与线性无关定义1：设是定义在区间I上的函数，如果存在不全为零的数，使得则称在区间I上线性相关。否则，称在区间I上线性无关。命题1：设是定义在I上的函数，则线性无关不恒为常数。注1:若线性无关，则无法合并成，但当线性相关可以合并。二、 二阶线性微分方程及其解的结构定义2：称形如：的方程为二阶线性非齐次方程。若，则方程为齐次的，若，则称方程为非齐次的。定理1：

9、设是的两个线性无关的解，则为方程的通解。定理2：设是的特解。是对应的齐次方程的通解，则是的通解。定理3：设，分别是与，则是的解。【例1】设是某二阶线性非齐次方程的解，求该方程的通解。解：，又不恒为常数所以，线性无关。故通解为第八节 二阶常系数齐次微分方程的解法一、 二阶常系数线性齐次方程的解二、 定义:称形如 (1),其中为常数的方程为二阶常系数线性齐次方程.下面我们来讨论其解的结构.命题1: 是的解是的解,并称(2)是(1)的特征方程.(i) 当特征方程(2)有两个不同的实根时,则,时方程(1)的两个解,且不恒为常数,从而方程(1)的通解为.(ii) 当时,则是(1)的一个解.现在求另一个线

10、性无关的解.设,代入(1)得 ,所以 则 取,则通解为: (iii) 当,则,应用欧拉公式,得, 构造 显然线性无关,故通解为: 例1 求通解 (1) (2) (3) 解: (1) 特征方程为 则从而通解为 (2) 特征方程为 则从而通解为 (3) 特征方程为 则从而通解为 二.n阶常系数线性齐次方程 (1)特征方程为 (2)(i) 当(2)中有单根时,(1)的通解中含:;(ii) 当(2)中有重根时,(1)的通解中含: (iii) 当(2)中有一对单复根时, ,(1)的通解中含: (iv) 当(2)中有重单复根时,(1)中的通解含有: +例2 求通解.解: 特征方程为 则,则的通解为第九节 二阶单系数线性非齐次方程的解法定义:称形式为: （2）方程,为二阶常系数线性非齐次方程.下面讨论它的解的结构.一、型设方程（2）的特解结构为：（1） 当不是特征根时，可设为，即为一m次多项式。（2） 当是特征单根时，可设为，即为一m1次多项式。（3） 当是特征重根时，可设为，即为一m2次多项式。【例1】 求的通解。解：特征方程为 则，则齐次方程的通解为由于0是特征单根