微积分：2-1 数列的极限

1、R第第2 2章章 极限与连续极限与连续2在微积分中在微积分中, 微积分中其他的一些重要概念如微分、积微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的上的.因此因此, 有关极限的概念、理论与方法有关极限的概念、理论与方法,自然成为微积分学的理论基石自然成为微积分学的理论基石,本章将讨论本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法计算方法, 并在此基础上讨论函数的连续性并在此基础上讨论函数的连续性.极限是一个重要的概念极限是一个重要的概念,3数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质

2、小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念极限概念的引入极限概念的引入2.1 数列的极限数列的极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续4一、极限概念的引入一、极限概念的引入极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量, 从有限到从有限到 即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇 中中 “一尺之棰一尺之棰, 日取其半日取其半, 万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半, 第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的

3、一半, 以后每天都取其剩下的一半以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完这样永远也取不完.2.1 数列的极限数列的极限写道写道:极限概念是由于求某些实际问题的精确解极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的答而产生的.无限无限,5刘徽刘徽(公元公元3世纪世纪)利用圆内接正多边形来推利用圆内接正多边形来推意思是意思是: 设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆, 从圆内接从圆内接正正6边形开始边形开始, 每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出正求出正12边形、边形、等等正多边形的等等正多边形的正正24边形边形.边数越多边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边

4、形越与圆接近,最最后与圆周重合后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有则正多边形周长与圆周长就没有误差了误差了. “割之弥细割之弥细, 所失弥少所失弥少. 割之又割割之又割, 以至不以至不可割可割, 则与圆周合体则与圆周合体, 而无所失矣而无所失矣.”算圆面积的方法算圆面积的方法 -就是极限思想在几就是极限思想在几何学上的应用何学上的应用.割圆术割圆术, ,边长边长,2.1 数列的极限数列的极限6正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 边形的面积边形的面积An126 n,321nAAAASR2.1 数列的极限数列的极限7如如;,2 , 8 , 4 , 2n;

5、,21,81,41,21n2n21n按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数,21nxxx简记为简记为通项通项(general term),或者或者一般项一般项.,nx二、数列二、数列 (sequence of number) 的概念的概念或记为或记为其中其中xn称为数列称为数列xn的的,)(1 nnx2.1 数列的极限数列的极限8可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 数列的几何表示法数列的几何表示法:数列可看作自变量为正整数

6、数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数: )(nfxn 整标函数整标函数或或下标函数下标函数 数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.2.1 数列的极限数列的极限9三、数列极限三、数列极限的概念的概念.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnn即即,511,411,311,211, 11 ,56,43,34,21, 2问题问题当当 n 无限增大无限增大时时, 如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时, xn无限接近无限接近于于1.如何确定如何确定?定性的描述定性的描述xn是否是否无限接近无限接近于于某一确定的数值某一确定的数值?2.1 数列的极限数列的极限10

7、如何用精确的、定量化的数学语言刻画它如何用精确的、定量化的数学语言刻画它.1 nx11)1(11 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看1 nx“无限接近无限接近” 意味着什么意味着什么?|.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.当当n无限增大无限增大时时, xn无限接近无限接近于于1.定量的描述定量的描述2.1 数列的极限数列的极限11,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx

8、有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,时时只要只要Nn .1成立成立有有 nxnxn1|1| 用希腊字母用希腊字母来刻画来刻画xn与与1的接近程度的接近程度.)1( 2.1 数列的极限数列的极限12定义定义2.1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 总存在正整数总存在正整数N, 使得对于使得对于 时的一切时的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立.或称数列或称数列xn收敛收敛于于a (converge to a) . 记为记为,limaxnn 或或).( naxn那末就称常数那末就称常数a是数列是数列xn的的极限极限(l

9、imit),如果数列如果数列xn没有极限没有极限,就说数列就说数列xn发散发散(diverge).么小么小),(不论它多不论它多2.1 数列的极限数列的极限13,有有关关与与给给定定的的 N注注xn有没有极限有没有极限, 一般地说一般地说,是是任任意意给给定定的的正正数数 但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将axnn lim的定义可缩写为的定义可缩写为:(1)(2)(3)(4)“前面前面” 的有限项不起作用的有限项不起作用,;的无限接近的

10、无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn ;,将越大将越大越小越小 N 2.1 数列的极限数列的极限2.1 数列的极限数列的极限14x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何意义数列极限的几何意义 2 a aa,时时当当Nn 数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义通常是用来进行推理注注预先知道极限值是多少预先知道极限值是多少.和证明极限和证明极限, 因为这里需要因为这里需要 axan)(Nn ),( aUxn axn即即)(Nn 而不是用来求极限而不是用来求极限,),(内内都落在都落在所有的点所有的点 aaxn只有有限个只有有限个(至多只有至多只有N个个)落在其外落在其外.

11、axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义15例例. 1)1(lim1 nnnn证明证明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只要只要 1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(lim1 nnnn即即证证1 nx 解不等式解不等式 . axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义2.1 数列的极限数列的极限16例例证证0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 为了使为了使只需使只需使),10( 不妨设不妨设. 1|0, 0lim q

12、qnn其中其中证明证明. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义2.1 数列的极限数列的极限17.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC , ,0 任给任给所以所以,0 .limCxnn 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.成立成立, Cxn , 例例. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义对于一切自然数对于一切自然数n, 2.1 数列的极限数列的极限18例例 证明数列证明数列)321(2cos1、 nnnxn, 0 证证要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只要只要,1 n或或,1

13、 N取取,时时则当则当Nn 有有.02cos1 nn. 02cos1lim nnn即即 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常把常常把 作适当地放大作适当地放大.|axn . 2cos1nn n1 以以 0为极限为极限.用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N, 但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 . axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义2.1 数列的极限数列的极限19. 01)1()1(lim32 nnnn证证, ,0 验证验证由由 01)1()1(32nnn1)1(32 nnn1 32nn ,1 N取取,

14、时时则当则当Nn ,01)1()1(32 nnn有有. 01)1()1(lim32 nnnn即即. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义2.1 数列的极限数列的极限2.1 数列的极限数列的极限201. 唯一性唯一性定理定理2.12.1证证,limaxnn 设设由定义由定义,;|1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当,max N取取时有时有则当则当Nn |ba|axbxnn .2 ba 即即故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.每个每个收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限. .| )()( |axbxnn ,limbxnn 又又, 0 使得使得

15、(否则否则|,|31ba 取取得得|32|baba 这不可能这不可能)所以所以a b = 0, 0| ba.2N,1N 21,NN四、四、收敛收敛数列的性质数列的性质21xO2. 有界性有界性若存在正数若存在正数M,|成立成立恒有恒有Mxn 否则否则, 称为称为使得一切自然数使得一切自然数n,数列数列xn是有界数列是有界数列,.,中中MM 全落在区间全落在区间 在几何上即为存在在几何上即为存在, 0 M使得点使得点)(Nnxn 1x2xM Mnx对数列对数列xn,则称数列则称数列xn有界有界;2.1 数列的极限数列的极限无界无界.22;1)1(nnxn .2)3(nnx 有界有界.例例 判定以

16、下数列的有界性判定以下数列的有界性.;sin2)2(nxn 解解 (1)因为因为 |nx2 ),(Nn 故故xn(2)因为因为|sin2|n 3 ),(Nn 有界有界.故故xn(3)对任给正数对任给正数M, 只要只要,2lnlnMn 便有便有.2Mn 这说明不可能找到这说明不可能找到, 0 M使使Mn 2对每个对每个Nn 都成立都成立,即即xn无上界无上界, 从而从而无界无界.|11|n |sin|2|n 对数列对数列xn, 若存在正数若存在正数M,|成立成立恒有恒有Mxn 无界无界.使得一切自然数使得一切自然数n, 则称数列则称数列xn有界有界;2.1 数列的极限数列的极限否则否则, 称为称

17、为2.1 数列的极限数列的极限23定理定理2.22.2证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,max有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件, 推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界. .无界数列必定发散无界数列必定发散. .但不是充分条件但不是充分条件.,1 a1 a M记记,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数n,此定理及其推论的逆命题不成立此定理及其推论的逆命题不成立.即有界数列不一定收敛即有界数列不一定收敛, 发散数列不一定无界发散数列不

18、一定无界.(后面将给出例子后面将给出例子).故故xn有界有界. axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义243. 保号性保号性定理定理2.32.3 如果如果,limaxnn 且且0 a,Nn 当当0 nx有有),0( a).0( nx证证0 a由定义由定义, 02 a ,时时当当Nn 对对, 0 N,2aaxn 有有 从而从而 nx2aa 2a . 0 , 0 N则则定理定理2.3表明表明: 若数列的极限为正若数列的极限为正(或负或负),则该数列从某项开始以后所有项也为正则该数列从某项开始以后所有项也为正(或负或负). axn有有,时时当当Nn , 0 , 0 NN 定义定义2

19、.1 数列的极限数列的极限253. 保号性保号性定理定理2.32.3如果如果,limaxnn 且且0 a,Nn 当当0 nx有有),0( a).0( nx推论推论2.12.1 如果数列如果数列xn从某项起有从某项起有0 nx),0( nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0( a用反证法用反证法, 0 N则则证证 设数列设数列xn从第从第N1项起项起,. 01 nxNn时有时有即当即当axnn lim若若, 0 则由定理则由定理3知知, 02 N正整数正整数按假定有按假定有,2时时当当Nn ,max21NNN 取取. 0 nx有有,时时当当Nn , 0 nx按定理按定理3有有, 0 nx

20、这引起这引起所以必有所以必有. 0 a矛盾矛盾.2.1 数列的极限数列的极限26在数列在数列xn中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项:,21knnnxxx所构成的新数列所构成的新数列)(21 knnn其下标其下标knx这里这里 是原数列中的第是原数列中的第 项项,kn在子数列中在子数列中是第是第k项项.knx子数列子数列.叫做数列叫做数列xn的的4. 收敛数列与其子数列收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系间的关系2.1 数列的极限数列的极限27定理定理2.42.4 数列数列收敛收敛的充要条件为其任一子列的充要条件为其任一子列由此定理可知由此定理可知, 但若已知一个子列发散但若已知一个子列发散,或有两个子列收敛或有两个子列收敛于不同的极限值于不同的极限值, 可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.能断定原数列的收敛性能断定原数列的收敛性;数列数列,)1( , 1 , 1, 11 n的子列的子列12 kx收敛于收敛于1,而子列而子列2kx收敛于收敛于, 1 因此数列因此数列是发散的是发散的.), 2 , 1( n该例说明了一个发散的数列该例说明了一个发散的数列可能有收敛子列可能有收敛子列,同时也说明有界数列不一定收敛同