概率论1-2 事件的概率

1、第二节第二节 事件的概率事件的概率1.2.1 频率及概率的统计定义频率及概率的统计定义 定义定义 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验， 在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A / n 称为事件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) 。mnA=“出现正面出现正面”( )nfA( )nfA 事件A出现次数试验总次数nu随机试验随机试验抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数试验总次数n 将硬币抛掷将硬币抛掷n次次u随机事件随机事件u事件事

2、件A出现次数出现次数m出现正面出现正面m次次u随机事件的频率随机事件的频率)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn2()1;()0;nnff 则是两两互不相容事件若,321AAAk 它具有下述性质它具有下述性质:;1)(01Afn德德.摩摩 根根 试试 验验 者者 抛抛 掷掷 次次 数数n 出现正面的次数出现正面的次数m 出现正面的频率出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005 维维 尼尼 0.4998 14994 300

3、00 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Experiment of tossing coinu历史纪录历史纪录 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件A 发发生的频率在一个固定的数值生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数附近摆动，随试验次数的增加更加明显的增加更加明显频率和概率频率和概率u 频率的稳定性频率的稳定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的频率稳定在数值的频率稳定在数值p，说明了数值，说明了数值p可以用可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率的概率 对任意事件，在相同的条件下重复进行对任意事

4、件，在相同的条件下重复进行n次次试验，事件发试验，事件发 生的频率生的频率 m/n，随着试验次数，随着试验次数n的的增大而稳定地在某个常数增大而稳定地在某个常数P 附近摆动那么称附近摆动那么称p为事件为事件的概率的概率 ( )P Ap概率的统计定义概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频发生的频率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率的概率频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义与基本性质概率的公理化定义与基本性质定义定义 设 E 是随机试验

5、， 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件： ()P A,)(AP0()1;P A公理一（非负性）（非负性）()1;P 公理二（规范性）（规范性）)()()(2121APAPAAP21,A A 是两两互不相容事件则公理三 若（可数可加性）（可数可加性）;0)(1性质P则是两两互不相容事件若性质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn4()( )()()( )( )( )( )P BAP BP ABABP BAP BP AP BP A性质AB3,( )1( )AP AP A 性质对任何事件有5()

6、,()( )( )()A BP ABP AP BP AB性质加法公式 对任意两个事件有加法公式的推广加法公式的推广三个事件的加法公式三个事件的加法公式1231231223()()()()()()P AAAP AP AP AP A AP A A13123()();P A AP A A An个事件的加法公式个事件的加法公式11111()()()()nniijijkiij nij k niPAP AP A AP A A A 112( 1)()nnP A AA 例例1.2.1 设事件设事件A，B的概率分别为的概率分别为1/3和和1/2，试求，试求下列三种情况下下列三种情况下 的值：的值：()P AB（

7、1）A，B互不相容；（互不相容；（2） ；（；（3）1()8P AB AB解解： （1）由于）由于A，B互不相容，则互不相容，则 ，于是，于是 ，从而，从而BABB AAB1()().2P ABP B（2）由于）由于 ，且，且 ，所以，所以ABB ABA111()()()().236P ABP BAP BP A由于由于且且 互不相容，则互不相容，则()BBAA BABAB ABAB与P( )()()()BP ABABP ABP AB即即113()P( )().288P ABBP AB练习练习 已知事件已知事件A，B满足满足试求试求()()()P ABP ABP Ap且().P B所以所以解解

8、因为因为()()()1()P ABP ABP ABP AB1()()()P AP BP AB1()()0P AP B因此因此()1()1.P BP Ap例例1.2.2 某人外出旅游两天，据气象预报，第一天下某人外出旅游两天，据气象预报，第一天下雨的概率为雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为，第二天下雨的概率为0.3，两天都下，两天都下雨的概率为雨的概率为0.1.试求：试求：（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）第一天不下雨而第二天下雨的概率；）第一天不下雨而第二天下雨的概率；（3）至少有一天下雨的概率；）至少有一天下雨的概率；（4）两天都不下雨的概率；）两天都不下雨的概率；（5）至少有一天不下雨的概率）至少有一天不下雨的概率.练习练习 某公司购进一批电视机某公司购进一批电视机,经开箱检验经开箱检验,外观有缺外观有缺陷的占陷的占5%,显像管有缺陷的占显像管有缺陷的占6%,其他部分有缺陷的其他部分有缺陷的占占8%,外观及显像管均有缺陷的占外观及显像管均有缺陷的占0.3%,显像管及其显像管及其他部分有缺陷的占他部分有缺陷的占0.5%,外观及其他部分均有缺陷的外观及其他部分均有缺陷的占占0.4%,三者都有缺陷的占三者都有缺陷的占0.02%.现从中任取一件现从中任取一件,问问至少有一种缺陷的是多少至少有一种缺陷的是多少?1.设设A