概率论4-2 随机变量的方差

1、4.2 随机变量的方差随机变量的方差n 定义定义()D X()Var XX设设是一随机变量，是一随机变量，如果如果的方差，记为的方差，记为 2()E XE X 存在，存在，2()E XE XX则称则称为为或或n 均方差均方差/ /标准差标准差()()XD X一维一维随机变量的随机变量的方差方差设设离散离散随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为()kkP Xxp1, 2, ,k 2()() kkkD Xpxn 离散型离散型n 连续型连续型2()()( )D Xxf x dx设设连续连续随机变量随机变量X的分布密度为的分布密度为 f (x)()E X 方差计算公式方差计算公式22()() ()

2、D XE XE XProof.2222222()() 2() () ()2 () () () () ()D XEXE XE XXE XE XE XE X E XE XE XE X()()EXxfx dx方差的计算步骤方差的计算步骤1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp x22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ()k kkkkE Xpxp xp xp x22()() ()D XE XE X 例4.2.1 抛掷一颗均匀的骰子，观察出现的点数，其结果是一个随机变量，记为X,试求D(X).例例4.2.2 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的密度函数为的密度函

3、数为1( ),2xf xex 求其期望和方差求其期望和方差解解1()( )02xE Xxf x dxxedx222202220000000011()( )22220222022xxxxxxxxxxE Xx f x dxxedxxedxx e dxx dex exe dxxdexee dxe 22()() ()2D XE XE X方差的性质方差的性质( )0D C n . .()()( )D XYD XD Y,X Y相互独立时相互独立时n 当随机变量当随机变量C C 为常数为常数n . .2()( )D aXba D X2()()D aXa D X()()D XbD X222222222()()

4、 () (2) ()( ) () ()() ( ) ()( )D XYE XYE XYE XXYYE XE YE XE XE YE YD XD Y两点分布的方差两点分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222()()()D XE XE XpppqXP0 11-p pn 分布律分布律n 方差方差D(X) = p qq=1-p二项分布的方差二项分布的方差If X B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p )D(X)=npqn 分布律分布律n 方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E X

5、np22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq泊松分布的方差泊松分布的方差If ( ),XPthen ()D X方差和期望方差和期望值相等？！值相等？！n 分布律分布律n 方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的方差均匀分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差2322 2 ()3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba2221()()()()12D XE XE Xba 21()()12D Xba0( )00 xexf xx指数分布的方差指数分布的方差1()E Xn

6、 分布密度分布密度n 方差方差 222 2()bxaE Xxedx22222112)()()(XEXEXD21()D X正态分布的方差正态分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差222)(21)(xexf2( ,)XN ()E X2()D X2()D X2( ,)XN 某地出产的某品种的苹果的总量某地出产的某品种的苹果的总量X X服从正态分布。服从正态分布。若若E(X)=148, D(X)=162. .写出写出X的概率密度，并用积分表的概率密度，并用积分表示示(135)P X 2(148,16 )XN22(148) /2 161( )16 2xf xe22135(148) /2 161(13

7、5)16 2xP Xedx 已知一批玉米种子的发芽率是已知一批玉米种子的发芽率是7575，播种时每，播种时每穴种三粒，求每穴发芽种子粒数的数学期望、方差穴种三粒，求每穴发芽种子粒数的数学期望、方差及均方差及均方差. .()3 0.752.25E Xnp , ()(1)3 0.75 0.250.5625D Xnpp , 75. 05625. 0)(XD.设发芽种子数为设发芽种子数为 X，3,n 0.75p 则则 X服从二项分布，且服从二项分布，且 设设X X表示表示1010次独立重复射击命中目标的次数，每次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中的概率为次射击命中的概率为0.40.4，求，求 X X2 2 的数学期望。的数学期望。某动物的寿命某动物的寿命 X （年）（年） 服从指数分布，其中参数服从指数分布，其中参数0.10.1，求这种动物的平均寿命及标准差，求这种动物的平均寿命及标准差. .10100)(XD11()10,0