《量子化学基础》习题课

1、量子化学基础习题课1.波粒二象性：p=-测不准关系Ar八匕Atl习题1.一粒微尘m=10-8kg,运动速度u0*01m/s,若速度的不确定程度为Ao-10-8m/s可谓很精确，试计算位置的不确定程度.(h=6.626X10-34J.S)(答案:Ar=663x10飞m)习题2.原子直径约为10A(10-10m),核外电子运动速度大约是光速的1%计算速度的不确定度(答案：Ad=7x1()6m)例1.已知光学光栅窄缝宽度为10-4cm,电子动能为105eV,试用测不准关系证明：用光学光栅观测不到电子衍射.解：单缝衍射如下图APX-Psinct按干涉原理，图中电子射向屏中第一暗区，说明物质波相互抵消，

2、上下两束电子波的光程差应为d/2.BC二dsina=Arsina二丸这里cm,ftP2mEyjlmeVtn=9.11 X10-31kg;1.602 X10-19C)噂 12.25 12.252 = - = -=4v 肺=3.87X10-12msm =4 3.87xlOl2m证毕.习题3.计算动能为3000eV的电子的de Brogle波长(1eV=1.602X 10-19J,3000x1.602x10叱L602xl0 19C=3000 V(答案:儿二除笆=。皿1W V3000.)2.一维势箱：n2h2E=-,5=12一)习题4.计算箱宽为5X10-10m的一维势箱中粒子n=1、2时的能量.及粒

3、子从n=2跃迁到n=1时辐射的波长.(答案:E1=2.41X10-19J,E2=9.64X10-19JAK=7.23x10出j冗=2.75x10Tm)习题5.可将原子中的电子粗略的模拟为一维箱中粒子，箱的宽度为原子的尺度.计算在长度1A的箱中电子两个最低能级之差(eV)和在此两能级间跃迁的光子波长(cm).(答案:A=L13xlO2eV,4=1.1x10m)例2.丁二烯（H2C=CH-CH=CH2）4冗电子（Pz电子），可以近似地看作长度为大n键键长（已知：双键长o1.354、单键长o1.54/）的一维势箱中的4个粒子的运动.体系的基态向第一激发态的跃迁为：n=4n=3w=2个X力=1Tirt

4、=4Tn=3Tri=2Tjw=1求:体系基态向第一激发态的跃迁能(cm-1).解.箱长：(0/二2x135/+2xL54彳=5.78x1Owm(6626x1034J7产乂58x9.五五0,场x(5.780前而3=9.02x10,AEF = he= 4.54x107/9.02x10/J6,626x10-MJx3x10Hm/s例3.有一个量子数为n在长度为/的一维箱中运动的粒子(1)计算在箱的左端14区内找到粒子的几率.(2)n为何值时该几率最大？(3)计算当n-8时该几率的极限？解：%511n,2.门乃、2工1I.n*P-|(Jsinx)dx-sinW/42加2L当=L5,9J3sin=*-l5

5、W=3,7JU52.0,当月=2,4,6,8,即,n=3时,P最大.(该式说明：当n一时量子力学问题还原为经典(力学)问题，因为经典力学处理一维箱问题在左端1/4处的几率正是1/4.)习题6.有一质量为1g的小球,在长为10cm的一维箱中运动小球速度试求小球的量子数n是多少？（答案:n=3.018X1026）0.1cm/s,3.一位谐振子:（）E-hv(u+U=0,1,2,3习题7.HI近红外光谱的基本振动频率%=2230cm-1,求HI键的弹力常数（答案:=2.93X105D.cm-1)习题8.已知H2和Cl2的基本振动频率分别为)=439524cm-1,点C7?)=5649cm-1,求它们

6、的零点能.(答案:E0(H2)=6.28kg/mol,E0(Cl2)=0.807kg/mol)例4.利用简谐振动公式：工=Csin(初，证明一维谐振子的总能量是常数：心2解:E = r + K = -/W02c22cos2(6if+(#) +如+ 4),带入上式，得:E-kC12习题9.若H35C1基本振动频率% = 8.667 xlO13s-1,试求H37C1的基本振动频率，设它们键的力常数相同(答案:8.660 X1013S-1)4.刚性转子:石二/十1)21叫)=2项/+1)(式中例5.由HCl的远红外光谱数据得知HCl的转动能级相邻谱线间距为20.74cm-1,求HCl分子的键长r.解

7、:Av = 2B =4这 4开上,冷:。1,008x35.45。.008+35.45)6.02 x 10期= 1.63 TO 山g/mol6.626x10 378(3 J4 】6尸工 L63 x 10M x3xl0x (20.74/2)hir=(j户=1.287X10-8cm=1.287习题10.从CN的微波谱知道一系列谱线的间距皆为3.7978cm-1,求该分子的核间距r.（答案:r=1.172X10-10m）习题11.已知CN+勺键长是1.290A,指出CN微波谱的第一到第四条线的位置.（答案:3.134cm-1,6.268cm-1,9.402cm-1,12.536cm-15.算符:其中与

8、本征函数:&dP=Bq二k习题12.写出下列物理量的算符:(1)动量P,(2)动量Pl，叫一yp工，动能T(答案(1)a8ddP=访心+产+T)8xdy8/，AA5AAAQQ4=(犯-J=T怕矿6)J耳*+力套)dx13 .计算算符的本征函数的本征值(17 fct加4tf（答案：2x2-2a-kx2)e-)14 .利用AD,AX=1,(1)计算(3+x)2，(D+x)(D-x)(答案：(1)A.(D+x)2=O2+2xZJ+x2+1AAA(D+x)(D-x)=D2-x2-)15 .三维箱中粒子的波函数是下列那些算符的本征函数（1），ApI,(4Ax.(答案(2),(3)6.对易计算以下对易恒等

9、式可方便对易运算：.AAAA(n=1,2,3 )H,Z=OAAAAAAkA,B=A,kB=kA,BAAAAAAAA,B+C=A.ff+A,CAAAAAAAAAA,BC=A,BC+BA,C例6.计算对易子:工出以山AA0小解:A 区匕|=区hd.h.dh.8,ft.7M=7【/小7层用厂成AAAAAxx,PxPx+Pxx,Px二浦上色+淅巴金idxidxAAA1八C-E用=匡丁+八羽乂z）Klr,T=X,丁（E+E+严）2时自熹吟月而昨；成，（落订由十应MZ/WNddVdx=2,，=TA二,*=T方dx(式中)W)y可一产&16.计算：-7m+OX-FC|加(答案：国22,，L一ax+x+cdx

10、2a+(4ax+2b)上dx.)例7.证明：(岫、心_42解:0Mr三d三：一冷了)=ji/A-(A)2y/dr二4-期加-4y留7+(.卡，照7=(A2)-(A)2-(A)2+(证毕7.H原子薛定川方程的解D1-K-*fT(n=1,2,),其中卜*/即）=%。）炉（即）Zrg%片同(cos6)氢原子波函数受;f$于三个量子数（)n=1,2,8/=0J2,n-lm-0,土L2,-出习题17.下列函数(1)2Pz,(2)2Px,(3)2P1分别是算符A、ALa、A中哪个的本征函数.(答案:(1)、(3)全是,(2)是AII、AL1的本征函数)习题18.对H原子P态，测量LZ的可能值为h、0、-h

11、,问在下列函数中测量LZ得到各可能值的几率.VlPz,(2),(3)(答案:(1)%改二-21。+0*2“+犷21得0值几率为1,得h、-h几率为0.=卅2及 +身23的得h、-h几率各为12,得0值几率为0.(3)1211，得h几率为1,其余为0)例8.已知H原子中(尹)方程复数解：*，、1所(秋)=丁=,(1)验证式。)是归一化的.(2)证明是算符的本征函数.而抽3不是的本征函数.线性组合的实函数解：（i）0aa.LZ1M=-海质/卡=+mhML中加（夕）ih尸cosihsin用9dtpd打Qk不构成本征方程：我（协加。用3）例如n=2,I=1的H原子波函数是p轨道，有三个状态（m=1,0,-1）,其复函数形式为：（即：A也悬）%36加）=/G卜疝&（即：Pl枷T）其中复函数为等于实函数,复函数线性组合为实函数PvPy,即px-NR（r）sind（2刖+电刖）-Nt/?（r）sin0cospv=N1K（r）sine（*-e）=N/（r）sin6sino因此，都是A/的本征函数.也是的本征函数.只有P/不是A4的本征函数.p轨道的实函数与复函数形式都是体系的状态函数，但表示图形不一样：例9.对H原子基态,(1)求2倍玻耳半径之外的电子几率.(