几何与代数：6-1 实二次型及其标准形

1、一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,(nnxxaxxaxa1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 称为称为 n 元二次型元二次型. ninjjiijnxxaxxxf1121),.,( 若若aij 为实数，则称为为实数，则称为实二次型实二次型. 若若aij 为复数，则称为为复数，则称为复二次型复二次型.,21222211121121,jiijnnnnnnnaaaaaaaaaaaAxxxX 设设 则则 f (x1, , xn) = X TAX. A: 二次型二次型 f (x1, ,

2、xn) 的矩阵的矩阵. 例例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3AXXxxxxxxT T32132142302331012),( A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵 若令若令,430031012 则有则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 但但 BT B, 故故 B 不是不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,(二次型二次型 也记为也记为 f (X) = X TAX. (AT = A)二次型二次型 f (X)的秩的秩：A 的秩的秩.在例在

3、例1 中，中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵 42302331012AR(A) = 3 ,故故 f (x1, x2 , x3) 的秩为的秩为 3 .2423423121214321225422),()2(43),()1( xxxxxxxxxxxxxfyzxyzxzyxf 形式形式把下列二次型写成矩阵把下列二次型写成矩阵例例 4321212143212121502001012000123002021xxxxxxxxzyxzyxnnnxxxxxxxxf132211),()3( 1000021100022100002100002100002A 解：12323101012A 例2：求对

4、称矩阵 所对应的二次型。A1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x 解：( )2 0 3r AAc 例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x f51315333Ac 解：03664033416060334134533351315 ccccA可逆线性替换12,nxxx11112121212122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 1212,;,nnxxxyyy定义8-2：设 是两组变量，我们将下列关系式称为从变量组 到 的一个线性替

5、换（变换）。12,nyyy(2) nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111系数系数矩阵矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211 nxxxX21 nyyyY21则线性变换（则线性变换（2）可记作：）可记作：CYX 若若C可逆，则称可逆，则称(2)为为非退化（可逆），（满秩）线性变换非退化（可逆），（满秩）线性变换。若若C正交，则称正交，则称(2)为为正交线性变换正交线性变换。非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：XCY 由由（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：,XCY Y

6、DZ由由XCDZ-1YC X（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个 非退化线性替换；连续施行正交替换的结果 还是正交替换。矩阵的合同矩阵的合同AXXfT 二次型二次型经过非退化线性变换经过非退化线性变换CYX 可化为可化为)()(CYACYAXXfTT YACCYTT)( ACCAfT变为变为的矩阵由的矩阵由则，二次型则，二次型 )()( )2( )1(ArBrACCBT 仍仍是是对对称称矩矩阵阵则则ACCBT 令令 BACCCACACCBTTTTTTTT ).()()( ,AQrArPArQP 可逆，则可逆，则设设. , 的秩不变的秩不变且二次型且二次型变为对称矩阵变为对称矩阵的矩阵由对

7、称矩阵的矩阵由对称矩阵二次型二次型后，后，经过可逆线性变换经过可逆线性变换二次型二次型fACCBAfCYXAXXfTT 矩阵的合同：矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. .矩阵合同的性质：矩阵合同的性质： . , , , BAACCBCBAnT于于合同合同则称则称使得使得矩阵矩阵若存在可逆若存在可逆、阶对称方阵阶对称方阵两个两个 。记作记作BA (1) 反身性：矩阵反身性：矩阵A与自身合同；与自身合同； (2) 对称性：若对称性：若A与与B合同，则合同，则B与与A合同；合同； (3) 传递

8、性：若传递性：若A与与B合同，且合同，且B与与C合同合同, 则则A与与C合合同同. A与与B等价：等价：PAQ = B, P, Q 可逆；可逆； A与与B相似：相似：P -1AP = B , P 可逆；可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？三、用配方法化二次型为标准形 只含平方项的二次型只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + +dr yr2 (di 0)称为称为标准形标准形. 形如形如 z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 的二次型称为的二次型称为规范形规范形. p: 正惯性指数正惯性指数； r - p: 负正惯性指数

9、负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差符号差.例例 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3=(x12+2x1x2+2x1 x3 + x22 + x32 + 2x2 x3 )+ x22 + 2x32 +4 x2x3=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3+ 4x32) - 2x32=(x1+x2+ x3 )2+ (x2+ 2 x3 )2 - 2x32 3332232112xyxxyxxxy令令则则 f (x1, x2 , x3) = y12

10、+ y22 2y32 （法（法1） f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32 3332232112xyxxyxxxy令令则则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32 （法（法2） )1(2333223211 xyxxyxxxy令令即即)2(2333223211 yx

11、yyxyyyx(1): 从从x1, x2, x3到到 y1, y2 , y3的线性变换的线性变换. (2): 从从y1, y2 , y3到到 x1, x2, x3 的线性变换的线性变换. (1)与与(2)所表达的所表达的x1, x2, x3与与 y1, y2 , y3 的关系是相同的的关系是相同的. 利用配方法与归纳法可以证明：利用配方法与归纳法可以证明： 定理定理1 任一实二次型任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化都可用配方法化为标准形为标准形.例例 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3令令 33212211yxyyxyyx则则

12、, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3= 2(y12 2y1y3 + y32) - 2 y22 - 2 y32 + 8y2 y3= 2(y1 y3 )2 2( y22 - 4 y2 y3 + 4y32 )+6y32 = 2(y1 y3 )2 2( y2 - 2 y3 )2 + 6y32 = 2z12 2 z22 + 6z32 （法（法1） 上式最后一步使用的变换是上式最后一步使用的变换是333223112yzyyzyyz 233211262ztztzt若再令若再令则则 f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32 f

13、 (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3令令 33212211yxyyxyyx则则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3（法（法2） = 2(y12 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3= 2(y1 y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32 = 2(y1 y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32 = 2z12 2 z22 + 6z32 上式最后一步使用的变换是上式最后一步使用的变换是 333223112yzyyzyyz则则, f = 2z12 2z22 + 6z32

14、 = t12 + t22 - t32 233211262ztztzt若再令若再令.,844552,3.323121232221CCyxxxxxxxxxxf及变换阵及变换阵并求所用的坐标变换并求所用的坐标变换化为标准形化为标准形将将用配方法用配方法例例 特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零 3223222321322322232232321211214332855222:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxx 的混合项配成完全平方的混合项配成完全平方及含有及含有先按先按解解 232221333223211232322321322235323235323243yyyfxyxxyxxxyx

15、xxxxxfxxx 准形准形代入上式得二次型的标代入上式得二次型的标令令配成完全平方配成完全平方再按再按xy 1003210111.,222,4.323121CCzxxxxxxxf及变换阵及变换阵并求所用的坐标变换并求所用的坐标变换化为标准形化为标准形将将用配方法用配方法例例 特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项) 32132133212211100011011.,:yyyxxxyxyyxyyx即即令令使使其其出出现现平平方方项项线线性性变变换换先先做做一一个个非非退退化化因因为为无无平平方方项项无无法法配配方方解解 23232213213212121222222yyyyyyyyyyy

16、yyyf 3213213332211100110001zzzyyyyzyyzyz232221222zzzf 定理定理2 2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的任何一个实二次型的规范形都是惟一的. .证证 将实二次型将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2 ), 2 , 1(riydziii 令令得得 f (X) = X TAX 的规范形为的规范形为 z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 由于

17、合同变换不改变二次型的秩，所以由于合同变换不改变二次型的秩，所以 r 是惟一确定是惟一确定的的. 进一步还可证明正惯性指数进一步还可证明正惯性指数 p 是惟一的，因此，负是惟一的，因此，负惯性指数惯性指数r p 与符号差与符号差 |r 2p| 也是惟一的也是惟一的.四、用正交变换化二次型为标准形 定理定理3 任一任一 n 元实二次型元实二次型 f (X) = X TAX 都可用都可用正交变换正交变换 X = CY 化为标准形化为标准形 1 y12 + 2 y22 + + n yn2其中其中 1 ， 2 ， n是是A 的特征值的特征值. 证证因因A 为为n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，所以存在正

18、交矩阵所以存在正交矩阵C , 使使CTAC = C-1AC = diag ( 1 ， 2 ， n)令令 X = CY , 则则f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2例例4 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3解解 f (x1, x2 , x3)的矩阵的矩阵242422221A)()(|722424222212AI特征值：特征值： 1= 2（二重特征值），（二重特征值）， 2 = -7，求求 1= 2 的特征向量

19、：的特征向量： 4424422211AI 000000221 x1 + 2x2 - 2x3 = 0特征向量：特征向量： 1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T将将 1, 2 正交化：正交化： 1 = 1 = (-2, 1, 0)T ,T T),(542511111222),(),(求求 1= -7 的特征向量：的特征向量： 5424522282AI 0001102101 ,213231xxxx 3 = (1, 2, 2)T ,将将 1, 2 , 3 单位化：单位化：，T T),(|012511111T),(|5424511222T T)2, 2, 1(31|1333