间断点及其分类

1、精选课件1.5.1.5.4 4 间断点及其分类间断点及其分类 如果函数)(xf有下列三种情况之一：（1） 在xx没有定义；（2） 虽在xx有定义，但)(limxfxx不存在；（3） 虽在xx有定义，且)(limxfxx存在，但)()(limxfxfxx， 则xxf )(在点不连续。1 1. .间间断断点点的的定定义义定定义义 3 3 若函数),()(xNxf在有定义，且xxf )(在点 不连续，则称点)(xfx 为的不不连连续续点点（或间间断断点点） 。精选课件（2）第第二二类类间间断断点点（设的是 )( xfx间断点。 ）（1）第第一一类类间间断断点点 若)0(xf和)0(xf都存在，则称的

2、是 )( xfx第一类间断点。若)0()0(xfxf，则称的是 )( xfx可可去去间间断断点点。若)0(xf和)0(xf中至少有一个不存在，则是称 x的 )(xf第二类间断点。其中极限为者称为无无穷穷间间断断点点。2. 间断点的分类间断点的分类精选课件例1xy tan在2x处无定义， 2x是xy tan的一个间断点。xxtanlim2，2x是xy tan的第第二二类类间间断断点点，且是无无穷穷间间断断点点。精选课件例2xy1sin在0 x处无定义， 0 x是xy1sin的一个间断点。 xx1sinlim0不存在，0 x是xy1sin的第第二二类类间间断断点点。精选课件例311)(2xxxf在

3、点1x处无定义，1x是11)(2xxxf的一个间断点。2) 1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx，若补充定义：2) 1 ( f，则 1 , 2 1 ,11)(2xxxxxf在点1x处连续。精选课件例 4设0 , 11sin0 , 0 0 , sin )(xxxxxxxxf，1sinlim)00(0 xxfx，1) 11sin(lim)00(0 xxfx，1)(lim0 xfx，但0)0(1)(lim0fxfx，若改变定义：1)0(f，则)(xf在点0 x处连续。精选课件例 5讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型。（1）xxexf111)(解：间断点为0 x，1x，) (1

4、, ,1) , 0( ,0) ,( )(在xf内连续。xxxxexf10011lim)(lim，0 x为第第二二类类间间断断点点，且是无无穷穷间间断断点点。精选课件011lim)(lim111xxxxexf，111lim)(lim111xxxxexf，精选课件（2） 1 , 1 ,11arctan) 1()(2xxxxxxf. 当1x时， 根据初等函数在其定义区间上是连续的结论，知)(xf在) (1, 1), , 1( 1), ,(内连续。解：)(xf是分段函数，1x是“分界点” 。011arctan) 1(lim)(lim211xxxfxx，1) 1 (f，) 1 ()(lim1fxfx，精

5、选课件11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，)(lim1 xfx不存在，精选课件1.5.1.5.5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 注注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。 例如：) 1 , 0(1)(Cxxf，但)(xf在) 1 , 0(内无界。定定理理 4 4（有有界界性性定定理理） 设 ,baCf ，则 , baf 在 上有界，即0 M， ,bax，有Mxf)(。精选课件xyoab)(xfy)(xf)(xf xx 定定理理 5 5（最最大大最最小小值值定定理理）

6、设 ,baCf ，则存在 , ,baxx ， ,bax，有)()()(xfxfxf 。精选课件 （2）如果)(xf在闭区间上有间断点，那么定理的结论 不一定成立。例如：1,0 , 10 0,0,1 , 1)(xxxxxxf在 1 , 1上无最大值和最小值。注注： （1）如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不 一定成立。例如：xxf)(在) 1 , 1(内连续，但 xxf)(在) 1 , 1(内无最大值也无最小值。xy11-1-1o精选课件定定理理 6 6（零零点点定定理理） 设 ,baCf ，且0)()(bfaf， 则至少存在一点) ,(bac，使得0)(cf。xyoab)(xfyc定理

7、6 的几何意义是： 若连续曲线弧)(xfy的两个端点位于轴 x的不同侧，则这段曲线弧与轴 x至少有一个交点。精选课件定定理理 7 7（介介值值定定理理） 设 ,baCf ，且)(min,xfmbax，)(max,xfMbax，则对任意 ,Mm，都存在 ,bac，使得)(cf。定理 7 的几何意义是：连续曲线弧)(xfy与直线y 至少有一个交点。xyoab)(xfycMm精选课件 由定定理理 6 6，存在,) ,( baxxc ， 则 , xxCF ，证证明明：若Mm，则)(xf在 ,ba上为常数，结论成立。 设Mm，由定定理理 5 5，存在 , ,baxx ，使得 Mxfmxf )( ,)(。

8、不妨设xx 。若)( )(xfxf 或，则xcxc 或取即可。且0)()(xfxF，0)()( xfxF，使得0)(cF， 若)( )(xfxf ，令 )()(xfxF，即)(cf。精选课件 证证明明：令12)(xxxf，则 1 , 0Cf ， 01)0(f，01) 1 (f， 存在) 1 , 0(c，使012)(cccf，即方程012xx在) 1 , 0(内至少有一个实数根。例 6证明方程012xx在) 1 , 0(内至少有一个实数根。精选课件例7证明：实系数方程023cbxaxx必有实根。证证明明：令cbxaxxxf23)(，则)(xf在) ,(内连续。 )1 (lim)(lim323 x

9、cxbxaxxfxx，)1 (lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，必存在)( ,2121xxxx，使得0)( , 0)(21xfxf， 而 , )(21xxxf在上连续，故由零点定理知，必存在) ,( 21xxc，使得0)(cf，即方程023cbxaxx必有实根。精选课件例 8设 ,baCf ，证明：若bxxxak21（k为某一正整数） ，则存在 ,bac，使kiixfkcf1)(1)(。证证明明： ,baCf ， , , 1baxxk， , C (x)1kxxf，kMxfxfxfkmk)()()(21，Mxfxfxfkmk)()()(121， 由介值定理可知，存在 ,) ,( 1baxxck，使得kiixfkcf1)(1)(。因而 , )(1kxxxf在上有最小m 值和最大M 值，精选课件1.5.6 函数的一致连续性精选课件oxy22)(xfy x1x)(xf)(1xfx 1x 上处处连续在区间Ixf )(上一致连续在区间Ixf )( 精选课件例9 考察下列函数的连续性和一致连续性) 1 , 0( (ii) ) 10( ) 1 ,( (i) 1)2