与第一型曲面积分的关系

1、n定义定义n性质性质n计算计算n与第一型曲面积分的关系与第一型曲面积分的关系第第 28 讲、讲、 第二型曲面积分第二型曲面积分单侧、双侧曲面单侧、双侧曲面单侧单侧 双侧双侧 空间曲面在坐标面的投影空间曲面在坐标面的投影n 1若选择外侧为正向若选择外侧为正向 s s x yn 2d d x yxyzOs s x y 0d d x y 0曲面块在曲面块在 x o y 面的投面的投影是一个影是一个数值数值，其大，其大小为投影区域的面积，小为投影区域的面积，符号由曲面块上指向符号由曲面块上指向正向的法矢量在正向的法矢量在 z 轴轴方向的方向角决定。方向的方向角决定。设设 S S 为为定向定向光滑曲面，

2、函数光滑曲面，函数 R ( x , y , z ) 在在 S S 上有界。上有界。S S 任意分为任意分为 n 个小曲面块个小曲面块 D D S i , 记记 D D S i 在在 x o y面的投影为面的投影为( D D S i ) x y ,在每个在每个 D D S i 上任取一点上任取一点 x x i ( a a i , b b i , g g i ) . D DniyxiiSR1 0 ) ( ) ( lim总存在，且等于确定的常数总存在，且等于确定的常数 A ,径的最大值径的最大值 l l 趋于趋于 0 0 时，时，则称则称 A 为函数为函数 R 在曲面在曲面 S S当各小块曲面直当各

3、小块曲面直定义定义将将 . ) 1 ( ni 如果不论如果不论 S S 如何分割，每个如何分割，每个 x x i 如何选取，如何选取，极限极限上上对坐标对坐标 x , y 的曲面积分的曲面积分，记作记作. d d ),( S S yxzyxRA对坐标对坐标的曲面积分也称的曲面积分也称第二型曲面积分第二型曲面积分。类似地可定义函数类似地可定义函数 P 在曲面在曲面 S S 上上对坐标对坐标 y , z 的曲面积分的曲面积分: d d ),( S SzyzyxP及函数及函数 Q 在曲面在曲面 S S 上上对坐标对坐标 z , x 的曲面积分的曲面积分 : d d ),( S SxzzyxQ D D

4、 nizyiiSP1 0 ) ( ) ( lim D D nixziiSQ1 0 ) ( ) ( lim应用中往往考虑应用中往往考虑上述三个上述三个第二型曲面积分第二型曲面积分的和，的和， 简记为简记为 ： d d d d d d yxRxzQzyP S S性质性质1、（有向性）、（有向性）2、（线性性）、（线性性）3、（区域可加性）、（区域可加性）. d d d d S SS S yxRyxR S SS S yxRyxR d d d d 2 1 b ba a. d d ) ( 2 1 S S yxRRb ba a. d d d d d d 212 1 S SS SS S S S yxRyxR

5、yxR计算计算 d d ),( S SyxzyxR设设定向定向光滑曲面光滑曲面 S S : z = z (x , y) 在在 x y 面的投影区域为面的投影区域为 S S x y . D D niyxiiSR1 0 ) ( ) ( lim D D niyxiiiiSR1 0 ) ( ), ,( limg gb ba a D D niyxiiiiiSzR1 0 ) ( ) ,( , , limb ba ab ba a若若 S S 上任一点处指向正向的法矢量与上任一点处指向正向的法矢量与 z 轴正向轴正向夹角为锐角夹角为锐角，则上式右端为重积分则上式右端为重积分. d d ),(, S Syxyx

6、yxzyxR计算计算 d d ),( S SyxzyxR设设定向定向光滑曲面光滑曲面 S S : z = z (x , y) 在在 x y 面的投影区域为面的投影区域为 S S x y . D D niyxiiiiiSzR1 0 ) ( ) ,( , , limb ba ab ba a若若 S S 上任一点处指向正向的法矢量与上任一点处指向正向的法矢量与 z 轴正向轴正向夹角为钝角夹角为钝角，则上式右端为重积分则上式右端为重积分. d d ),( , S S yxyxyxzyxR综上综上, d d ),( S SyxzyxR, d d ),( , S S yxyxyxzyxR符号由曲面的正向决

7、定。符号由曲面的正向决定。是平面是平面 1 zyx例例 1. 求求 , d d d d d d yxzxzyzyxI S S解：解： 先算先算 故故 其中其中 S S与三个坐标面所围成的四面体的外侧。与三个坐标面所围成的四面体的外侧。 . d d 1 S S yxzI. d d d d 43211 S S S S S S S SS S yxzyxzI如图，如图， S S 2 , S S 3 在在 x y 面的投影为面的投影为 0, S S 1 上上 z=0. d d 41 S S yxzI xyyxx1 0 1 0 d ) 1 ( d . 61 根据对称性，根据对称性， . 21 31 IIx

8、zy1 S S2 S S3 S S4 S S和平面和平面 ) 0 ( , RRzRz例例 2. 求求 , d d S S zyxI解：解： 如图如图, 记记 其中其中 S S 是柱面是柱面所围成的立体的表面所围成的立体的表面, 取外侧。取外侧。 xzy. 323121S S S S S S S S S S1 S2 S31 S其中，其中，S S 1 , S S 2 在在 y z 面的投影为面的投影为 0, , , , RRRRzy S S则则2 2 2 Ryx 32 S) ( , :22 31RzRyRx S S) ( , :22 32RzRyRx S S S SS S 3132 d d d d

9、 zyxzyxI记记 xzy1 S S2 S S31 S S, , , RRRRzy S S则则32 S S) ( , :22 31RzRyRx S S) ( , :22 32RzRyRx S S S SS S 3132 d d d d zyxzyxI S SS S yzyzzyyRzyyR 2 2 2 2 d d d d d d 2 2 2 RRRRyyRz. 23R 练练. 求求 , d d S S yxzI解：解： 其中其中 S S 是球面是球面422 2 zyx的部分取外侧。的部分取外侧。按照按照 z 的符号可将的符号可将 S S 分为分为 S S 1 和和 S S 20 , 0 yx

10、两部分，其中两部分，其中 S S 1 上上 d 4 d 22 0 2 0 2 rrr . 3 8 上上xzy . 0 z d d d d 12 S SS S yxzyxzI d d 4 d d 4 2222 xyxyDDyxyxyxyx满足满足 d d 4 2 22 xyDyxyx因此，因此， 和平面和平面 2 , 1 zz练练. 求求 , d d 2 2 S S yxyxeIz解：解： 如图如图, 其中其中 S S 是锥面是锥面所围成的立体的表面所围成的立体的表面, 取外侧。取外侧。 xzy. 321S S S S S S S S1 S S2 S S3 S S2 2 yxz d d 2 0

11、1 0 rrre d d 1 2 2 1 S S yxyxeIz. 2 e d d 2 0 2 0 2 rrre d d 2 2 2 2 S S yxyxeIz. 42e d d 2 0 2 1 rrrer d d 3 3 S S yxzeIz. ) ( 22ee . 223 2 1 eIIII 与第一型曲面积分的关系与第一型曲面积分的关系 d d d d d d yxRxzQzyP S S d ) cos cos cos ( SRQPg gb ba a S S其中其中 P , Q , R 是是 ( x , y , z ) 的函数，的函数，g gb ba a cos , cos , cos 是

12、点是点 ( x , y , z ) 处处指向正向指向正向的法矢量的方向余弦的法矢量的方向余弦 。若若 S S 的方程为的方程为 F( x , y , z ) 0，则点，则点( x , y , z ) 处有法矢量处有法矢量 , , , zyxFFF 根据根据 S S 的方向选符号，的方向选符号，. cos , cos , cos g gb ba a即得即得再再将其单位化将其单位化其中其中 S S 是平面是平面 1 zyx例例 3. 求求 , d d )( d d )2( d d ) ( S S yxzfxzyfzyxfI f ( x , y , z ) 在在 S S 上连续。上连续。在第四卦限部

13、分的上侧。在第四卦限部分的上侧。 函数函数 根据两类曲面积分的关系，根据两类曲面积分的关系，. 21 解：解： S S 的指向上侧的单位法矢量为的指向上侧的单位法矢量为. 31 , 31 , 31 SzfyfxfI d )(31 )2 (31 ) (31 S SSzyx d ) ( 31 S SS d 31 S S 其中其中 S S 是曲面是曲面 , 4 22yxz 例例 4. 求求 , d d d d d d 2 S S yxzxzyzzyxzI取上侧。取上侧。. 16 解：解： S S 上点上点 ( x, y, z ) 处处指向上侧的单位法矢量为指向上侧的单位法矢量为 , 2 , 2 ,

14、2 zyxSzzyzxI d ) 2 2 2 ( 322 S S因此因此 d d )()(1 ) 2 2 2 ( 22322 yxzzzzyzxyxyx S S d d ) ( 222 yxzyxyx S S d d 4 yxyx S S 其中其中 S S 是曲面是曲面 22yxz 练练. 求求 , d d d d 2 S S yxzzyxI介于介于 z 0, z 1 之间的部分取下侧。之间的部分取下侧。. 2 解：解： S S 上点上点 ( x, y, z ) 处处指向下侧的单位法矢量为指向下侧的单位法矢量为 , 441 1 , 441 2 , 441 2 222222 yxyxyyxxSy

15、xzyxxI d ) 441 441 2 ( 22223 S S因此因此yxyxyxyxyxxxy d d 441 ) 441 441 2 ( 222222 223 S Syxyxxxy d d ) 2 ( 22 3 S Syxyxxy d d ) ( 22 S S d d 1 0 3 20rr 练练. 求求 , d d d d d d yxzzzyzyxI S S解：解： 其中其中 S S 是柱面是柱面42 2 yxxzy夹在夹在 z 0, z 4 之间且在第一卦限部分的外侧。之间且在第一卦限部分的外侧。S S 上点上点 ( x, y, z ) 处处指向外侧的单位法矢量为指向外侧的单位法矢量

16、为 , 0 ,2 ,2 yxSyxI d ) ( 212 2 S S因此因此S d 2 S S . 8 ) , , (zyx注意注意：若积分柱面取内侧，则：若积分柱面取内侧，则 S S 上点上点 . 0 ,2 ,2 yx ( x, y, z ) 处处指向内侧的单位法矢量为指向内侧的单位法矢量为其中其中 S S 是锥面是锥面 ) 10 ( , 22 zyxz练练. . 求求 , d d ) 1( 3 d d 2 d d S S yxzxzyzyxI的下侧。的下侧。答：答： . 2 I练练. 求求 , d d d d d d 22 2yxzzzyzyxI S S解：解： 其中其中 S S 是球面是球面2 2 2 2 )