初中数学重要公式整理

1、初中代数重要概念、公式数与式1.绝对值解：| a = 2.非负数：“”、“”、“”为非负数,若为非负数，且，则 , 。解: 0, 03.幂的运算法则：（为整数)(1) ； （2） ;（3） ； （4） ；（5） 。解: 整数指数幂的运算法则：( m、n为整数)(1） am · an = am+n;（2） am ÷ an = am n ( a 0 )；(3) （ am ）n = amn; (4） （ ab )n = anbn；（5） ( b 0 ）.4.乘法公式:（1） ；（2) 。解: 平方差公式： ( a + b )（ a b ) = a2 b2 ；完全平方公式： ( a

2、 ± b ）2 = a2 ± 2ab + b2 。5.分解因式的方法：（1）提取公因式：ab + ac = ；解：（1）提取公因式法：ab + ac = a （ b + c );（2）应用乘法公式（逆向）： ; 。解: （2）运用公式法:a2 b2 = （ a + b )（ a - b )；a2 ± 2ab + b2 = （ a ± b ）2 ；（3)十字相乘法（二次项系数为1)： .解： x2 +（ a + b )x + ab = ( x + a ）（ x + b )；6。分式：（1），（其中为整式）解: , （M为不等于0的整式）（2） ， ， ，

3、。解: 分式的加减运算: =， .分式的乘除运算: ， (3） 解:分式的乘方运算: （ n 为正整数,且b 0 )7。二次根式的性质:（1） （2） （3） （4)（5)的有理化因式是 .解: (1） ( a 0 , b 0 ）;(2) ( b 0, a > 0 ） ； (3) = a ( a 0 ) ; (4） =（5) 的有理化因式是8.指数（为整数）(1）的正整指数幂 ；（2)零指数 (3）负整数指数 解：(1） a的正整指数幂 am = aaa a （ m 个） ； (2）a0 = 1 (a 0）； (3）负整数指数幂: a m = ， （a 0), (a 0，且 b 0)。方

4、程与方程组1。关于的方程的解的情况:当时,方程的解为 ；当时，方程解的情况为 ;当时，方程解的情况为 。解（1) x = ； (2)全体实数 （3）无解2。一元二次方程的两根为(1）求根公式 解:一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （ a 0 )求根公式：(b2 - 4ac 0 ）（2）根的判别式方程 实根；方程 实根；方程 实根；方程 实根；解: 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （ a 0 ） 根的判别式 = b2 4ac. 0 方程有两个不相等的实数根 = 0 方程有两个相等的实数根 0 方程没有实数根不等式与不等式组1。一元一次不等式的解集是 ;的解集是 ；的解

5、集是 ；的解集是 .解： 当a 0， ax b的解集是x ； ax b的解集是x . 当 a 0, ax b的解集是x ； ax b的解集是x > 。2。一元一次不等式组（）的解集是 ； 的解集是 ；的解集是 ； 的解集是 ；解(1)xb （2)xa (3)无解 （4)axb函数及其图象1.第一象限内的点的坐标符号为( , ）；第二象限内的点的坐标符号为（ ， ）；第三象限内的点的坐标符号为（ , ）；第四象限内的点的坐标符号为( ， ）;解: 1.第一象限内的点的坐标符号为( + ，+ ）；第二象限内的点的坐标符号为（ _， +）;第三象限内的点的坐标符号为（ _ ,_ ）；第四象限内

6、的点的坐标符号为（ + ，_）；如图1，坐标平面内任意点,轴，则 图1 如图2，轴上任一点A的坐标为 ，OA= ，Y轴上任一点B坐标为 ，OB= ，AB= 。 2。在X轴上的两点A和B之间的距离为AB= ; 在y轴上两点A，B之间的距离AB= ；3. (a,b）关于x轴对称点的坐标 ; 图2 (a，b） 关于y轴对称点的坐标 ; (a,b) 关于原点对称点的坐标 。解： （a，b)关于x轴对称点的坐标(a,-b） （a，b) 关于y轴对称点的坐标（a，b）; （a,b） 关于原点对称点的坐标(-a，b).4.函数自变量的取值范围：（1） 关于的整式， 取 ； （2) 关于的分式，分式的分母 ；

7、(3) 关于的二次根式,二次根式的被开方式 ; (4） 、是与实际相关的两个变量，是的函数，除上述要求外，的取值还必须使实际问题 ，几何图形 .解（1）全体实数 （2)分母不等于0 (3)被开方式大于等于0 5.四种简单函数（1）正比例函数 ；（2）反比例函数 ；（3)一次函数 ；（4)二次函数的一般式： ，顶点坐标( ， ），对称轴方程： .二次函数顶点式： ，顶点坐标（ ， ），对称轴方程 。二次函数双根式: ，与轴的交点坐标为( ， )，（ ， )。解: (1) y = kx （k o) (2) （k o）(3) y = kx + b(k o）(4) y = ax2 + bx + c（

8、a 0 ) 顶点坐标（），对称轴方程：x=二次函数顶点式： y=a(x-h)2+k,顶点坐标（ h ， k ），对称轴方程 x=h . 二次函数双根式： y=a(x-x1)(xx2） ，与轴的交点坐标为（x1 ，0)，（ x2，0).6.看抛物线与 x 轴的相对位置定判别式：抛物线与 x 轴有两个交点， ； 抛物线与 x 轴有一个交点， ；抛物线与 x 轴无交点， 。解：抛物线与 x 轴有两个交点， 0;抛物线与 x 轴有一个交点， 0；抛物线与 x 轴无交点， 0.7原直线y=kx+b变换后翻折沿x轴翻折后y=沿y轴翻折 后y=平移向左平移m（m0）个单位y=向右平移m（m0)个单位y=旋转

9、绕原点旋转90°后绕原点旋转任意角度原直线y=kx+b变换后翻折沿x轴翻折后y=-kx-b沿y轴翻折 后y=kx+b平移向左平移m(m0）个单位y=k（x+m）+b向右平移m（m0）个单位y=k（xm)+b旋转绕原点旋转90°后两直线垂直KK1=1绕原点旋转任意角度旋转后解直角三角形统计与概率1、 在统计里, 我们所要考察对象的全体叫做 ， 总体中的每一个考察对象叫做 , 样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个 ， 样本容量样本中个体的数目叫做 .解：在统计里, 我们所要考察对象的全体叫做总体, 总体中的每一个考察对象叫做个体， 样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体

10、的一个样本, 样本容量样本中个体的数目叫做样本的容量2、平均数: 一般地，如果有n个数x1,x2，x3，xn，那么这n个数的平均= ；众数: 在一组数据中， 数据叫做这组数据的众数中位数: ,把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.解:( x1 + x2 + x3 + + xn ）在一组数据中，出现次数最多的; 将一组数据按大小依次排列 数据叫做这组数据的众数。把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.3、方差： 样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差, 如果有n个数x1，x2，x3，,xn，的平均数为， 则方差

11、 S2= .S2 = 4、一般地， 我们把一组数据的个数称为该组的 ;频率是 的比。解:一般地， 我们把一组数据的个数称为该组的频数;频率是频数与总数的比。5、条形统计图的特点是可以清楚地表示出每个项目的 ; 折线统计图的特点是可以清楚地反映 的情况；扇形统计图的特点是可以清楚地表示各部分在 .解：条形统计图的特点是可以清楚地表示出每个项目的具体数目; 折线统计图的特点是可以清楚地反映事物变化的情况;扇形统计图的特点是可以清楚地表示各部分在总体中所占的百分比.6、制作频数分布表的步骤是: 。 解:（1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频数分布表7、数分布直

12、方图中各小长方形的宽表示 ,小长方形的高等于 。 解：数分布直方图中各小长方形的宽表示组距，小长方形的高等于频数。8、在一定条件下，有些事件必然发生， 这样的事件称为 ；有些事件必然不发生， 这样的事件称为 ；可能发生也可能不发生的事件，称为 。解：在一定条件下，有些事件必然发生, 这样的事件称为必然事件; 有些事件必然不发生， 这样的事件称为不可能事件； 可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.9、一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A）= 。解：P（A)=。10、当A为必然事件时， P（A)= ； 当

13、A为不可能事件时, P(A)= .解：当A为必然事件时, P(A)= 1; 当A为不可能事件时， P(A）=0.11、大量重复实验可以作为事件发生 的估计值。解： 大量重复实验可以作为事件发生概率的估计值。12、在一次实验中如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性 ，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的 .解:在一次实验中如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性相等，我们可以通过列举实验结果的方法,分析出随机事件发生的概率。13、用列举法计算概率时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 .解:用列举法计算概率时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采

14、用数形图. 初中几何重要公式平行线解：1=4 3=4 2+4=180°性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。判定：两条直线被第三条直线所截,同位角相等 （或内错角相等,或同旁内角互补)，则这两条直线平行。二、三角形 图31.三角形（1）三角形任何两边的和 第三边；(2）三角形任何两边的差 第三边;（3)三角形三个内角的和等于 ;（4）三角形的一个外角等于 ;（5)三角形的一个外角大于 ；（6)三角形外角和等于 ； 图4（7）、分别为、的中点，则 。解:（1）三角形任何两边的和大于第三边；（2）三角形任何两边的差小于第三边；（3）三角形三个内角的和等于180°

15、;（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(5）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角;（6）三角形外角和等于360° 图4（7)、分别为、的中点，则且=.2.等腰三角形（1）(2）互相重合;(3）(4）解:(1）AB=AC，B=C（2）AB=AC,顶角的平分线、底边的高线、底边的中线互相重合；（3）AB=AC=BC，A=B=C=60°（4）BC3。直角三角形（在ABC中，C=90°)（1） （2）勾股定理: ;（3）如图5,若则1= ,2= ，ABC ； （4）直角三角形内切圆半径（5）直角三角形外接圆半径 图5角（6）C=90°，C

16、D为AB边上的中线（7）. 在ABC中,C=90°，A=30°解:（1）A+B=90° (2)勾股定理：；（3)如图5,若则1=A，2=B,ABCACDCBD； （4）直角三角形内切圆半径（5)直角三角形外接圆半径（6）C=90°，CD为AB边上的中线(7）在ABC中，C=90°，A=30°，两边中点的连线称为三角形的中位线，中位线平行于第三边且等于第三边的一半.4等腰三角形（1）等腰三角形两腰 ，两底角 ，简称 （2）。 等腰三角形顶角的 、底边 、底边上的 互相重合，简称“三线合一”.（3）。等边三角形三条边 ，三个角 ,都等于

17、.（4）. 等边三角形是 对称图形，有 条对称轴.解：（1）两腰相等，两底角相等，简称“等边对等角”（2）.顶角的角平分线、底边中线、底边上的高线互相重合，简称“三线合一"。（3）。 三条边相等，三个角相等，都等于60°.（4)。 轴对称图形，有三条对称轴.5.角平分线上的点到 的距离相等; 如图： 已知射线OC平分，点P在OC上，且于M,PN垂直OB于N，则 PM PN.解：角平分线上的点到角的两边距离相等。 PM=PN6。到角的两边距离相等的点 。如图:已知P在的内部, 于M, PNOB于N，且PM=PN. 射线OC平分，则点P在 .解：角的内部到角两边距离相等的点在角

18、的平分线上。 则点P在oc上。7.线段垂直平分线上的点到 的距离相等;如图：已知直线MN是线段AB的垂直平分线,点P是MN上一点,连接PA，PB则 。解：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。8.到线段两端距离相等的点 ; 如图:已知PA=PB,则点P在 上。解：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. PA=PB三角形全等1.全等三角形性质： 。2.全等三角形判定 、 、 、 ,直角三角形全等判定 。解：全等三角形对应角相等，对应线段（边、高线、中线、角平分线等)相等. 全等三角形的周长相等,面积相等；判定有两组边及夹角对应相等的两个三角形全等.，简称“SAS". 有两

19、组角及夹边对应相等的两个三角形全等。，简称“ASA"。 有两组角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简称“AAS”。 有三组边对应相等的两个三角形全等，简称“SSS”；直角三角形判定有SSS，SAS，ASA,AAS,斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”.特殊的四边形1.特殊的四边形判定：（1)平行四边形： ; ； ； ； .(2）矩形: ； ； 。（3）菱形: ； ; .（4）正方形： ； ； .（5)等腰梯形： ； ; .解：（1)平行四边形：1。两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3。一组对边平行且相等的四

20、边形是平行四边形。4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.5。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.（2）矩形：1.有三个角是直角的四边形是矩形。2。有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.对角线相等的平行四边形是矩形.（3)菱形：1.四条边相等的四边形是菱形。2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形。3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（4）正方形：1.有一组邻边相等的矩形是正方形。*2.有一个角是直角的菱形是正方形.（5)等腰梯形1。同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形.*2。对角线相等的梯形是等腰梯形。3.两腰相等的梯形是等腰梯形.2。特殊四边形的性质：边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正

21、方形等腰梯形解：特殊的四边形类型性质边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等。对角相等，邻角互补。对角线互相平分。中心对称图形矩形对边平行且相等.四个角都是直角.对角线互相平分且相等。轴对称图形；中心对称图形菱形对边平行，四边相等.对角相等，邻角互补.对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角。轴对称图形；中心对称图形正方形对边平行，四边相等.四个角都是直角。对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角。轴对称图形；中心对称图形等腰梯形两底平行,两腰不平行但相等.同一底上的两个底角相等.两条对角线相等.轴对称图形面积公式1。三角形：是底，是边上的高)； 直角三角形：是直角边）= （是斜边,

22、是斜边上的高）. 2.平行四边形:是一边，是边上的高）。3.矩形：为一组邻边）。4.菱形：是边，是边上的高）= （为对角线）。5。正方形：为边)= （为对角线).6。梯形：为上、下底，为高)= (为中位线，为高).解：1、三角形： 2、平行四边形面积: 3、菱形面积：4、菱形面积：5、正方形面积：6、梯形面积： 多边形多边形内角和: （n2）·180° 多边形外角和： 360°比例线段1。 解：ad=bc ad=x2相似三角形1。相似三角形性质 。2.相似三角形判定： .直角三角形判定： 。解：1. 相似三角形的对应角相等;相似三角形的对应边成比例;相似三角形周长

23、之比等于相似比；相似三角形面积之比等于相似比的平方。 2平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形和原三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似;两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似；三组边对应成比例的两个三角形相似；斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似.3三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,此三角形为直角三角形。解直角三角形（RtABC，C=90°，a、b、c分别为A、B、C的对边）1.直角三角形中边与角间的关系解：在RtABC中,C=90°， a、b、c分别为A、B、C的对边.(1)

24、 边之间的关系：勾股定理 ;(2) 角之间的关系:；边角之间的关系：;；在直角三角形中,除C=90°外,还有五个元素A、B、a、b、c， 已知其中两个元素(其中至少有一条边)，求其它元素的过程称为解直角三角形。解直角三角形的关键是利用已知条件，正确选择边角关系，建立方程（组)求解。2.特殊角的三角函数植解:30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1圆1。点与圆位置关系，设圆的半径为，点到圆的圆心距离为点在圆外； 点在圆上; 点在圆内。解：（1）点P在圆外 dr;（2）点P在圆上 d=r；（3）点P在圆内 dr.2。垂径定理已知:CD为直径；C

25、DAB于E；则： AE= （AB不是直径);= ；= .垂径定理的推论:已知:CD为直径；AE= （AB不是直径）； 则： CDAB于E；弧AC= ；弧AD= .解:垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。垂径定理已知:CD为直径；CDAB于E;则： AE=BE(AB不是直径）；弧AC=弧BC；弧AD=弧BD.垂径定理的推论：已知：CD为直径;AE= BE（AB不是直径）； 则： CDAB于E;弧AC=弧BC;弧AD=弧BD.3。圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，以下三条知一推二AOB=COD；弧AB= ；AB= . 解：在同圆或等圆中，圆心角相等、弦相等、所对的弧相等，若其中一组关系成立，则其它关系也成立。AOB=COD；弧AB=弧CD;AB=CD。 4.和圆有关的角：PB、PC切O于B、C，点A在O上，（1）A= ，PBO= = °，(2)OPB= ，POB= 。(3）AB是直径.解：（1）在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。