大学课件--数字通信原理第2章-随机信号

1、2022-2-211第二章第二章 随机信号随机信号分析分析随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机信号分析的主要内容：n随机过程的一般表述随机过程的一般表述n平稳随机过程平稳随机过程n高斯过程高斯过程n窄带随机过程窄带随机过程n正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程n平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2022-2-212引言引言n信号：一般是时间的函数信号：一般是时间的函数n确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号n周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号n能量信号和

2、功率信号能量信号和功率信号n基带信号和频带信号基带信号和频带信号n模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号n随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述n通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。n噪声和干扰是随机的信号；噪声和干扰是随机的信号；n无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变化的。化的。2022-2-213n随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的随机过程：与

3、时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定取值不确定(随机变量随机变量)n随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如集合。如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。不同实验输出不同的样本函数。n随机过程是所有样本函数的集合。随机过程是所有样本函数的集合。2022-2-2141 随机过程的一般表述随机过程的一般表述

4、(1)( )ix t 1( ),( ),iSxtx t ( ) t 2022-2-215n随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。量引入时间变量，成为随机过程。n每一个时刻，对应个样本函数的取值每一个时刻，对应个样本函数的取值xi(t),i=1,2,n是一个随机变量。是一个随机变量。n固定时刻固定时刻t1的随机变量计为的随机变量计为(t1)。n随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。的随机变量的集合。2022-2-2161 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(2)n分布函数

5、与概率密度分布函数与概率密度n随机过程随机过程(t)在任意时刻在任意时刻t1是一个随机变量是一个随机变量(t1)，其统计特性，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示可以用分布函数与概率密度函数来表示n一维分布函数一维分布函数 11111,FxtPtx 1111111,Fxtfxtx n一维概率密度一维概率密度2022-2-217 12121122,;,nnnnnFxxxtttPtxtxtx nn 维分布概率函数维分布概率函数nn 维概率密度函数维概率密度函数 1212121212,;,;,nnnnnnnnfxxxtttFxxxtttxxx n一一维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在

6、维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的n个个时刻进行概率分布与概率密度的描述。时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然显然n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。是根据需要来确定维数的。2022-2-218n随机过程的随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。表述随机过程的主要特征。n对于通信系统而

7、言，随机过程的数字特征就可对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。以测量。n如通信信号的方差就是交流功率。如通信信号的方差就是交流功率。2022-2-2191 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(3)n随机过程随机过程(t)的数字特征的数字特征 1( ),( )Etxfx t dxa t n(t)的的均值或数学期望均值或数学期望 2222( )( )( )( )( )( )DtEtEtEtatt t的引入说明随机变量、均值是时间的函数的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意：注意：(t)的均值是时间的确定

8、函数，它表示随机过程的的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的n个个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。n方差方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。过程各时刻的特征。2022-2-2110 1211221212,( )( )( )( ),( ) ( )B t tEta tta tR t ta t a t n自协方差函数自协方差函数 1212122121212,( ) (),; ,R t tEttx x fxxt tdx dx n相关函数表征随机过程的内在联系，

9、即随机过程相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。n自相关函数自相关函数注：若随机过程的均值为注：若随机过程的均值为0，则自相关函数和自协方，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为差函数完全相同；即使均值不为0，二者描述的，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2022-2-21111 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(4)n两随机过程的数字特征两随机过程的数字特征 1212122112212,( ) ( ); ;Rt tEttx y fx t

10、 y t dxdy n互相关函数互相关函数 1211221212,( )( )( )( ),( ) ( )Bt tEta tta tRt ta t a t n互协方差函数互协方差函数 1212, ,0ttBtt 若若有有 tt 和和不不相相关关2022-2-21122 平稳随机过程平稳随机过程(1)n狭义平稳狭义平稳(严平稳严平稳) 12121212,;,;,nnnnnnfxxxtttfxxxtttn ，n一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔 ( t1 - t2 ) 有关有关 11111111;fxtfxtfx 212122121221212,;,;

11、,;fxxttfxxttfxxtt n数字特征数字特征 222( )( )( )EtaDtEta 11211,R t tRB t tRa n广义平稳广义平稳(宽平稳宽平稳) (1)( )Eta 11(2),R t tR 2022-2-21132 平稳随机过程平稳随机过程(2)n各态历经性各态历经性(遍历性遍历性)：随机过程的任一实现，经历了：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态随机过程的所有可能状态n 随机过程的数字特征，可以由其随机过程的数字特征，可以由其任一实现任一实现(样本函数样本函数)的数字的数字特征来代表特征来代表 22221lim( )1( ) ()lim( ) ()T

12、TTTTTx tx t dtTx t x tx t x tdtT ( )( )( )()ax tRx t x t n思考：为什么要研究随机平稳随机过程思考：为什么要研究随机平稳随机过程2022-2-21142 平稳随机过程平稳随机过程(3)n实平稳随机过程的自相关函数实平稳随机过程的自相关函数 2(0)EtR ( )()RR ( )(0)RR n偶函数：偶函数：n有界性：有界性：n周期性：周期性： ,( )().ttTRRT 若若则则n统计平均功率：统计平均功率： 2( )EtR n直流功率：直流功率：2(0)( )RR n交流功率：交流功率： ()limREtt EtEt 2Et 2022-

13、2-21152 平稳随机过程平稳随机过程(4)n平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度(统计平均统计平均) 2()()limTxTEFPEPT TTtF 注注：f f 0P RP 维维纳纳辛辛钦钦定定理理： 102RPd n单边功率谱密度单边功率谱密度(实平稳随机过程实平稳随机过程)2(),0()0,0PG 012Gd 02Gf df 2022-2-2116图：功率信号与截断函数图：功率信号与截断函数2022-2-21172 平稳随机过程平稳随机过程(5) 00cos,0,2 tAt 例例. .为为常常数数，上上均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量. . 计计算算其其数数字字特特征征

14、。 0cos a tE At 00sincoscossintEtE 22000011coscossinsin22AtdAtd 00coscossinsinA Ett 0 120 10 2,coscos R t tE AtAt 2021012coscos22AEtttt 220210cos0cos22AAtt 其中其中=t2-t1 (t)数学期望是常数，自相关函数只与时间间数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以隔有关，所以(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。2022-2-2118n其功率谱密度为：其功率谱密度为： 002PR F n(t)的时间平均值如下：的时间平均值如下：221li

15、mcos()0TcTTaAtdtT 221( )limcos()cos()TccTTRAtAtdtT 222222limcoscos(22 2cos2TTcccTTTcAdttdtTA 因此随机相位余弦波是遍历的。因此随机相位余弦波是遍历的。2022-2-21193 高斯过程高斯过程(1)n定义：任意定义：任意 n 维概率密度是正态分布式维概率密度是正态分布式 121221 21112,;,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknfxxxtttxaxa BBB式中式中ak是均值，是均值，2是方差，是方差，B是规一化协方差矩阵。是规一化协方差矩阵。n 概率密度函数仅取决于各随机变量的均值

16、、方差和两概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数两之间的归一化协方差函数(相关系数相关系数)2022-2-2120 b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1B |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，见(3.33)。3 高斯过程高斯过程(2)2022-2-2121n 重要性质：重要性质：n 高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了n广义平稳广义平稳 狭义平稳狭义平稳n

17、各随机变量之间互不相关各随机变量之间互不相关 统计独立统计独立n高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过程。程。2022-2-21223 高斯过程高斯过程(3)n一维正态分布一维正态分布 221( )exp22xaf x n关于关于 a 对称：对称：f (a+x) = f (a-x)n在点在点 a 处取极大值处取极大值:121( )( )2aaf x dxf x dx afxfx 左左右右平平移移宽宽窄窄 1121 2 12 ax fx2022

18、-2-21233 高斯过程高斯过程(4)n概率积分函数概率积分函数:xa 21( )exp22xzxdz n标准化正态分布标准化正态分布:21( )exp22xf x n 概率分布函数概率分布函数: 2221()2zaxFxedz 2022-2-2124n误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部下的面积部下的面积202()xzerfxedz ( )1( )erfc xerf x 221x n 误差函数误差函数:21()exp22auQ adu 122aerfc n Q函数函数:22zxedz n 互补误差函数互补误差函数:nQ函数也是一

19、种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2022-2-21254 窄带随机过程窄带随机过程 (1) 1. 窄带随机过程窄带随机过程定义定义: 随机过程通过以随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度f ，f (z) 近似高斯分布近似高斯分布2022-2-21446 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(1) it oitth t n输出随机过程的均值输出随机过程的均值 0oiEtEthd 0iahd n输出随机过程的自相关函数与功

20、率谱密度输出随机过程的自相关函数与功率谱密度 ,oooRt tEtt 00iRuv h u h v dudv oR 2ooiPRPH F( )x t( )( )( )y tx th t ( )h t 0iEthd 0ia H 2022-2-21456 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(2) iott 和和的的互互相相关关函函数数与与互互功功率率谱谱密密度度 ,ioioRt tEtt iRh ioioiPRPH F 0, 2iNtR 例例. .若若输输入入为为白白噪噪声声 即即，则则 0022ioNNRhh ioR 01()( )Tiott dtT ( )ot ( )h t( )

21、it 延延迟迟 01TdtT 02Nh 2022-2-21466 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(3)( )sgn( )Hj .tRtt 例例. .已已知知的的自自相相关关函函数数，求求和和的的相相关关特特性性 1( )( )ttt 2PHP ( )( )RR 1RR RR 000RR tt 与与同同一一时时刻刻互互不不相相关关 it 正正态态随随机机过过程程 ot 正正态态随随机机过过程程( )()XYYXRR P R R 2022-2-21477 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声n白噪声白噪声n (t)n定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，定义：功率谱

22、密度在所有频率上均为常数的噪声，即即 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中式中 n0 正常数正常数n白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：反变换，得到相关函数：2)(0nfPn)(f0)(nfPn)(0 f)(2)(0nR2022-2-2148n白噪声和其自相关函数的曲线：白噪声和其自相关函数的曲线：2022-2-2149n白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或n因此，真正因此，真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构

23、造的一种理的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。想化的噪声形式。 n实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。n如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白高斯白噪声噪声。n高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。互不相关的，而且还是统计独立的。 f2n)0(0dR)0(2)0(0nR

24、2022-2-2150n低通白噪声低通白噪声n定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声低通白噪声。 n功率谱密度功率谱密度n由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，内，通常把这样的噪声也称为通常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。 n自相关函数自相关函数其它02)(0HnffnfPHHHfffnR22sin)(02022-2-2151 功率谱密度和自相关函数曲线功率谱密度和自相关函数曲线n由曲线看出，这种带限白噪声只有在由

25、曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。 ), 3 , 2 , 1(2/kfkH2022-2-2152n带通白噪声n定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声带通白噪声。 n功率谱密度功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为式中式中fc 中心频率，中心频率，B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为fBffBffHcc其他0221)(fBffBfnfPccn其它0222)(02022

26、-2-2153n自相关函数自相关函数dfendfefPRfjBfBffjncc222022)()(dfenfjBfBfcc22202cfBBBn2cossin02022-2-2154带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线2022-2-2155n窄带高斯白噪声n通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 B fc ，因此称窄带滤波器，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声。n窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。节。n平均功率平均功率BnN02022-2-2156思考题和作

27、业思考题和作业n什么是傅立叶变换？什么是傅立叶变换？n信号的分类？能量信号与功率信号？模拟信号信号的分类？能量信号与功率信号？模拟信号与数字信号？周期信号与非周期信号？确知信与数字信号？周期信号与非周期信号？确知信号与随机信号？号与随机信号？n什么是确知信号？如何分析？什么是确知信号？如何分析？n什么是随机信号？如何分析？什么是随机信号？如何分析？n什么是平稳随机过程？平稳？各态历经性？什么是平稳随机过程？平稳？各态历经性？n几种常用的随机过程？正态随机过程？窄带随几种常用的随机过程？正态随机过程？窄带随机过程？正弦波加窄带随机过程？机过程？正弦波加窄带随机过程？n系统：随机过程经过线性系统？

28、系统：随机过程经过线性系统？n作业作业：32, 33, 35, 38, 392022-2-2157附录附录: 傅立叶变换傅立叶变换2022-2-21581 傅立叶变换傅立叶变换n表达式：表达式：( )( )j tFf t edt 1( )( )2j tf tFed ,0( )( )1,00,0ttt dtt 且且( )( )f tF n 充分条件：充分条件： f(t) 在无限区间内绝对可积在无限区间内绝对可积n 引入广义函数之后的扩展引入广义函数之后的扩展( )f t dt t01 t 2022-2-21591.1 傅立叶变换的运算特性傅立叶变换的运算特性n放大放大n叠加叠加n复共轭复共轭n标

29、度换算标度换算n时移时移n频移频移( )( )f tF ( )( )kf tkF 11221122( )( )( )( )a f ta fta Fa F *( )*()ftF 1()f atFaa 00()( )j tf tteF 00( )()jtef tF 2022-2-21601.1 傅立叶变换的运算特性傅立叶变换的运算特性0001( )cos()()2f ttFF 12121212( )( )( )( )( )( )( )( ) 2f tftFFf tftFF ( )2()F tf ( )( )nnndf tjFdt ( )( )0tf z dzFjF 000( )sin()()2jf ttFF n调制调制n卷积卷积n对偶对偶n微分微分n积分积分2022-2-21611.2 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换( )( )f tF 12( ) 0