三角函数经典练习题

1、三角函数经典练习题1.在直角三角形中，两锐角为1A.有最大值和最小值A、B,则sinAsinB(B)B.有最大值2C.既无最大值也无最小值提示：sinAsinBsinAcosAD.有最大值1,_，但无最小值21，但无最小值2.已知集合E=&|cosa.m2提示：即jr3.函数f(x)1sin2As<sin90<9<,注意到角度的取值范围，所以选B.2F=6|tan8<sinb,则el三V。心门府|tana*sin©,所以选A.sin2(x+±)_sin2(x_±)是(B)F是区间（A）A.周期为而的偶函数B.周期为凡的奇函数C.周期

2、为2江的偶函数D.周期为2江的奇函数提示：f(x)=sin2(x,)-sin2(x一一-)=.cos(x-当)-sin2(xj-cos(2xILsin2x,所以选4.函数y=cos(2x）的图象的一条对称轴方程为（2B)A.jrBx_一2提示：对应的x的值应该使得函数取得最值，所以选宽x_8B.5.函数y=arccos(sinx)(次£）的值域为（B)澳5彩a.(,L-66提示：sinxB.0,35一)6C.(-32)3D.6.下列函数中以A.y,1,再由arccosu为周期的函数是（D）21得,所以选十sin2xcos4xB.ysin2xcos4xC.y=c+sin2xcos2xs

3、in2xcos2x提示：D中y=sin2xcos2x1人儿sin4x,且用定义可以检验得其余都不满足，所以选2D.7.在直角坐标系中，曲线一JTC的方程是y=cosx,将曲线C沿向量a=（一）平移，则平移后的曲线方程是（B）A.y/=sinx/B.y/4sinx/-i-LC.y/-sinx/D.y/沁L：sinx/提示：x/2JTy/y十一，解出x、y代入已知式化简得，所以选B.=x,228.函数y4sin(3x二）十3cos（3x+色）的最小正周期是（C)A.6J>L4B.2C.2D.提示：y-5sin(3x十小、,）,所以选C.9.已知8是第三象限的角，且sin4和卜cos4-1A.

4、22B.=5,那么92C.sin2q=(A)提示：28在第一.二象限sin2A0，由(sin2sin2苞cossin226三£,取算术根即得，所以选9A.10.使得tan(2x+)=3-33成立，且o,2)的个数是（A.5B.4C.D.2提示：函数y互tan（2x+-）的周期为3-jr,因此在24个周期长的区间里使tan（2x)3的x必有4个，所以选B.11.若斶是第三象限的角，且24,则25tana=(D)2A.4C.提示：cos-725atan-22sin-cos-a22sin2cos21cos2,代入求得，所以选D.在一时，函数2f(x)sinx+43cosx的(D)A.最大值

5、是B.最大值是C.最大值是2,最小值是D.最大值是1,最小值是一一22,最小值是一1提示：f（x）=2sin（x+一），且一一Wx工一，所以选d.13.函数ysin(江2x)3COs2x的最小正周期是（B)A.-2C.D.4提示：用诱导公式.和.差角公式得yfos(2x)cos2x=2cos(2x一)cos,所以选B.6121214.已知点P(sina-cosqtana）在第一象限，则在0,2内以的取值范围是（B）A（，士2提示：色C.(,簟423-,)D.2(一一()4215.若sinsin。处costan>0,且在指定范围内，利用三角函数线分析，选B.0哥-tan缁净cot(一二qi

6、2(B)A.(_三,2B.(一提示：即在C.(02)4D.16.已知sina%sinI，C.若戈提示：当0tbcota,所以选那么下列命题成立的是（w是第一象限的角，则是第三象限的角，则B.D)cos%静cos氐B是第四象限的角时，由已知可设B.若a、0是第二象限的角，则D.若口、P是第四象限的角，则=2k1-1tantan其中1:<一,由诱导公式和正切函数的单调性知2tan殁itan即tan.tan17.函数y012sinxcosx的最大值是（B）L2A.-122B.12C.D.2一1提示:y-2bj2sin(x)418.设aP是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（D

7、)Atan-tan1B.sin痔Tsin"V2C.cos靡白cos提示:<:件+P一，.0<tan11221tan(2忸，）tan21，力-a+卜tan(港3中).r2tan22tan(X+P11)-2tan1tan22以+tan21一tan19.振动量Xy=3sin(22十一）的周期.振幅依次是（3>0,所以选D.A)A.4尸3B.提示：由概念知振幅为3,C.”,3一得周期，所以选A.1220.若A.B是锐角ABC的两个内角，则点P(cosBsinA,sinB-cosA)在(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22.23.提示：ABA.absin辖

8、B.提示：a=J2sin(：:二士)卜列命题中正确的命题是(cos二a4D)00，.二sinBsin(L_A)=cosA,同理2sincosC.abgd.ab1sinA>cosB,b-2sin()4,由正弦函数的单调性得，所以选B.A.若点P(a,2a)(a*0)为角耍终边上的一点，则sin«B.同时满足D.满足条件sin时,c0s的角有且只有一个2tan(arcsina)的值恒正tan(x+)三寸3的角的集合是x|x=k,3提示：由tan(x+2)=(3,得x+工二卜通+竺,所以选33若sin9cosH>0,贝U8在(B)A.第一.二象限B.第一.三象限C.提示：sin

9、旧与cosH同号，所以选B.24.在abc中，若2cosBsin=AsinC,则4abcA.等腰直角三角形*提示：ABB.直角三角形C.kZD.第一.四象限的形状一定是(等腰三角形C)D.第二.四象限D.等边三角形2cosBsinAsin(AB),展开化简得sin(AB)0,所以选C.<«0t24.下表是该港口某r从0时至24t寸记录的时向t上;水深y那I天系：t03691215182124y(米)关于时间t(时)的函数，其中11.9112y15.112.19.125.设yf(t)是某港口水的深度经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数4.911.98.9二+(Qyk

10、Asin(t12.1+<p)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(A.y123sin6t,t0,24B.y123sin(三),t0,24C.y12I3sint,t0,2412二=T,D.y123sin(12),t0,242提示：当t0时，有y12,t3时,y15,这只有a适合，故选A.26.已知sin2a,cos2b,则tan(+*的值为(D)4A， 1 + a % b , a b 1 + 1 a ba b 1提示：已知条件中的角度是欲求式中角度的 占 八、 /W£%sin - - _2 sin costan ,-、4 / cos,1 + <12

11、cos % 撒427. sin 15 0 cos165 0 的值等于(B)A- 1B. 一支44提示：即 sin150 (_cos150 ) =_1 sin 300.228.下列等式正确的是( D)C . 1 .D b1 a2倍，能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考, , 一 sin 2三 4-4 cos2 b=一'叫 1+cos2L+B.) 1Tin 2 n1 a4 J4C. D. 一。2222A.sin(f口+1800)=sinaB.sin2(汛+a)=-sin2aC.cos(Y+P)=一cos(aP)d.tan(a等)=tana提示：tan(a-Tt)=-tan(i-ct

12、).29 .若ABC内角满足tanA-sinA<0,sinA+cosA弟，则角A的取值范围是(C)33-A.(0,)B.(-,)C.(,-)-D-(，3J)442244提示：已知tanA(1cosA)<0,.tanA<0,又Qsin(A上上)>°,综合得.430 .函数f(x)=也cos(3x日)是奇函数，则8的一个值是(D)D.A.ttB.-C.-提示：*；3cos(3x-()-J3sin3x.231 .函数y=cosxtanx|(<x：<一)的大致图像是(C)22C.D.一-五.7r提示：<x0时，y=-sinx,0/V一时，y=sinx

13、.32.给出下列三角函数：cos(2n储卜步6)；sin(2ncos(2n1)sin(2n1)一n3Z）；其中函数值为sin马的是（C）A.B.提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于C.n取一系列特殊值检验.3D.33.若sin（,+H）=:，。是第二象限角,A.B.Jr二5sin(±：-22,石是第三象限的角，则cos（,5）的值是（b一一3提示：即sin-355cos4二_21,求得cos534.设一个半径为10的水轮，水轮的圆心距水面为距离y与时间x（秒）之间满足函数关系C.115254._8二一，金中.557,已知水轮每分钟旋转yAsin(A.B.15,A10D.4圈，水轮上的

14、点0,则其中的（A）P到水面的15C.与=丝A715D.22X15A17提示：A=10,转动的频率为1f一15(圈/秒)，周期T=15,f2.一，故得.35.函数f（x）=sin（Qx+qcos（0x罐）（8>0）以2为最小正周期，且能在是（A）x=2时取最大值，则中的一个值A.提示:B.一仁4C.7D.f(x)1.二一sin(2x程4)，且22-22,反代即得.236.函数sinx:一是tanx=1成立的（d）2A.充分而不必要条件C.充要条件提示：注意角的取值范围变化.B.必要而不充分条件D.既不充分又不必要条件37.函数y1。cos2x3cosx5的最小值为2B)A.2B.提示:二

15、1(2cos2x21)3cosx'52C.14二y二cos2x3cosx2D.38.将函数=sin（x+）（xR）的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐6标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）,则所得到的解析式为（A.y-sin(2x-5-)12B.ysin(x-5-)212C.,xy-sin(一24B)靠一)D.12y-sin(x5)224=sin(xz一）,即y-sin（x+5），再将x变为工提示：左移得y46122394041424344(,函数f(x)_tanx(cos4x_sin4_)的最小正周期是(a)22A.2#B.工C.土D.土提示：f(x)tanxco

16、sx=sinx(x事一在生，kZ),选A.2.已知sinq=iCosQ+Q)=_1，则sin(2a+g)=.3答案-1提示：sin(2q滞例)=sinC£+Qw*£).3.设t二cosx冲sinx，若sin3x比os3x“<0,则实数t的取值范围是.答案<tv。提示：对已知的第一式平方，变形得sinxcosx=：t2-1，且一丁2gt<J”，而2第二式即(sinx噜cosx)(1一sinxcosx)<0，.二t(1_t2-1):0,即t(t2_350，.二3VtM0，或2jF-1.t3=3;综合得一<2<t<0.r1.函数y=cos

17、(2x)_cos2x的最小正周期为.3答案式提示：y=_cos2x+?Lsin2xcos2x=_cos2x>?Lsin2x=cos(2x).22223.关于三角函数的图像，有下列命题：y-sinx.与y=sinx的图像关于y轴对称；y=cos(-x)与ycosx.比图像相同；y=|sinxI与y=sin(x)的图像关于y轴对称；y=cosx与y=cos(-x)的图像关于轴对称；其中正确命题的序号是.答案提示：逐一作图判断.已知一扇形的中心角为二，其所在的圆的半径为R.1)若0t=600,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；2)若扇形的周长为定值p，当a为多少弧度时，该扇形有

18、最大的面积？这一最大面积是多少？解析计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式C = (2 )r和圆的面积公式S = T(2w)r 2 ,对于般扇形，作相应的计算只需将两个核心公式中的2”换之以扇形的圆心角的弧度数(1)设弧长为i ,弓形面积为s弓，则一,R=10,l=r0(cm),33S弓S扇S。a=1X-10里10-1逐102sin一二50(一(2)二.扇形周长p=2R+l=2RS 扇=&R21-4一二；一4a3由u+-4之4,得S扇<-p-,当且仅当16，艮卜=2时，扇形取得最大面积邛21645

19、.已知f(x)=sinx1+,3tan(4x100)#1tan(x.35。）1tan(x350)解答f(500)=sin500(1+32900)+1+tan1501-tan150_sin500(t600t100tan450.tan1501-tan450tan150sin50cos600cos1004sin600sin10cos600cos10000)tan60=sin500cos5001cos1002-，3-2sin500cos500cos10046.已知函数 y =a -b cos3x（b A0）的最大值为最小值为1-求函数y=/asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期.解答由已知条件得

20、解得1*2，其最大值为2,最小正周期为在区间2_.3工氧B2k3（k宅）上是增函数,在区间口一心2k63-2k347.已知tan,tan0=_三2,解答利用和角、分子分母同除以(sincos原式=y-2sin3x,kEZ）上是减函数.一-一a+求内祝.22sincos差角公式展开，并借助分式的性质,cos2的值.cos2B可得(cossin：)2翼2sincos2_tan2：a-tan带p1an1"鲁.hiV2)21(3)2-二；1(2)21-148.已知tan,GtanP是方程x2-4mx3=0的两个根.(1)证明对于任意实数m,都有cos&+B)=4cosptco卓F;(

21、2)若tan(M#fJ)=2m2_3,求实数m的值.解答(1)':tana.中tan二4m,tan#tan£=3,sinotsin迪sin"贯sin隹与cos-cos心coswtcos也即sin°cos尸_sin'co/=4m,singin.=_3cos&co0,cos3cossin(a+B)=4mcoscccos©,cosacosB-sinotsinB=4cosotcos口,即cos(ot：卅P)=4cosacosa；(2)由(1)可得tan(0*0)=m,2m23二m,即2m2_m_3g,.m二_1,或m=-3-249.已知f

22、(x)=2cos2x+、：3sin2xa.(aeR为常数)(1)若w求f(x)的单调递增区间；xR,(2)若x住0,三时，f(x)最大值为4,求a的值.2解答(1)f(x)=1*cos2x+6sin2xa=2sin(2x+2)柏+1,6当2k*_工M2x匕2kt时，f(x)为单调增函数，2 62即当卜兀-三，乂，m十二时，f(x)为单调增函数，3 62同理，当代十_<x<kK.*丝时，f(x)为单调减函数；63霉上50.如图扇形AOB的半径为1,中心角为600, PQRS是扇形的内接矩形，问的面积最大？并求出这个最大值.P在怎样位置时，矩形 PQRS(2)当x=6时，f(x)有最大

23、值2+a*1N,'a1.解答设/匚，(6(0°,600)AOPxx),则PS二sinx,RS=cosx-sinxcot600,S(cosx-sinxcot600)sinxJ1sin2x-3sin2x231 31一cos2x3.3=一sin2x-=sin(2x尸，2 3236af,1其中tanG=-3,所以当2x+4=900,即x=300时S有最大值336>>_JI_951.判JE函数y=log1j1v1+sin22x-sinx的奇偶性，弁求函数的最值.f(x)1什y2ilogt2_1t*yminsin0osin3k的取值22sin1sincos2sin2sini2

24、解析这是一道带指令性的三角形问题有下列解法在做出一定变换之后，能够约分，注意到22在-1,1上是增函数10g11一252.已知函数fyFog12log123sin-4sin3在_1,1上是单调递减函数t的定义域为R,又f(-x)比值，观察本题的特点是对数函数，不妨先考查函数的单调性，则最值易求：1sin3日击sin2引2sin2x”sinx22点评(1)函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件(2)要掌握利用函数单调性求函数最值的方法.(2)求曲线y=kcos22sin2(1)将f(H装示为cos聃多项式cosU的多项式，必须考虑去分母，这就需要f(-x)/f(x)，求最值时若注意到s

25、inx的有界性以及f(x)10g1221-log21.2f(r)=f(x),即函数f(x)为奇函数.令t二sinx甲-1,1,sin(1)f®Ai+22sinMk与y=f(R)至少有一个公共点的实数是单调递减函数,1uu-,212ymax-log12解析判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化,*为考查f(x)圭f(一x)是否为0,甚至也可考查f(x)与f(_x)的3一4sine2sin2c.8日2sincos,32sin2f赢自cos2一121cos2?cos二2cos2cos1-1;-2 2t+一

26、 1.t(2)令日可黯)(-)Tcost,0,t1,1ktkA2t2询-kt)Tk1J=0,t=点评第(1)问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做;而第(2)问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解.53.如图，在矩形ABCD中，AB=1BC=J3,此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地(1)上的取值范围;(3)日)的值域.(2)连BD ,则匕DBC ，过D作地面的垂线，垂足为 E ,面垂直，设直线BC与地面所成角为6一矩形周边上最高点离地面的距离为他).求:(2)f(Q)的解析式;2在RtABDE中，DDBE=翳号土，DB=2,6.，仁一.，

27、一加,、一叽需、，f(b)=2sin(&喷)(0K己玉；).62一-21-(3)f(印上2sin(6i+)(046«),；一曰$一4一，：J一式sin(0+)<1,6266326即f(i)的值域为1,2.54.已知奇函数f(x的定义域为实数集R,且fXW0,F)上是增函数.是否存在这样的实数m,使ar超f(cos28-3)*f4m2mcos9)>f0)对所有的日可仙一均成立？若存在，求出适合条件的实-2数m的值或范围；若不存在，说明理由.解答f(x)为奇函数，f(0)A0.,f(cos2*-3+ft4m_2mco昇)>f(0)'f(cos2。-3&g

28、t;-f(4m_2mcos"),即f(cos2飞)>nffemcosi4m.)；&)在6,，°)上是增函数，且f1X为奇函数，f&x在a)上也为增函数.cos2"3含2mcos4m,即2cos2"一"2mcos°-4m,即cos2©-mcos©+2m-2>0,7aeJ小Jcos0,1J2令tcos,thi,则满足条件的m应该使不等式t2一mt之m2->0对任意的t0,1】均成立.设gtt三_mt2m2_m0,则2g00,_i,0,m1,i2,g10,解之得4212m2故满足条件的m

29、存在，取值范围是(4-2也55.在MBC中，CB=0,a,b,c为角A,B,C所对的三条边.(1)求t=sinA+sinB时，t的取值范围;a2bcb2cac2ab(2)化简一：1土土)一(用(1)中t表7K).解答YCBACabc=0,CB.aC?.".AABC为直角三角形，二A*B=色2又sinA+sinB_sinA+cosA=、:2sin冗A+4Ji<271一<4'疣3At一<,1<v2sinfI44江A-忆14一csinA,a2(b力beca+c2+ab+)abc_c2sin2AccosAcc2cos2AcsinAc3sinAcosAcc2cs

30、inAccosAsin2AcosAsin2Acos2AsinAcos2AsinAcosAsinAcosA-sinA-cosA1sinAc0sA-ti+t-tsinAcosA2i-t2t一156.等比数列:n中,aa2=sin&+cosaa3J*sin20t,其中(1)问：2sin20t1cos4一IXJE，“国事屋n2(2)若tan(加一ct24尸一3+W是数列gn的第几项?2，求数列an的前n项和Sn.解答(1)设数列1sin2an的公比是q,贝U有q=.a点sincos2sin；6y飞cos一二sincos*所以aCL"Ot+sincosGtn1从而通项an-sing戈c

31、os一又2sin2:4sin2:故12sin2递二.cos422+3是242数歹Uan1的第5项.2cos43沪(1sin2：碎)迎.sincos：,tan一,tan_,可得sin工一一,cos-5于是q=sina+cosa,即an二H,Sn-111RJ-1-144557.已知函数y=asinx+bcosx*c的图像上有一个最低点144可，1,卜如果图像上每点纵坐标不变，横63一右s坐标缩短到原来的7t倍，然后向左干移1个单位可得y一f'x杭图像,(j=又知ftxA3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求f(x的解析式，最小正周期和单调减区间.解答y=asinx+bcosx&quo

32、t;ca2b2sinx第c.(其中*满足tan0=勺g与点(a,b)同象限)，b11由于卜一a1是图像上最低点，所以11圈品麓g2k二-6t/.-a2b2c1.a)-J+噩1sinx2k=(c一c1sin<x3,将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的(pjr-2届一7一.k乙3a2b2一c13,、力7倍，然后向左平移1个单位可得x1 -3c-c-1sin_x”,.=空=6.3一一32 sin( 22x)由于fx挎的所有正根依次成等差数列，即曲线y=fX与直线y二3的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线y3要么与曲线y=f(x'目切，即过f(x卯最高点

33、或最低点，要么过曲线的拐点，又111冗；，1是图像上的最低点，故y=3与曲线y=f(x)在最高点相切.6当sinx=1时，f(xy=2c_1=3,所以c=2,此时周期应为公差3,这与上面已知周期6矛盾,3故舍去.若过曲线的拐点，当sin _ x= 0 时，f x)=c =3 ,此时周期 3f x 2in 23+ 3,由2k距T3 x二 2k 一 , k z2326恰为公差3的2倍，符合题意.所以39得6"一 M 三 *6k ,22即函数y = f x中减区间为 6k +3一 ,6 k+_9, k e Z .2258设函数f ( x)2 cos4 x-2cos2 x 12 -；,求函数

34、 f ( x)的最大值和最小正周期. .22 tan( x) sin « x)解析虽然本题弁没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路同样我们也不能预测化简的具体结果,但总的目标应该是相对清楚的,那就是设法不断地“化繁为简”原式1(4cos4x4co#1)-2兀2sin(-x)_4(2-、cos(7Jcos(-x)444sin(-2cos1)(x)cos(Jx):cos22x一TC1。-cos2x,21即最大值为一，取小正同期为259.证明：tan2xcot2x=2(3*cos4x).1-cos4x解析观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”

35、的证明路线，也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路方法一：左边sin 2 x cos2 x sin 4 x cos4 x (sin 2 x cos 2 x)2 2 sin 2 xcos2 x2cos2 x+sin 2 xsin 2 xcos2 x1 2 2xsin <x42 2x1 一 1sin2_ sin 2 2x1 1 sin 2 2x2-17一(1 一 cos4x)88 4 sin 2 2x 4 4 cos2 2x1一 cos4x1 - cos4 x4 . 2(1 1 cos 4x) _ 2(3 - cos4x)=右边;1 cos4x1 cos4x方法二：右边

36、- 2(2 1 cos4x) 2 sin 2 2x2(2 2 cos 2 2x)2 sin 2 2x2(1 cos2 2x) (sin 2 x cos2 x) 2 (cos2 x - sin2 x)4 sin 2 x cos 2 x2 sin 2 x cos2 x2(sin 4 x cos 4 x) - tan 2 x cot 2 sin 2 x cos2 x60.已知函数f (x)24 tan 2x(1 tan、2x)2sin x 3 sin 4x22sin 8x(1 tan2 2x) 2,求该函数的定义域、最小正周期和最大、最小值.解答f ( x)=1 一 cos4x3 sin 4x4ta

37、n 2 x cos4 x sin 8x sec 2 2x一 / 一一一一胚、1 2 sin(4x-)-2 sin 2x cos2x -2 sin(4x-)6 sin 4x6)由sin8 x方和tan2x有意义知8x k k"(k e Z )且2x金霭+一(l五Z),即函数的定乂域为2二 ，鹏 x卡| x wJ,k=Z,且f ( x)的最小正周期是一，最大值是 2，最小值是一2 .61.设a之0,0<x<2冗，已知函数f(x)=cos2x_asinx+b的最小值和最大值分别是b表示出所求实数a、b的值.解析这是一道三角函数最值问题的逆问题，可以按照求函数最值的思路求解，用a、函数的最大值和最小值后，对照已知条件建立方程组求解f(x)色sin2xasjnxb+=(sinx+a)2+记+b1240 ,有 y±±(-(t +W)22令t二sinx，则一1丈<1,且_a<210当1H-a唐0,即00ag时,2ymaxyt-2a4 b 1-0ymin此时解得a -2b=2 ；即a >2时,ym