上海市高考数学基本要求例题及练习(基础)

1、第一单元集台与函数本单元所涉及的知识为集合和命题，函数的基本性质，哥函数、指数函数和对数函数.集合作为表述数学对象的一种数学语言，将贯穿在今后的数学学习中；数学命题早已接触，数学命题的充分性与必要性是表述数学内容及逻辑关系的最精确和最简单的语言，也将在今后的数学学习中不断予以运用.函数是中学数学的一个核心内容，函数的概念、函数的基本性质以及分别作为基本初等函数之一的募函数、指数函数和对数函数的图像与性质的研究既是高等数学的重要基础，也是用以建立函数模型解决诸多实际问题的重要依据.1.1集合与命题【导言】1 .教学目标(1) 知道集合的意义，理解用以表示元素与集合间关系的符号；认识一些特殊集合的

2、记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质，会求几个集合的交集、并集以及已知集合关于全集的补集.(2) 理解逆命题、否命题、逆否命题的含义，掌握四种形式命题的相互关系；理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义，能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性.(3) 体会数学抽象的意义，认识数学符号变换的含意，能用集合的知识与方法观察、思考、表述和解决一些简单问题，领会分类、判断、推理的思想方法.2 .重点和难点重点：子集的概念，集合的运算；充分条件、必要条件、充分必要条件.难点：命

3、题的证明，充分条件、必要条件、充分必要条件的判别.【内容要点与学习水平】学习内容集合及其表示记忆水平(A)知道集合的意义.会对集合的意义进行描述.认识些特殊集合的记号.学习水平解释性理解水平(B)懂得了已素及其与集合的关系符号.初步掌握基本的集合语言.探究性理解水平(C)会用“列举法”和“描述法”表示集合.体会数学抽象的意义.掌握用区间表示集合的方法.子集理解集合之间的包含关系.掌握子集的概念.能用集合语后表述和解决一些简单的实际问题.交集、并集、补集知道有关的基本运算性质.掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算.命题的四种形式卜解一些基本的逻辑关,及其运算.理解逆命题、否命题、逆否命题，理解

4、命题的四种形式及其相互关系，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用.初步掌握命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系.领会分类、判断、推理的思想方法.充分条件、必要条件、允要条件理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.能存简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、尤要性.【内容梳理】知识结构【学习指导】1 .问题讨论问题l下列三个集合Axyx21,xR、Byyx21,xR、，,、2，一,一一A(x,y)yx1,xR相等吗？问题2如何判定命题的真假？说明命题的真假判定都要有依据，要判定一个命题为真命题或假命题，需要证明，证明包括直接证明、间接证明.判定一个命题为假命题有时可以举一个反例

5、.问题3如何判别一个条件是充分条件或必要条件？说明应该依据推出关系判别一个条件是充分条件或必要条件.2 .例题解析例题l已知集合Ax1x3,集合Bxx23x0,集合Cxa1xa1,aR，若对任何一个xC,都有xAIB,求a的取值范围.例题2写出命题“已知mR,若m0.则关于x的方程x2xm0有实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.例题3判断下列各题中命题甲是命题乙的什么条件(填入充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件)，并说明理由.(1) 函数f(X)与g(x)的定义域均为R甲：f (x)与g(x)的积是偶函数.乙:f (X)与g(x)都是奇甬数.(2)

6、设点集 M(x,y)x2 y2 2、N (x, y) x 近，y 近，甲：点PC M乙：点PC N.(3) 在 ABC 中，甲：cosAcosBcosC>0. 乙： ABC为锐角三角形.例题4设集合Mxx2 mx 6 0,x R ,且M U 2,32,3 ,求实数m的取值范围.1.2例题l试判断以下各组函数是否表示同一个函数.(1)f (x) jx2, g(x) jx3lx1 x 0 f(x) U,g(x) x1 x 0(3)f (x) Vxg/x 1,g(x) vx2x(4) f(x) x2 2x 1,g(t) t2 2t 1例题2求下列各函数的值域：(1) y 2 Tx_x2(2)

7、yc x2 2x 2一(3) y (x 2)(4) yx 2 y 2x 3 x 2 72x 1x 1x . 1 x例3如图，学校有一块三角形空地,A 60o, AB 2,AC 3 (单位：米)，现要在此空地上种植花草，为了美观，用一根条形石料DE将空地隔成面积相等的两部分(D在AB上,E在AC上).(1)设ADx,AEy,求用x表示y的函数解析式，并写出函数的定义域;(2)如何选取H E的位置，可以使所用石料最省1.31.问题讨论问题募函数有哪些重要的性质？说明哥函数yx。（aCQ,a是常数）的定义域D由常数指数a确定，研究募函数的性质，主要是研究募函数在（0,）上的性质.当a>0时，y

8、X。在（0,+OO比是增函数；当a<0时，yX"在（0,+8）上是减函数.备函数的图像都经过点（1,1）.2.例题解析2例题l已知函数yX4ax（1WxW3）是单调递增函数，求实数a的取值范围.3 3例题2已知（a3）5（12a）5,求实数a的取值范围1. 4指数函数与对数函数1 .教学目标（1）掌握指数函数的概念、性质和图像.（2）理解对数的意义，掌握积、商、哥的对数的性质，会用计算器求对数.（3）掌握反函数的概念以及互为反函数的两个函数的性质与图像之间关系.（4）理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质和图像.（5）理解指数方程和对数方程的含义，会解简单的指数方程和对数方程.

9、（6）经历对互为反函数的两个函数的性质与图像之间的关系的研究，以及对指数函数与对数函数的性质与图像之间的关系的研究，体会特殊与一般的辩证关系.2.重点和难点重点：反函数的概念，指数函数与对数函数的性质与图像.难点：指数函数的概念，对数的意义，指数函数与对数函数的单调性.【内容要点与学习水平】学习内容学习水平记忆水平（A）解释性理解水平（B）探究性理解水平（C）指数函数性质与图像理解有关的基本概念，进一步领会研究函数的基本方法.掌握指数函数性质和图像.对数经历由指数式提出对数概念的过理解对数的意义.初步掌握换底公式的基本运用.掌握积、商、嘉的对数性质.会用计算器求对数.程.反函数掌握反函数的概念

10、，会求简单函数的反函数.（续表）学习内容学习水平记忆水平（A）解释性理解水平（B）探究性理解水平（C）对数函数性质与图像理解对数函数的意义.利用对数函数与指数函数互为反函数的关系.研究与掌握对数函数的性质和图像.指数方程和对数方程理解指数方程和对数方程的概念.会解简单的指数方程和对数方程.【内容梳理】1.知识结构定义域值域指数函数图像互为反函数性质对数函数一(定义域值域；图像i对数性质2.公式与法则【学习指导】2 .例题解析例题1已f (x) 2x对数运算性质换底公式b的反函数为f-1(x),若f-1(x)的图像经过点Q(5,2)求：b例题2解下列方程：(1)lg(x23)lg(3x5)，5,

11、一lOg5xlOg5X1x例3设关于X的方程：k9xk3x16(k5)0(1)若常数k=3,求此方程的解若该方程在0,2内有解，求k取值范围第二章不等式1判断下列命题的真假，并说明理由。(1)若ab,则ab2b；(2)若ab,则a2ab；(3) 若ab,cd则acbd；11(4) 右ab0,则一一；ab(5)若ab,cd则acbd；(6)若ab,则a3b3-22x1,2解不等式：1；x33解不等式：2x12,4解不等式：log2(x1)log4(3x5)0第三章三角比与三角函数3. 11判断下列命题的真假，并说明理由。(1) 若0,则是第一象限角；2(2) 第一象限角都是锐角；(3) 若第一象

12、限角，则一也是第一象限角；2(4) 8弧度的角与72°的角是终边相同的角；(5) 终边x在轴上的角的集合为k,kZ;(6) 终边在x轴上方的角的集合为2k(2k1),kZ2已知角的终边经过点P(3k,4k),求角的六个三角比的值。,kZ,试用任意角的三角比定义证明:tancotsec?csc3.2,，3、一5，一.一，一，1已知cosm,(,一)，且一，请用m分别表小tan,tan2,tan-242、儿，1.sin2cossin2设tan,求的值。2sin2cos23 求证：sin(2)2cos( )sin sin4求证:2coscot 一 tan 一1 sin 243.3ABC 中

13、,三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,请解下列各题:(1)已知b2,c",B45°,求C,A,a；(2)已知a3,b4,三角形的面积S=3V3,求c2在ABC中三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、C同时满足两个关系式：(1)sin2Asin2Bsin2CsinA?sinB;(2)b型网试判断ABC的形状acosA3已知山坡上的点A处，有一座高度为h的电视塔AB，假设从地面点C出，在只有测量仰角的工具的情况下，请设计一个通过解斜三角形来计算点A到地面的高度H的方案，并用假设仰角的数据(用字母表示)和电视塔高h度表示山坡H3.42x1函数f(x)12sin是6(A)

14、 周期为6的周期函数，且为偶函数；(B) 周期为3的周期函数，且为奇函数；(C) 周期为3的周期函数，但不是偶函数，也不是奇函数；(D) 周期为6的周期函数，但不是偶函数，也不是奇函数；2已知函数f(x)2sin(x)cosx求的最小正周期求f(x)在区间一,一上的最大值和最小值，并指出在区间上f(x)取得最大值和最小值62时x的值。3若动直线与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图象分别交于M、N两点，求MN的最大值。3.5,、一,1一1求cosarcsin(-)的值22根据下列条件，求方程的解集：(1) cosx曲sinx由0,x(0,2)2(2) 2sinx23cosx第四章数列与数

15、学归纳法例1根据数列的前几项值，写出它们各自的一个通项公式1111(1)一,一,一,.261220(2)3,5,3,5-c726630,一,一4916.1,111（4）-1+,3-1,-5+,7-.24816例2(1)已知：a,c,e三数成等差数列，若a=1,e=81，求：c(2)已知：a,c,e三数成等比数列，若a=1,e=81，求：c(3)已知：a,b,c,d,e五数成等比数列，a=1,e=81，求：b,c,d例3(1)等差数列an的公差d<0,若a2a412,a2a48,则通项an(2)在等比数列an中，若a3a5a727,则a51 -例4在数列an中，已知：a12,an12，求：

16、a10an例5在公差为d,(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,已知：a1bi1,a2b2,a8b3(1) 求：d,q的值(2) 是否存在常数a,b使anlogabnb对一切正数n成立，若存在，求a,b的值，不存在，说明理由。4.2数歹用前n项和例1在等差数列an中，若：a3a4.a7450，则&a2.&例2数列an 的前n项和为 Sn,Snai(3n 1-2nN ),且 & 54,求a例3已知数列an的通项公式4nan34,16n4,n 43;*(n N),求：此数列的前n项和例4在等比数列an 中，q1,公比q0,设 bn* log2an,n N ,且

17、bib3b56gb5(i)求证：数列bn是等差数列(2)求数列bn的前n项和 Sn及an的通项an。例5.假设某市2010年新建住房400万平方米，其中有 今后的若干年中，该市每年新建住房面积平均比上年增长 低价房的面积均比上一年增加50万平方米。(1)到那一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以 不少于4750万平方米？250万平方米是中低价房。预计在8%。另外，每年新建住房中，中2010年为累计的第一年)将首次(3)到那一年底当年所建的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?4.3数学归纳法例1用数学归纳法证明：求证：12 22 32 42 . (2n 1)2 (2n)2

18、n(2n 1) , n N*.例2求证：2n 2 3n 5n 21能被25整除例 3 已知数列 an 满足：a1 2, an (2n 1) an 1(n 2)求：(1) a2,a3,a4(2)猜测数列 an的通项公式，并用数学归纳法证明例4数列an的前n项和为Sn,且a1 1,an 11八*7Sn(n N )3求：(1) a2,a3,a4的值（2）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明。4.4数列的极限例1计算/、(n1)(2n1)(Dlim-n4n2,、/111、lim(+.)n1223n(n+1)例2若数列an的通项公式是an则下列说法正确的是（）（A） lim an不存在（B）n1一

19、；(n 1,2)n 1n的前n项和为Sn,J(n 2)3lim an=1 或 lim an=0 nn(C)lim sn不存在n(D)limn8 sn = n 9例3若无穷等比数列an的各项和 S的值为 2 ,公比q<0,则首项诩的取值范围是：例4已知数列an的前n项和为sn,a11,且3an12Sn3（n为正整数）（1）求数列的通项公式（2）记S=a1a2.an.,若对任何正整数n,kSSn恒成立，求实数k的最大值。第五章矩阵与行列式5.1矩阵行列式例1(1)若矩阵A=1(2) D 232a2，且 A=B,贝U a+b=y2 x x y b2x a 2b y x4 75 8中，元素4的代

20、数余子式的值是： 6 9各阶段成绩 姓名第一阶段 （环）第二阶段 （环）第三阶段 （环）第四阶段 （环）总成绩甲26272928110乙29262628109例2下表是某次射箭比赛中甲乙两位选手在决赛中各阶段的成绩表（1） 将两人各阶段的成绩用矩阵表示（2） 写出（1）中的行向量，列向量，并指出其实际意义5.2算法初步例1任意给定一个大于1的整数n,设计一个算法对n是否为质（素）数做一个判定。例2对于任意的两个数 a和b,如果a b,那么M 试用程序框图表示这个条件结构。a;如果a<b,那么 M b例3根据流程图，输出的 p=第六章向量6.1r例1已知向量ai 0.1p 0.2否p是p

21、1.1（3k,3）, b （ 6,k 7）,分别求满足下则条件醉一ki i 0.1例2如图6-1-1 ,且 BE=t(0<t<1),建立平面直角坐标系，点分别在边长为1的正方形ABCD边AB.AD上,BFECuuu求EC的坐标(2)求满足条件的点F 利用向量方法证明：的坐标FB EC例3已知r1,br r八 umrr2,a与b勺夹角为60 ,OC 2ar uuur rb,OD auur3b,求CD的值rrrr例4例4已知向量a=(cos,sin),向量b=(73.-1),求2ab的最大值。rrrrrrrr例5,已知a=(cos,sin),b=(cos,sin).a,b之间满足关系式

22、kab=v3akb,rrrrrr其中k>0。用k表示a分(2)求ag1的最小值，并求此时由附勺夹角的大小。uuuuur例6如图6-1-2,已知点GABM重心，直线PQtG>别与边AB,ACf交于P,Q两点，且AP=MABUULTUULT11AQ=nAC,试求一+一的值mn6.22例1实数m取何值时，复数zmm6(m22m15)i分别是：m3(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例2,已知复数z一(13i)2(32i),求z勺模.(12i)2例3,关于z的方程z2+5z+m=0勺两个根z1,z2满足4z2=3,求实数m勺值.例4,已知、都是复数，其中=1+V3io设A、B分别为复数+

23、与-在复平面上所对应的两点，。为原点如果VABO是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求此等腰直角三角形的腰长.例5,已知z为复数,12的取值范围一72.2w=z+i且为纯虚数，求M=w1+w第七章7.1坐标平面上的直线例1,分别求满足下列条件德直线的方程：(1) 过两直线x+y-2=0与2x-y-1=0的交点，且垂直于直线5x-2y+3=0的直线。(2) 在过点P(-1,1)的所有直线中，与点Q(2,-1)距离最远的直线。(3) 平行四边形ABCD的两个顶点为A(-9PQAQ-7),B(2,6)中心坐标为M(3,0)，边22所在的直线。例2,求过点(0,-1)且被两条平行直线2x+y-6=0和4

24、x+2y-5=0截得的线段长为-的直线的2方程例3,已知ABC的顶点A(3,-1),边AB上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，角B的平分线所在的直线的方程为x-4y+10=0,求边BC所在直线的方程。例4,如图7-1-1,ABC的顶点A,B在折线段y=|x(x-1,1)上，且AB平行于x轴，点M(1,m)(m是已知实数，且m>3)是ABC的边BC的中点。记ABC的面积为S,2点B的横坐标为t,求函数S=f(t)的最大值及其相应的点C的坐标。7.2圆锥曲线例1,求满足下列条件德圆锥曲线的标准方程；22xy(1) 分别以椭圆匚1的焦点和顶点为双曲线的顶点和焦点的双曲线;259(2

25、) 以3x4y0为渐进性且过点(2,3)的双曲线；(3)2X抛物线顶点在原点，它的准线过椭圆3a2y一， 一一，彳 1(a b 0)的一个焦点，且垂直于b2 2.6椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为(,二一)的抛物线及椭圆。3 32.例2,设P为抛物线yx上的一动点，定点A(a,0)关于点P的对称点是Q,其中a0。(1) 求点Q的轨迹方程2(2) 若(1)中轨迹与抛物线yx相交于B,C两点，则当ABAC时，求a的值例3,太平洋上有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群泡游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A,B两岛，曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群。某日，研

26、究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3,求鱼群此时分别与两岛的距离。一、1，OP,OQ斜率之积为 一，求证422例4,xy椭圆1上有两点P,Q,O为坐标原点，若164OPOQ2为定值y 9 0。过直线l上一点A作例5,已知圆M:2x22y28x8y10,直线l:xABC,使BAC450,边AB过圆心M,且B,C在圆M上。(1) 当点的横坐标为4时，求直线的方程。(2) 求点的横坐标的取值范围第八单元立体几何8.1 空间直线与平面例题1已知a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证a、bc、d共面例题2如图，在棱

27、长为6的正方体ABCD-AB1c1D1, M、N分别是AB1、CC1的中点，设过 D、M、N三点的平面与B1c1交于点P,求PM PN的值例题3画出水平放置的正六边形 ABCDEF直观图例题4已知点A是BCD所在平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点 求证：直线EF与BD是异面直线(2)若AC BD, AC=BD,求异面直线EF与BD所成角的大小8.2简单几何体例题1如图，在斜三棱柱 ABC-ABC1中，AAC ACB -, AAC ,侧棱 BB1 26与底面所成的角为 ,AA1 =4 V3, BC 4, 3求斜三棱柱ABC-AB1cl的体积V例题2已知正三棱锥的每条棱长都等于例题3如图，

28、已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，Q为底面圆周上的一点，且BQ2瓜圆锥体积为8，点C位底面圆的圆心，3求该圆锥的侧面积第九章排列组合1、书架的上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。(1) 从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2) 从书架上任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？2、电视台在某娱乐节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定三位幸运观众，抽奖规则如下：先抽取一名幸运之星，再从两信箱中各抽取一名幸运伙伴，有多少种不同的抽奖结果？3、甲乙等共6人排队照相。(1) 若排成一排照相，

29、甲不站在排头，有多少种不同的排法？(2) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照相，甲乙两个必须相邻，有多少种不同的排法？(4) 若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？(5) 若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男女必须相间排列，有多少种不同的排法？4、从2、4、6、7、8、11、12、13这八个数中，每次取出两个数。(1) 其积为奇数的情形有多少种？(2) 其和为奇数的情形有多少种？(3) 其和为偶数的情形有多少种？x2x3135、解关于x的方程：Cx?Cx2-Px36、某届世界博览会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻