压弯构件稳的失稳

1、第三章压弯构件的失稳轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P 和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向

2、有足够的支撑(如图 3.1（b） )，构件将发生平面内的弯曲失稳，其荷载挠度曲线如图3.2（ a）中曲线 a，失稳的极限荷载为Pu，属于极值点失稳。图 3.1 两端简支理想压弯构件图 3.2压弯构件荷载变形曲线如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（），则构件在荷载 P 未达到平面内极限荷载Pu 时，可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移，并绕纵轴产生扭转角（如图 3.（），其荷载变形曲线如图3.2（ b）中曲线 b，属于分支点失稳，失稳的分荷载为 Pyw, ，且 Pyw <Pu。弯曲失稳一般在弹塑性阶段出现，而弯扭失稳可能发生在弹性阶段，也可能出现在弹塑性阶段

3、。3. 1 压弯构件平面内失稳对压弯构件， 当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时，若失稳则只可能发生平面内弯曲失稳。当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系，可以得到图3. 3 中的二阶弹性曲线b，它以轴心受压弯构件的分岔点荷载PE 处引出的水平线a 为渐近线。实际压弯构件存在初始缺陷(残余应力几何缺陷)，材料为弹塑性体。 如按弹塑性理论分析，荷载挠度曲线将是图中曲线OABC 。曲线上A 点标志着杆件中点截面边缘开始屈服，对应的荷载为 Pe，随后塑性向截面内部发展，构件变形快速增加，形成OAB 上升段，构件处于稳定平衡状态； B 点为曲线的极值点，对应的荷载Pu 为构件在弯矩作

4、用平面内失稳的极限荷载；到达B点以后，由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度，出现下降段BC ，52构件处于不稳定平衡状态。由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属于二阶弹塑性分析的极值点失稳，不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu，而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载。压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载，但它是弹塑性分析的基础，因此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳。图 3 .3压弯构件荷载挠度曲线压弯构件平面内弹性弯曲性能在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时，对图2.13 所示有偏心的轴心受压杆

5、已作过分析，即当作偏心压弯构件得出了荷载P 与构件中点挠度 之间的关系曲线。从式 (2.48) 中可以看出，若假设材料是无限弹性体，则当 时， PPE，即临界荷载P 以欧拉荷载 PE 为极值。然而实际材料都是有限弹性的，由于压弯构件平面内弯曲失稳时，构件为弹塑性工作状态，因此弹性分析只有理论意义。下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形性能。1. 横向均布荷载作用的压弯构件图 3.4(a)所示为在均布荷载q 作用下两端铰接的压弯构件。假定材料完全弹性，取图3. 4(c)所示隔离体，在距左端x 处截面的内力矩M fEI y ，外力矩 M ePy qx l x

6、 2 ，平衡方程为EI yPyqx l x2令 k 2 P EI ，则yk 2 yqx xl（ 3.1）2EI方程 (3. 1) 的特解可写作 yc1 x 2c 2 x c3 ，代入方程 ( 3. 1 )，有Pc1q 2 x 2Pc2ql 2 xPc3 2EIc10上式是恒等式，故53c1=q (2 P)， c2= q l (2 P) ,c3= EIq P2方程 ( 3. 1 ) 对应的齐次线性方程2y =Asin k +Bcos k ，则方程y +k y =0的通解可写作(3.1) 的通解为2 (2 P) q l (2 P) EIq / P2y= Asin k +Bcosk + q（ 3.2

7、）由边界条件y(0) =0 ,y( l )=0 得2·tg ( l 2)，2A= EIq PB=EIq P则yqtg kl sin kxcoskx1qxl x（3.3）k4 EI22k 2 EI构件在 xl 2 处有最大挠度ymax ， 令 ukl 2 ，可得y maxql 41cosuql 416EIu 4cos u32EIu 2= y0 12 2 secu 4u 22（ 3.4）5u式中： y0 5ql 4384EI是均布荷载作用下简支梁的最大挠度，即当P=0 时，由式 ( 3. 4 )求得的最大挠度。式( 3. 4 ) 中括号内的值为考虑轴线压力后最大挠度的放大系数。图 3.4

8、均布荷载作用的压弯构件将 secu 展开成幂级数，有secu11 u 25 u 461 u 6277 u 82247208064式中kllPP PEu2EI22则式 ( 3. 4 )可写成21y maxy0 11.034 P PE1.0038 P PEy01 PPE= Am y0（ 3.5）式中 Am 1 / 1 P / PE是最大挠度的放大系数。构件中点的最大弯矩为54M maxql 2 8 Py max M 01 1.028P PEm M（ 3.6）Am M 01PPE1P PE式中 M0ql 2 8 是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩；m为等效弯矩系数；A 为弯矩放大m系数，用以考虑轴

9、压力P 产生的二阶效应。2. 横向集中荷载作用的压弯构件由图 3.5（ c）知，当0< xl 2 时，平衡方程为EI yPyQx 2令 k 2P (EI) ，则yk 2 yQx2EI（ 3.7）通解为yA sin kxB coskxQx (2P)引入边界条件y 00 ， y l20,得 B0, AQsec( kl2),则通解2PkyQseckl seckxkx（ 3.8）2Pk2令 ukl 2, 当 xl 2时，跨中最大挠度为QltguuQl 33uy03 tgu u（ 3.9）ym a x48EIu3 tguu3式中 y0 Ql 348EI4Puu u3 是有轴压力作是集中荷载 Q 作

10、用在跨中时简支梁的最大挠度， 3 tgu用时最大挠度放大系数。将 tgu 展成幂级数tguuu 332u515 17u 7315将 ukl 2P PE代入，则式 ( 3.9 ) 可改写为2图 3.5跨中集中荷载作用的压弯构件ymaxy0 10.987 P PE0.986P PE2y01（ 3.10）1P PE式中1 1P / PE 为最大挠度放大系数。跨中最大弯矩为M maxQl 4 PymaxQl1Pl 2P PE412EI 15510.178 P Pm M 0= M 0EAm M 0（ 3.11）1 PPE1 PPE式中 M0Ql4 是集中荷载作用下简支梁最大弯矩；m 为等效弯矩系数；弯矩

11、放大系数Am 10.2 P PE。1P PE对于弹性压弯构件，根据各种荷载作用和支撑情况，可以计算出跨中弯矩M max 的表达通式M maxm M（ 3.12）P PE1再考虑初始缺陷的影响，假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为0 的正弦曲线，则在任意横向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为mMP 0（ 3.13）M maxP PE1当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时，其应满足Pm MP 0f y（3.14）A1 PPEW令( 3. 14)中 M0 ，则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式P0P00f y（ 3.15）A1 P0PE W因为 P0Af y （ 为轴心压杆稳定系数）

12、，则由式 ( 3. 15 ) 得11Af yW（ 3.16）01PEA将式 ( 3. 16 ) 代入 ( 3. 14 ) ，整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式Pm Mf y（ 3.17）AW 1P PE其中等效弯矩系数m 取值见表 3.1。3.1.2 压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳从图 3.3 可以看出，当压弯构件截面边缘纤维开始屈服，构件进入弹塑性阶段后， 随着外荷载的增加，截面弹性区越来越小， 构件抗弯刚度降低， 变形加快，以至构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加，达到极限状态时（图3.3 极值点 B），内外力开始无法平衡，构件发生平面内弹塑性整体失稳。由于压弯构件的截面形状、尺寸和外力作

13、用方式等不同，弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出现在图 3.6（ a）所示的阴影区， 即弯曲凹面受压的一侧；也可能如图 3.6（ b）所示， 在受压凹面和受拉凸面同时出现塑性区； 对单轴对称截面压弯构件，塑性区也可能只出现在受拉凸面的一侧，图3.6（c）所示。图 3.6 压弯构件弯曲失稳的塑性区分布压弯构件的极限荷载求解比较困难，一般情况下可用数值积分法得到数值解，但如果截面形状比较简单， 不考虑初弯曲和较复杂的残余应力分布影响时，经简化后也可用解析法得到近似解。56表 3.1 等效弯矩系数m 值1. 解析法对于轴压力 P 和两端相同弯矩 M 共同作用的两端简支压弯构件 （图 3.7），用

14、Jezek 解析法 18 求解可以求出精确度比较高的极限荷载。其假设为：（ 1） 材料为理想的弹塑性体；（ 2） 构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波。图 3.7a 是矩形截面的压弯构件，在轴力P 和端弯矩 M 共同作用下，平面内弹塑性弯曲失稳时构件截面的塑性有两种类型：只出现在受压区， 如图 3.7b 阴影部分所示， 截面弹性区高度为he ，细长构件常属此类；另一类为受压、受拉区均出现塑性区，图3.7e 所示，短粗构件常属此类。下面分别加以讨论：1）第一种情况：塑性区仅出现在受压区（图3.7b）图 3.7c图 3.7d 分别为第 1 种情况截面的应变和应力图。由应力图可以分别得出轴线方向力和力

15、矩的平衡方程：Py A1或yt2 Py Pyt bhe（3.18）2bhe57图 3.7 矩形截面压弯构件中央截面的应变和应力1hheM Pv2ytbhe 23由上式可解出弹性区高度he3h3 MP2PyP式中， PyAy , 表示轴心受压时全截面屈服压力。由应变图知曲率ytyt2 Py PheEheEbhe2根据变形曲线假定，挠曲线为ysin (xl )中央截面处的曲率为yl 2v2 / l 2由式（ 3.21）式 ( 3. 22 ) 知22 PyPl 2Ebhe2将 ( 3. 20 )代入 ( 3. 22 ) 后，得到构件压力P 与挠度 v 的函数关系22l 2 Py3h 1PMPP9b

16、212PyPyEPy由极值条件dP0 ，得d1 PyhPM3 P1PyPy2将式 ( 3. 26 )代入 ( 3. 25)后，得（ 3.19）（ 3.20）（ 3.21）（ 3.22）（ 3.23）（ 3.24）（ 3.25）（ 3.26）582 E1 bh3 12M3PhPy（ 3.27）l2121P Py由于 P0 时，截面边缘纤维开始屈服时的弯矩My1 bh21 P h，且全截面的惯性矩6yy6I x1bh3 ，则构件在平面内弯曲失稳的弹塑性极值荷载1232 EI xMPu1（ 3.28）l21PuPy3M y将式(3.26 ) 代入 ( 3. 20) ，得情况 1 的弹性区高度heh

17、1M（ 3.29）3M y 1PuPy则( 3. 28 )可以写成2 EI xhe32 EI exPu（ 3.30）l 2hl 2式中， I ex 是弹性区截面惯性矩， 说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至EI ex ，极限荷载与以弹性区为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当。塑性区出现第一种情况的条件是图3.7 d 中截面受拉侧的应力ty ，由式 ( 3. 18 )可以得出he1PuPyh（ 3.31）也可写作Pu PyM（ 3.32）1PuPy3M y2) 第 2 种情况：塑性区同时出现在受压、受拉区（图3.7 e）出现第 2 种情况的条件为PuPyM（3.33）3M y1PuPy根据图 3.7

18、g 所示的应力分布，可以分别列出轴线压力和力矩平衡方程PPy bhey2bcy（ 3.34）M Pbhe yh 2he3c2bcy h 2c 2（ 3.35）由应变图 3.7f知曲率2y2y2（3.36）heEhel 2联立式 ( 3. 34)( 3. 35 ) ( 3.36 )可得到 P 与之关系2l 422 h 1PMPy（ 3.37）4 E4PyPy3h由极值条件dv0 ，得dPPy2h 1P2M（3.38）3P 2PyPy将式 ( 3. 38 ) 代入式 ( 3. 37 ) ，整理后得592 EI xPu212M3（ 3.39）Pul 2Py3M y由式(3.36) (3.38) (3

19、.39 )得到heh 1 PuPy22M（3.40）3M y则式 ( 3. 39 ) 可以写作2EIxh32EIexPul 2el 2（3.41）h式 ( 3. 41 ) 与式 ( 3. 30 ) 的表达形式一致。关于压弯构件的平面内弹塑性稳定分析，除了简明的Jezek 方法外，还有较精确的数值积分法。2. 数值积分法上述 Jezek 方法由于先假定压弯构件的变形曲线，此曲线与实际的变形曲线有误差，因此不可能建立各个截面的力平衡方程，而只能建立弯矩最大截面处的内外力平衡方程。在分析中也没有考虑残余应力等初始缺陷的影响。 由于计算中简化较多， 解析解的精度有待提高， 可以用数值法确定压弯构件的极

20、限荷载。数值法有多种，数值积分法是常用的一种。数值积分法可分为二步计算：首先根据截面的内力平衡条件建立弯矩M ，压力 P 和曲率之间的关系； 然后根据构件的变形曲线建立挠度、转角和曲率之间的关系，由于曲率与外力矩相对应，故可通过同一截面的曲率建立压力与挠度的关系，通过分级加载得到压力P 与构件中点挠度m 的对应函数关系，利用极值条件即可得到压弯构件的极限荷载。以图 3.8（ a）为例，说明数值积分法的计算过程。已知截面尺寸构件长度荷载作用条件M Pe ，残余应力分布如图3.8（ b）所示，残余压应力拉应力峰值分别为rc 和 rt ，材料为理想弹塑性体。图 3.8压弯构件数值积分法示例1） 建立

21、截面的 MP关系图 3.9（ a）表示划分为很多单元的工形截面，单元的面积为Ai ，截面任一点的应变i 是轴向应变 0 弯曲应变zi和残余应变 ririE 三部分的代数和 （如图 3.9（ b）（c）所示），即i0ziri（ a）60图 3.9截面的应变当截面处于弹性状态时，应力iE i ，根据内力平衡条件PA i dAA E 0ziri dA E 0 A（ b）Mi zi dAE 0ziri zi dA Ezi2 dA EI x y（ c）AAA由式（ c）可知，当截面处于弹性状态时，压弯构件和受弯构件一样，弯矩M 与曲率成正比，而与轴线压力 P 无关。但在弹塑性状态，因各截面塑性发展程度不

22、同，MP相关。在弹塑性状态时，若以yy E 表示屈服应变，任一单元面积Ai 上的应力均取平均值，则有iE i当yiy 时iy当iy 时（d）iy当iy 时截面的轴向压力 P 和弯矩 M 分别为Pi AiAMi Ai zi(e)A联合（ a）（ d），通过对式（ e）数值积分即可得到构件在弹塑性状态的MP关系。具体算法见如下框图图 3.10电算框图612）求解压弯构件的极限荷载Pu以图3.11 所示两端铰接、几何条件和荷载作用均对称的压弯构件为例，具体求解过程见框图 3.12。图 3.11 两端铰接压弯构件图 3.11（a）中所示压弯构件在给定一个轴力P1 情况下，端部挠度 y0 =0，而转角

23、0 未知，不过可以先给定一个0 的初始值，使其满足构件中点的转角m =0 即可，若给定的0 不能使 m 足够小（如 m10 5），则调整0 重新迭代，直至m 足够小，满足计算精度要求。这样就可以得到与给定轴力P1 对应的构件中点的挠度 vm1 值，如图 3.11（ b）所示。同理，可以得到不同的轴力P 对应的构件中点的挠度m 值，最终可以画出图3.11（ b）所示的 P m 曲线，其极限点 B 对应的 P 即为极限荷载 Pu 。对不同的荷载作用， 数值积分的思路相同， 但具体计算细节有所不同。 通过理论求解和试验分析压弯构件在平面内的极限荷载，才可以推演出压弯构件的稳定设计公式。62图 3.1

24、2压弯构件极限荷载电算框图压弯构件弯矩作用平面内的稳定理论在设计中的应用压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个计算准则， 即边缘纤维屈服准则和极限承载力准则。1. 边缘纤维屈服准则边缘纤维屈服准则以弹性分析为基础，以弯矩最大截面边缘纤维屈服作为计算准则。这一准63则比较适用于冷弯薄壁型钢压弯构件， 因为这类构件的边缘纤维屈服荷载非常接近于构件的极限荷载；该准则也用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲的稳定计算。参照式（ 3.17），给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念，可以得到按边缘纤维屈服准则导出的相关公式Pmx M xf y（3.42）x AP1W1xxPEx式中x 为弯矩作用平面内轴心

25、受压构件的整体稳定系数；W1 x 为受压最大纤维的毛截面抵抗矩；mx为等效弯矩系数，参见表 3.1。将式（ 3.42）写成设计公式，即Pmx M xf（ 3.43）x AP1W xxPEx式中 f 为钢材屈服强度设计值。2. 极限承载力准则一般钢结构中的压弯构件当截面最大纤维刚开始屈服时尚有较大的强度储备，即可以容许截面塑性有一定发展，因此应该以弹塑性稳定理论为基础，以失稳时的极限荷载为计算准则。压弯构件的初偏心和初弯曲对构件的影响性质上相同，因此在制定规范时考虑构件存在l 1000 的初弯曲 （即初弯曲的矢高为构件长度l 的 1/1000），考虑实测的残余应力分布，用数值方法计算出近200

26、条压弯构件的极限承载力曲线。将用数值方法得到的压弯构件极限承载力Pu 与用边缘纤维屈服准则导出的相关公式（3.42）中的轴心压力P 比较后发现，对于短粗实腹杆，式（ 3.42）偏于安全；而对细长实腹杆，式（ 3.42）偏于不安全。因此，规范借用了弹性压弯构件边缘纤维屈服准则计算公式的形式， 同时考虑截面塑性发展和二阶弯矩， 最后提出了一近似相关公式，即规范所采用的实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式Pmx M x（3.44）fx AR PxW1 x 1 0.8PEx式中P 所计算构件段范围内的轴向压力； M x 所计算构件段范围内的最大弯矩；x 弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数；W

27、1x 弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩；PEx欧拉临界力；R 抗力分项系数，对Q235 钢，R1.087 ，对 Q345、Q390、Q420 钢，R1.111 ；mx 等效弯矩系数，参见表3.1。对于 T 型钢、双角钢T 形等单轴对称截面压弯构件，当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼缘受压时， 构件失稳时出现的塑性区除存在受压区屈服和受压、受拉区同时屈服两种情况外，还可能在受拉区首先屈服而导致构件失去承载能力，因此除了按式（3.44）计算外，还应按下式计算：64Pmx M xf（3.45）A1 1.25 RPx W2 xPEx式中W2x 受拉侧最外纤维的毛截面抵抗矩；x 与 W2x 相应的

28、截面塑性发展系数。其余符号同式（ 3.44），上式第二项分母中的 1.25 也是经过与理论计算结果比较后引进的修正系数。3.2压弯构件平面外失稳如图 3.1(c) 所示，当压弯构件没有设置侧向支撑时，在外荷载 P 尚未达到平面内弯曲失稳的临界荷载 Pu 之前，就可能导致压弯构件发生空间的弯扭失稳，也称平面外弯扭屈曲。当构件长细比较大时，有可能在弹性阶段失稳；在长细比较小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳。对于外力作用和端部支撑条件较简单的压弯构件，可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确解；如果外力作用或端部支撑条件较复杂， 可以用能量法求解。 在弹塑性阶段发生弯扭屈曲的压弯构件，采用数值法可以获得较

29、高的求解精度。压弯构件的弹性弯扭失稳1. 平衡法求解单轴对称截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载以两端简支单轴对称截面压弯构件（图 3.13）为例，说明平衡法求解弹性弯扭屈曲荷载的过程。图 3.13压弯构件弯扭变形及受力65分析中采用两个坐标系，即截面的固定坐标系oxyz 和移动坐标系o （图3.13），且采用如下假设： 构件为弹性体； 发生弯曲与扭转变形时，截面的形状不变； 弯曲与扭转变形微小； 构件是无缺陷的等截面直杆； 在弯矩作用平面内抗弯刚度很大，屈曲前平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响可以忽略。参考第二章2.4 节中单轴对称截面轴心受压构件弹性弯扭失稳建立平衡微分方程的过程，可以分别得到绕

30、轴和 轴的弯矩平衡方程。EI xPM x0（3.46）EI y uPuM x Py00（3.47）由图 3.13a 所示受力条件和坐标系，如以压应力为正值，则构件截面上任一点的正应力PM x y（3.48）AI xWagner 效应系数为K2dAPx22dAM xy x2y y 02dAr x2y2dArAy y0I xAAAAP I x I yAy0 2M xy x 2y 2 dA 2I x y0Ar x2y 2 dAi0 22 y M xRAI xA式中 :2I xI yA y02 ,Ay x2y 2dAy 0, Rr x 2y 2 dA 。 i 0 和y 都i0y2I xA是截面的几何性

31、质参数，y 为不对称截面常数，对于单轴对称工形截面，y 中前一项数值常比y0 小得多，对图3.13c 所示坐标系，剪心矩y 0 是正值，则y将是负值。外弯矩 M x 在纵轴 方向的分量为M x sinM xM x u切力 Pu 产生的扭矩从图3.13c 知为Pu y 0 cosPy 0 u则在 方向总的非均匀扭矩MPi 022y M xRM x uPy0 u（ 3.49）扭矩平衡方程为EI wPi 022y M xGI tRM xPy0u0（3.50）联立方程（3.46）、（ 3.47）和（ 3.50），得到适合任何边界条件的压弯构件微分方程组IV0（ 3.51）EI xPEI y uIVPuM xPy00（ 3.52）EI