数字电路第一章 数制与编码

1、1 1 进位计数制进位计数制2 2 数制转换数制转换3 3 带符号数的代码表示带符号数的代码表示4 4 常用的一般编码常用的一般编码学习要求学习要求 数码个数：数码个数：10个。个。计数规律计数规律:数数 制制：进位计数制：进位计数制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进逢十进 1,借一当借一当10数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素计数体制、计数方法。计数体制、计数方法。高位进位，本位归高位进位，本位归0。例例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2例例：123.45 读作 一百二十三点四五例例：123.45 读作 一百二十三点四五例例：123.

2、45=1102+2101+3100+410-1+510-2 位置计数法位置计数法 按权展开式按权展开式 按权展开通式按权展开通式 和式和式(N)10 = an-110n-1+an-210n-2 + a1101+a0100 +a-1 10-1+a-210-2+a-m10-miinmiaN10)(110 用来表示数的数码的集合称为基（用来表示数的数码的集合称为基（09）, 集合的大小集合的大小称为基数称为基数(十进制为十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基基数数，也叫，也叫模。模。在十进制中，在十进制中，10的整幂次方称为的整

3、幂次方称为10进制数的权。进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值单位值，位置不同表示的数值大小不同。位置不同表示的数值大小不同。123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2数的位置不同，数的位置不同，权值不同。权值不同。 例例：二、二、 其它进制其它进制 其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制推广，对任意进制 R，数，数N可以表示成按权展开式：可以表示成按权展开式：(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 + a1R1+a0R0 +a-1 R-1+a-

4、2R-2+a-mR-miinmiRa 1(N) R=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)R权值一般用十进制表示 R2 二进制二进制数码个数数码个数2个：个： 计数规律计数规律:例：例：0,1逢二进逢二进 1,借一当借一当 2(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-21(10)100+1(10)11 +0(10)10+1(10)1+1 (10)0 + 0(10)-1 +1(10)-10权值一般用十进制表示 只有两个数码, 很容易用物理器件来实现。 运算规则简单。 可使用逻辑代数这一数学工具。 节省设备(?)例：如需表示数字

5、例：如需表示数字0999，共有，共有1000个信息量。个信息量。十进制：用十进制：用3位，每位位，每位10个数字，共需个数字，共需30个数字设备。个数字设备。二进制：用二进制：用10位，每位位，每位2个数字，共需个数字，共需20个数字设备。个数字设备。 R8 八进制八进制数码个数数码个数8个：个： 计数规律计数规律:例：例：0,1,2,3,4,5,6,7逢八进逢八进 1,借一当借一当 8(176.5)8 = 182+781 +680 +58-11(10)2+7(10)1 +6 (10)0+5(10)-1 R16 十六进制进制数码个数数码个数16个：个： 计数规律计数规律:例：例： 其它进制其它

6、进制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (0 10 15)逢十六进逢十六进 1,借一当借一当 16(FA1.C)16 = F162+A161 +1160 +C16-1F(10)2+A(10)1 +1 (10)0+C(10)-1如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。书书P5 表表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。所列各进制对应值要求熟记。几种常用数制的表示方法几种常用数制的表示方法（P5）R10二进制八进制十六进制000011112102231133410044510155611066711177810001089

7、100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F16100002010说明：说明： 转换是任意的。转换是任意的。 方法：多项式替代法方法：多项式替代法基数乘除法基数乘除法混合法混合法直接转换法直接转换法1010 10 K ， K 一、多项式替代法一、多项式替代法 （R10）(11011.11)2 = ( )10=124+123 +022+121+120 +12-1 +12-216 8 0 2 1 0.5 0.25 =(27.75)10 (321.4)8 = ( )10=382+281+180 +48-1192 16 1

8、0.5 =(209.5)10 例例1：例例2：规则：规则：按权展开，相加求和按权展开，相加求和二、基数乘除法二、基数乘除法（ 10 R ）整数的转换基数除法规则：规则：除基取余，商零为止除基取余，商零为止例例 1：解：解：例例 2：解：解：(25) 10 = ( ) 2(25) 10 = (11001 ) 2(54) 10 = ( ) 16(54) 10 = ( 36 ) 16小数的转换基数乘法规则：规则：乘基取整。乘基取整。例例 3：例例 4：解：解：例例 5：解：解：(0.125) 10 = ( ) 2(0.125) 10 = (0.001 ) 2 ， (0.125) 10 = ( 0.0

9、2) 4(0.125) 10 = ( ) 4(29.93) 10 = ( ) 2(29.93) 10 = ( 11101.111011) 2乘不尽咋办？乘不尽咋办？满足精度要求为止满足精度要求为止三、混合法三、混合法 ( 10 )(N) (N)10 (N) 多项式替代法多项式替代法 基数乘除法基数乘除法例例: (2022)3( )8解解:(2022)3 =233 +032+231+230 = (62)10= (76)8四、直接转换法四、直接转换法(K ， K )一般在二、八、十六进制之间转换一般在二、八、十六进制之间转换 八进制与二进制之间的转换：八进制与二进制之间的转换：(100111001

10、01101001000.01)B=(010 011 100 101 101 001 000.010)B =()O01554=(2345510.2)O322从小数点开始从小数点开始3位一组位一组不足补不足补0不不足足补补0 十六进制与二进制之间的转换：十六进制与二进制之间的转换：(10011100101101001000.01)B=(1001 1100 1011 0100 1000.0100)B =()H84BC9=( 9CB48.4 ) H不足补不足补0从小数点开始从小数点开始4位一组位一组4反之:(345.7)O =( ) B(345.7)O =(011 100 101.111 ) B1位八

11、进制对应位八进制对应3位二进制位二进制(27B.7C)H =( ) B(27B.7C)H =(0010 0111 1011.0111 1100 ) B1位十六进制位十六进制对应对应4位二进制位二进制=(10 0111 1011.0111 11 ) B0可去掉可去掉一、符号数真值：在数值前加“”号表示正数； 在数值前加“”号表示负数。机器数：把符号数值化的表示方法称。用“0”表示正数，用“1”表示负数。例： 真值 机器数91001 0100191001 11001符号位符号位二、原码常用的机器数有：常用的机器数有：原码、反码、补码原码、反码、补码其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。其符号

12、位规则相同，数值部分的表示形式有差异。符号位数值位正0 不变负1例：X11101 X1原=01101X21101 X2原=11101直观易辨认；有2个0；符号不参与运算；数值范围10000000000原0X;-2 X22X;0 XXnnn原 特点： 组成：三、反码 组成： 特点：符号位数值位正0 不变负1 取反 例：X11101 X1反=01101X21101 X2反=1001011111000000反X11101 X1反=10010X1反反= 11101= X1原正数的反码同原码， 负数的反码数值按位取反；有2个0；反码的反码为原码；数值范围0X;-2 X) 12(2X;0 XXn1nn反

13、特点(续)两数和的反码等于两数反码之和；两数和的反码等于两数反码之和；符号位参与运算符号位参与运算,有进位时循环相加有进位时循环相加。例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ； Y2 X2 X1 解： X1反=01100 ， X1反=10011， X2反=01010 ， X2反=10101 Y1反 X1反 X2反= 00010 Y10010 0 1 0 1 0+ 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0+ 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1+ 1 0 0 0 1 0循环相循环相加加 Y2反 X2反 X1反= 11101 Y20010四、补码 组成：

14、 特点：符号位数值位正0 不变负1 取反1 例：X11101 X1补=01101X21101 X2补=1001100000111111000000补正数的补码同原码，正数的补码同原码， 负数的补码数值按位取反负数的补码数值按位取反1；只有只有1个个0；补码的补码为原码；补码的补码为原码；数值范围数值范围0;-2 22X;0 n1nXXXXn补X11101 X1补=10011X1补补= 11101= X1原 2n补= 2n 24补=10000 特点(续)两数和的补码等于两数补码之和；符号位参与运算,有进位时丢弃。例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ； Y2 X2 X1 解

15、： X1补=01100 ， X1补=10100， X2补=01010 ， X2补=10110 Y1补 X1补 X2补= 00010 Y10010 0 1 0 1 0+ 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0+ 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0进位丢进位丢弃弃 Y2补 X2补 X1补= 11110 Y20010计数容量计数容量。例：计算机的字长为L，模数为2L。 1 0 0 1 9+ 1 0 0 0 8 1 0 0 0 1 17丢弃 在模16的系统中，17(mod16) =1 (mod16)在某一模数系统中，模数为在某一模数系统中，模数为N，如果，如果a、b的余数相

16、同，的余数相同，则称则称a、b模模N同余。例：同余。例：17和和33在模在模16系统中同余系统中同余1。同余的两数，在同一模数系统中值相等，即为余数。同余的两数，在同一模数系统中值相等，即为余数。同余同余：模模：1.概念概念2.补码的应用：变减为加补码的应用：变减为加一般而言：一般而言：在模在模N的系统中，数的系统中，数L与与N - L是一对互补的数。是一对互补的数。L补数=N+L ; -(N1) L 0特例情况：如特例情况：如N=2n ，即在二进制中，负数，即在二进制中，负数L补码的数值为补码的数值为L补补 2nL，求取形式上可归纳为：取反加，求取形式上可归纳为：取反加1。12396 例：钟

17、表为模12的系统。顺时针：+；逆时针：-由12点拨到3点：1）12+3=15，15(mod12) =32) 12-9=3 ，3(mod12) =3 则：12-9(mod12)=12+3(mod12)=3即减9等于加3，在 mod12系统中3是9的补码(仅考虑数值位)，所以利用补码特点可把减法变成加法运算。当当L为负数时，为负数时，一、二一、二十进制编码十进制编码 二、可靠性编码二、可靠性编码 现实生活中，对事物进行编码的示例很多，如：现实生活中，对事物进行编码的示例很多，如：学号、身份证号、电话号码、房间号、汽车牌号等学号、身份证号、电话号码、房间号、汽车牌号等等。主要以十进制数为主，也有字母

18、和文字。等。主要以十进制数为主，也有字母和文字。 在数字系统里，往往也需要对被控对象进行编在数字系统里，往往也需要对被控对象进行编码，或者对传递的信息进行编码。数字系统中的编码，或者对传递的信息进行编码。数字系统中的编码以二进制数形式出现，常用的编码有：码以二进制数形式出现，常用的编码有：一、二一、二十进制编码十进制编码 BCD码码-Binary-Coded-Decimal 用用四位四位二进制数表示二进制数表示一位一位十进制数码（十进制数码（09），），称为称为BCD码码 。 四位二进制有四位二进制有16种不同的组合，任意取其中的种不同的组合，任意取其中的10中组合来代表数码中组合来代表数码0

19、9，即形成一种，即形成一种BCD码，不同码，不同的组合便形成了各种各样的的组合便形成了各种各样的BCD编码。编码。 BCD码主要有：码主要有： 8421码、码、 5421码、码、2421码、余码、余3码等。码等。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码 前前10个个码码 前前后后各各5个个码码 中中间间

20、10个个码码简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8, 4, 2, 1，如 8421码: (0111) 8421BCD =08+14+12+11=700000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000123678549二进制数二进制数 8421码码与自然二进制数排列一至，与自然二进制数排列一至， 10101111为冗余码；为冗余码； 8421码与十进制的转换关系为直接转换关系码与

21、十进制的转换关系为直接转换关系 例例:（0001 0011.0110 0100)8421BCD=(13.64)10有权码，从左到右为有权码，从左到右为 8 4 2 1；8421码的特点码的特点：简称简称2421码。典型码。典型2421码按码按4位二进制位二进制数的自然顺序，取前后各数的自然顺序，取前后各5个数依次表示十个数依次表示十进制的进制的09，其余，其余6个数不允许出现，若出个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是现则认为是非法的或错误的。这只是2421码码的的一种一种编码方案。编码方案。2421码是一种有权码，每位有固定的权，码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为从

22、高到低依次为2, 4, 2, 1，如，如 :0000000100100011011001111000100110101011110111101111010111000100二进制数二进制数 2421码码01235789642421码码 (0100)2421 =0 2+1 4+0 2+0 1=42421码码 (1110 )2421 =1 2+1 4+1 2+0 1=82421码的编码方案：码的编码方案： 代码代码方案方案1方案方案200000000010001000120010100030011100140100101051011010161100011071101011181110111091

23、1111111对九自补特点特点：1)是一种无权码。2)有六个冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）3）对9的自补码。例：(4)余3码=0111; (5)余3码 =1000 (0111)9补=1000 即0111按位取反。00000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000345678291数码数码余三码余三码 中间10个码由8421码加3形成。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789

24、101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码 前前10个个码码 前前后后各各5个个码码 中中间间10个个码码(自 学) 能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码 称为可靠性编码。称为可靠性编码。纠错的三个层次纠错的三个层次编码本身不易出错编码本身不易出错格雷码格雷码出错能检查出来出错能检查出来奇偶校验码奇偶校验码检查并能纠错检查并能纠错汉明码汉明码纠错是以增加硬件为代价的纠错是以增加硬件为代价的n各进位计数制间的相互转换。n原码、反码、补码的相关概念。n8421BCD码、 5421BCD码、 2421BCD码、余3码。P231-1(1)， 1 - 2(1)，1 -3(1)，1