2013年全国高中数学联赛试题及详细解析(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合，集合.则集合中所有元素的和为 .答案-5解易知，当时，有；而当时，有.因此，根据的定义可知.所以，集合中所有元素的和为-

2、5.2. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点.则 .答案2.解点坐标为.设，则，故，即，故.3. 在中，已知，,则的值为 .答案11.解由于，所以，故.4. 已知正三棱锥底面边长为1，高为，则其内切球半径为 .答案解如图，设球心在面与面内的射影分别为和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，且,，,于是有，解得.5. 设为实数，函数满足：对任意，有.则的最大值为 .答案.解易知，则.当，即时，.故的最大值为.6. 从1,2，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .答案解设取自1,2，20，若互不相邻，则，由此知从1,2，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,

3、2，16中取5个不同的数的选法相同，即种.所以，从1,2，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.7. 若实数满足，则的取值范围是 .答案.解令，此时，且条件中等式化为，从而满足方程.如图所示，在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在的部分，即点与弧的并集.因此，从而.8. 已知数列共有9项，其中，且对每个，均有，则这样的数列的个数为 .答案491解令，则对每个符合条件的数列有，且.反之，由符合条件的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.记符合条件的数列的个数为.显然中有偶数个，即个；继而有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0,1,2，所以.因此，根据

4、对应原理，符合条件的数列的个数为491二、 解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列满足，这里.证明：存在常数,使得，.解当时，等价于.4分对常数，用数学归纳法证明：，.8分时结论显然成立.又.对，假设，则由式知 ，所以，由数学归纳法知，式成立. 16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足，,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明.解令，则，.设，其中，.由，可知，5分将、相减，得，即，将其代入，得，故，于是.10分根据,，同理可得.15分因此，由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点为）.20分11. （本题满分20分）求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有.解已知条件可转化为：对任意实数，有.先寻找所满足的必要条件.在式中令，得，即对任意实数，有.由于，故可取到任意大的正值，因此必有，即.5分在式中再令，得，即对任意实数，有.将的左边记为，显然（否则，由可知，此时，其中，故可取到负值，矛盾），于是对一切实数成立，从而必有，即.10分进一步，考虑到此时，再根据，可得.至此，求得满足的必要条件如下：，.15分下面