幻灯片 云南师范大学

1、高等几何（第二版高等几何（第二版 朱德祥朱德祥 朱维宗编）朱维宗编）云南师范大学数学学院云南师范大学数学学院 云南师范大学云南师范大学云云 南南 师师 范范 大大 学学2提提 纲纲 本章教材分析本章教材分析一、中心射影一、中心射影二、无穷远元素二、无穷远元素三、拓广平面三、拓广平面四、射影直线、射影平面的基本四、射影直线、射影平面的基本 性质及模型性质及模型五、射影观点与仿射观点五、射影观点与仿射观点云云 南南 师师 范范 大大 学学3本章地位本章地位从中心投影引进平面内的理想元从中心投影引进平面内的理想元素，由此拓广欧氏平面，作为建素，由此拓广欧氏平面，作为建立射影几何的基础。立射影几何的基

2、础。本章内容本章内容定义中心投影，引入齐次坐标，定义中心投影，引入齐次坐标，学习对偶原理以及复元素。学习对偶原理以及复元素。学习注意学习注意排除传统习惯干扰，尽量排除传统习惯干扰，尽量掌握基本概念。掌握基本概念。本章教材分析本章教材分析云云 南南 师师 范范 大大 学学4没影点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个没影点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射双射一、中心射影一、中心射影1.平面上两直线间的中心射影平面上两直线间的中心射影定义定义 :ll 因此因此 ，1: l l亦亦是是 l 到到 l 的中心射影的中心射影OA、OB ：投射线：投射线OQ与与l不相交，不相交， Q为为l上的上

3、的没影点没影点R=ll 自对应点自对应点(不变点不变点)OP与与l不相交，不相交， P为为l上的上的没影点没影点三个特殊的点：三个特殊的点：()OOll 投射中心QRAB图图2.1A 、 B l 上的点上的点A、B在在l上的像上的像A、 B l 上的点上的点A 、 B在在l上的原像上的原像云云 南南 师师 范范 大大 学学5一、中心射影一、中心射影2.平面到平面的中心射影平面到平面的中心射影定义定义:OP 投射线投射线P 上的点上的点P 在在上的像上的像P 上的点上的点P在在上的像上的像因此因此 ，:1是是到到的中心射影的中心射影 自对应直线自对应直线(不变直线不变直线)三条特殊的直线：三条特

4、殊的直线：x ， u为由为由没影点没影点构成的构成的没影线没影线/,OUuUu ， v为由为由没影点没影点构成的构成的没影线没影线/, , OVvVv没影线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个没影线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射双射。()OO投射中心图图2.42.4云云 南南 师师 范范 大大 学学6一、中心射影一、中心射影思考：思考：平面上两直线间的中心射影平面上两直线间的中心射影定义定义:ll 平面到平面的中心射影平面到平面的中心射影定义定义:均不是满单射均不是满单射中心射影不是双射的原因：存在没影点、没影线中心射影不是双射的原因：存在没影点、没影线 存在没影点、没影线的原因

5、：平行的直线没有交点存在没影点、没影线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一个满单射？如何使得中心射影成为一个满单射？给平行线添加交点！给平行线添加交点！云云 南南 师师 范范 大大 学学7二、无穷远元素二、无穷远元素目标：目标：改造空间，使得中心射影成为满单射改造空间，使得中心射影成为满单射途径：途径：给平行直线添加交点给平行直线添加交点要求：要求：不破坏下列两个基本关系不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点两条相异直线确定惟一一个点(交点交点)两个相异点确定惟一一条直线两个相异点确定惟一一条直线(连线连线)点与直线的结合关系点与直线的结合关系云云 南南 师师 范范 大大

6、 学学8二、无穷远元素二、无穷远元素 约定约定1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点线上原有的点. 称为称为无穷远点无穷远点(理想点理想点)，记作，记作P (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上不平行的直线上添加的无穷远点不同添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为区别起见，称平面上原有的点为 通常点，记作通常点，记作P 约定约定2 (3) 按约定按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为穷远点构成

7、一条直线，称为无穷远直线无穷远直线(理想直线理想直线)，记作，记作l区别起见，称平面上原有的直线为通常直线，区别起见，称平面上原有的直线为通常直线，记作记作l 总结总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的结合关系，同时使得中心射影成为双射的结合关系，同时使得中心射影成为双射.云云 南南 师师 范范 大大 学学9理解约定理解约定11.对应平面上每一方向，有惟一无穷远点对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2.每一条直线上有且

8、仅有一个无穷远点每一条直线上有且仅有一个无穷远点.3.平面上添加的无穷远点个数过一个普通点的直线数平面上添加的无穷远点个数过一个普通点的直线数.4.不平行的直线上的无穷远点不同不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于普通直线：因而，对于普通直线：两直线两直线平平 行行不平行不平行交于惟一交于惟一无穷远点无穷远点普通点普通点平面上任二直线总相交平面上任二直线总相交5.任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.云云 南南 师师 范范 大大 学学10理解约定理解约定21.无穷远直线为无穷远点的轨迹无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远无穷远直线上的

9、点均为无穷远点；点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. .2.每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点且为该直线每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点且为该直线上的无穷远点上的无穷远点.3.每一平面上有且仅有一条无穷远直线每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4.每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：因而，对于通常平面：两平面两平面平平 行行不平行不平行交于惟一交于惟一无穷远直线无穷远直线普通直线普通直线空间中任二平面必

10、相交于唯一直线空间中任二平面必相交于唯一直线云云 南南 师师 范范 大大 学学11三、拓广平面三、拓广平面 添加了理想元素的欧氏平面称作添加了理想元素的欧氏平面称作拓广平面拓广平面. 约定约定：普通点和无穷远点统称为普通点和无穷远点统称为点点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为射影（仿射影（仿射）直线射）直线； 添加无穷远直线后的平面称为添加无穷远直线后的平面称为射影（仿射）平面射影（仿射）平面. 注意注意：在射影平面上：在射影平面上, 点与直线的点与直线的结合关系结合关系成立成立. (1) 两个相异的点确定惟一一条射影直线；两个相异的点确定惟一一条

11、射影直线； (2) 两条相异的射影直线确定惟一一个点两条相异的射影直线确定惟一一个点.引入无穷远点以后，平行射影成了中心射影的一个特例。引入无穷远点以后，平行射影成了中心射影的一个特例。云云 南南 师师 范范 大大 学学12(1) 射影直线的封闭性射影直线的封闭性射影直线：射影直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、射影直线、射影平面的基本性质及模型四、射影直线、射影平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展欧氏直线：向两个方向无限伸展1. 射影（仿射）直线射影（仿射）直线云云 南南 师师 范范 大大 学学13(2) 射影直线的拓扑模型射影直线的拓扑

12、模型(i)欧氏平面上的圆欧氏平面上的圆以以O O为束心的为束心的线束与直线线束与直线l l上的点构成一一上的点构成一一对应，由于线束无边缘直线，对应，由于线束无边缘直线，所以，要把射影直线看作闭所以，要把射影直线看作闭合的。合的。() 射影平面上的射影直线其拓扑模型为一个圆。射影平面上的射影直线其拓扑模型为一个圆。 云云 南南 师师 范范 大大 学学14(3) 射影直线上点的顺序关系射影直线上点的顺序关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。欧氏直线：两

13、点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。点偶点偶A,B分隔分隔点偶点偶C,D点偶点偶A,B不分隔不分隔点偶点偶C,D云云 南南 师师 范范 大大 学学15(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线任一直线不能不能划分射影平面为两个不同的区域划分射影平面为两个不同的区域(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为两条相交直线划分欧氏平面为四个四个不同的区域不同的区域两条相交直线划分射影平面为两条相交直线划分射影平面为两个两个不同的区域不同的区域在射影平面上，可在射影平面上，可以证明：以证明：I，

14、II为同一区域为同一区域III，IV为同一区域为同一区域2.射影平面射影平面 (1) 射影平面的封闭性射影平面的封闭性(从两个方面理解从两个方面理解)四、射影直线、射影平面的基本性质及模型四、射影直线、射影平面的基本性质及模型云云 南南 师师 范范 大大 学学16(2) 射影平面的拓扑模型射影平面的拓扑模型(i) 叠合对径点的球面叠合对径点的球面(ii) 欧氏空间过原点的欧氏空间过原点的直线的集合直线的集合 (iii) 叠合赤道上对径叠合赤道上对径点的半球面点的半球面(iv) 叠合周界上对径叠合周界上对径 点的圆盘点的圆盘(1) 射影平面的封闭性射影平面的封闭性(从两个方面理解从两个方面理解)2.射影平面射影平面 四、射影直线、射影平面的基本性质及模型四、射影直线、射影平面的基本性质及模型云云 南南 师师 范范 大大 学学17Mbius带云云 南南 师师 范范 大大 学学18五、射影观点与仿射观点五、射影观点与仿射观点 如果把理想元素与普通元素看作没有任何区如果把理想元素与普通元素看作没有任何区别，这种观点称为射影观点，相应的平面是别，这种观点称为射影观点，相应的平面是射影平面，射影平面上没有无穷远元素，平射影平面，射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在。行线不存在。 如果将新补充