圆中的有关计算

1、圆中的有关计算圆中的有关计算主讲人：扬州市梅岭中学主讲人：扬州市梅岭中学 余云中余云中一、知识回顾一、知识回顾三、例题精选三、例题精选二、命题思路导航二、命题思路导航一、知识回顾一、知识回顾1、弧长的计算公式为：、弧长的计算公式为：1802360rnrnl2、扇形的面积公式为：、扇形的面积公式为：3602rnSlrS21或或3、圆锥的侧面积、全面积公式为：、圆锥的侧面积、全面积公式为：圆锥的侧面积为圆锥的侧面积为ra，圆锥的全面积，圆锥的全面积为为rar2（其中母线长为（其中母线长为a，底面的半径为，底面的半径为r）注意：在认识圆锥的侧面积展开图时，注意：在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥

2、的底面周长就是其侧面展应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。确。二、命题思路导航二、命题思路导航 解圆的有关计算题时，常常需要添加辅助解圆的有关计算题时，常常需要添加辅助线来沟通已知条件和所求的结论的联系同线来沟通已知条件和所求的结论的联系同时，方程的思想方法是解决圆中有关计算最时，方程的思想方法是解决圆中有关计算最有效的方法计算是在推理论证的基础上进有效的方法计算是在推理论证的基础上进行的，要按照题目的要

3、求，对题目的条件、行的，要按照题目的要求，对题目的条件、结论、等内容进行探索研究，对图形观察是结论、等内容进行探索研究，对图形观察是探究过程中每一步的根基只有对基础知识探究过程中每一步的根基只有对基础知识和基本技能掌握得熟练，才能解决综合性较和基本技能掌握得熟练，才能解决综合性较强的计算问题强的计算问题三、例题精选三、例题精选例例1（05贵州毕节地区实验区）当你将一把扇贵州毕节地区实验区）当你将一把扇形扇子逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形扇子逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，那么下列函形面积随圆心角的变化而变化，那么下列函数中能正确描述这种变化的是数中能正确描述这种

4、变化的是( )A、正比例函数、正比例函数 B、反比例函数、反比例函数 C、一次函数、一次函数(b0) D、二次函数、二次函数 A例例2（湖北鄂州市）已知点（湖北鄂州市）已知点P到到 O的最近距的最近距离为离为3cm，最远距离为，最远距离为9cm，求，求 O的半的半径径（1）（2）分析：在已知条件中不知点分析：在已知条件中不知点P与与 O的位的位置关系，因此需要分类讨论由已知可知置关系，因此需要分类讨论由已知可知点点P不可能在不可能在 O上，所以点上，所以点P的位置可能的位置可能在在 O内，也可能在内，也可能在 O外外解：当解：当P在在 O外时，外时， 如图（如图（1），），PA3cm，PB9c

5、m， 则则ABPBPA936（cm） O的半径为的半径为3cm当当P点在点在 O内，内， 如图（如图（2），），PA3cm，PB9cm，ABPAPB9+3=12（cm） O的的半径为的的半径为6cm剖析：本题在解答时，容易忽视点剖析：本题在解答时，容易忽视点P在圆外的情形，因此凡涉及点与圆的在圆外的情形，因此凡涉及点与圆的位置关系的问题，如果题设中没有指位置关系的问题，如果题设中没有指明它们之间的关系时，应考虑点在圆明它们之间的关系时，应考虑点在圆内、圆上和圆外三种可能，即图形位内、圆上和圆外三种可能，即图形位置不确定时别忘了分类讨论置不确定时别忘了分类讨论 例例3（05佛山实验）如图，从帐篷

6、竖直的支撑佛山实验）如图，从帐篷竖直的支撑竿竿AB的顶部的顶部A向地面拉一根绳子向地面拉一根绳子AC固定帐固定帐篷若地面固定点篷若地面固定点C到帐篷支撑竿底部到帐篷支撑竿底部B的距的距离是离是4.5米，米，ACB=350，求帐篷支撑竿，求帐篷支撑竿AB的高（精确到的高（精确到0.1米备选数据：米备选数据：sin3500.57，cos3500.82，tan3500.70） C 第 19 题图 A B 解：根据题意，解：根据题意，ABC是直角三角形，是直角三角形， 且且BC=4.5米，米，ACB=350 tan350= ， AB=BCtan350 4.50.703.2（米）（米） 答：帐篷支撑竿的

7、高约为答：帐篷支撑竿的高约为3.2米。米。BCAB例例4（05山东潍坊实验区）如图，正方山东潍坊实验区）如图，正方形的边长为形的边长为1，点，点E为为AB的中点，以的中点，以E为为圆心，圆心，1为半径作圆，分别交为半径作圆，分别交AD、BC于于M、N两点，与两点，与DC切于切于P点则图中点则图中阴影部分的面积是阴影部分的面积是_3164例例5（05连云港）如图所示，秋千链子的长度连云港）如图所示，秋千链子的长度为为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计），静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为

8、角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为530，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：参考数据：sin5300.8,cos5300.6)解：设秋千链子的上端固定于解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于到最高位置时踏板位于B处过点处过点A，B的铅垂线分的铅垂线分别为别为AD，BE，点，点D，E在地面上，过在地面上，过B作作BCAD于于点点C在在Rt 中，中， ， ， AC= =1.8（m） （m） 1.7（m） 答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m ABC3AB

9、53CAB53cos36 . 03CDBE CD7 . 18 . 15 . 03例例6（05江苏南通）如图，一条公路的转弯处是江苏南通）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧一段圆弧CD，点，点O是弧是弧CD的圆心，的圆心，E为弧为弧CD上上一点，一点，OECD，垂足为，垂足为F已知已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径？，求这段弯路的半径？解：连结解：连结OC设这段弯路的半径为设这段弯路的半径为R米，米，则则OFOEEFR100 OECD，CF CD 600300根据勾股定理，得根据勾股定理，得 OC2CF2OF2， 即即 R23002（R100）2 解之，得解之，得 R50

10、0 答答:这段弯路的半径为这段弯路的半径为500米米 1212例例7（05福建泉州实验区）如图，在一个横截面为福建泉州实验区）如图，在一个横截面为RtABC的物体中，的物体中，CAB=30，BC=1米。工人师傅把此物体米。工人师傅把此物体搬到墙边，先将搬到墙边，先将AB边放在地面（直线边放在地面（直线L）上，再按顺时）上，再按顺时针方向绕点针方向绕点B翻转到翻转到A1B1C1的位置（的位置（BC1在在L上），最上），最后沿后沿BC1的方向平移到的方向平移到A2B2C2的位置，其平移的距离为的位置，其平移的距离为线段线段AC的长度（此时的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）。恰好靠在墙边）。 (1)

11、请直接写出请直接写出AB、AC的长；的长； (2)画出在搬动此物的整个过程画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，点所经过的路径， 并求出该路径的长度（精确到并求出该路径的长度（精确到0.1米）。米）。（1）AB=2米，米， ；（2）画出）画出A点经过的路径：点经过的路径：米3AC（米），312060180210001ACAAABA（米）点所经过的路径的长9 . 531802120A例例8（05湖北宜昌实验区）如图，湖北宜昌实验区）如图，AB是是 O的直的直径径,BD是是 O的弦，延长的弦，延长BD到点到点C,使使DC=BD,连接连接AC交交 O与点与点F.（1）AB与与AC的大小有什么关系

12、的大小有什么关系?为什么为什么?（2）按角的大小分类）按角的大小分类, 请你判断请你判断ABC属于哪一类属于哪一类三角形，并说明理由三角形，并说明理由.解：解：（1）（方法）（方法1）连接）连接DO.OD是是ABC的中位线，的中位线， DOCA.ODBC，ODBO OBDODB，OBDACB， ABAC（方法（方法2）连接）连接AD， AB是是 O的直径，的直径，AOBC， BDCD，ABAC.（方法（方法3）连接）连接DO.OD是是ABC的中位线，的中位线，OD=AC OB=OD=AB AB=AC （2） 连接连接AD，AB是是 O的直径，的直径，ADB90BACB90.CACB90.B、C

13、为锐角为锐角. AC和和 O交于点交于点F，连接，连接BF， ABFC90.ABC为锐角三角形为锐角三角形例例9（05辽宁大连实验区）如图辽宁大连实验区）如图91、92、93、9n，M、N分别是分别是 O的内接正三角的内接正三角形形ABC、正方形、正方形ABCD、正五边形、正五边形ABCDE、正正n边形边形ABCDE的边的边AB、BC上的点，且上的点，且BM=CN，连结，连结OM、ON。（1）求图）求图91中中MON的度数；（的度数；（2）图）图92中中MON的度数是的度数是_，图，图93中中MON的度数是的度数是_；（；（3）试探究）试探究MON的度数与正的度数与正n边形边数边形边数n的关系

14、（直接写出答案）。的关系（直接写出答案）。解：（解：（1）法一：连结）法一：连结OB、OC。正正ABC内接于内接于 O，OBM=OCN30，BOC=120。又又BM=CN，OB=OC，OBM OCN。 BOMOCN。MON=BOC=120。（3） 360MONn法二：连结法二：连结OA、OB。正正ABC内接于内接于 O，AB=AC，OAM=OBN=30, AOB=120。又又BMCN，AM=BN，又，又OA=OB AOM BON。AOM=BON。 AON=AOB=120（2）90，72;例例10（05湖北黄冈实验区）如图，已知湖北黄冈实验区）如图，已知 O的弦的弦AB垂直垂直于直径于直径CD，垂足为，垂足为F，点，点E在在AB上，且上，且EA = EC。 求证：求证：AC 2 = AEAB； 延长延长EC到点到点P，连结，连结PB，若，若PB = PE，试判断，试判断PB与与 O的位置关