切线的判定与性质

1、直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离图图 形形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称圆心到直线距圆心到直线距离离d d与半径与半径r r的的关系关系2 2个个交点交点割线割线1 1个个切点切点切线切线d r没有没有lrdOlrdBAOlrdAO 图中直线图中直线l满足什么条件时满足什么条件时是是OO的切的切线？线？Ol方法方法1 1：直线与圆有直线与圆有唯一公共点唯一公共点方法方法2 2：直线到圆心的距离直线到圆心的距离等于半径等于半径 注意：注意：实际证明过程中，通常不采用第一实际证明过程中，通常不采用第一种方法种方法; ;方法方法2 2从从“

2、量化量化”的角度说明的角度说明圆的切线圆的切线的判定方法的判定方法。（1 1） 圆心圆心O到直线到直线l的距离和的距离和圆的半径有什么数量关系圆的半径有什么数量关系? ?（2 2） 二者位置有什么关系？二者位置有什么关系？为什么？为什么？（3 3） 由此你发现了什么？由此你发现了什么？ O 请在请在O上任意取一点上任意取一点A A，连接，连接OAOA，过点过点A A作直线作直线lOAOA。思考：。思考：lA(1)(1)直线直线l经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；(2)(2)直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A 则则: :直线直线l l与与O相切相切 这样我们就得到了从这样我们就

3、得到了从“位置位置”的角度的角度圆圆的切线的判定方法的切线的判定方法切线的判定定理切线的判定定理AOl切线的判定定理：切线的判定定理： 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半这条半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。 对定理的理解：对定理的理解： 切线切线必须同时满足必须同时满足两条：两条：经过半径经过半径外端；外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 AOlOrl A OA OA是半径，是半径， l OAOA于于A A l是是OO的切线的切线定理的数学语言表达：定理的数学语言表达：1 1、判断：、判断：(1)(1)过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）(2

4、)(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）(3)(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（切线（ ）切线的判定方法有三种：切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即切线的判定定理即 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？判定直线与圆相切有哪些方法？ 例例1 1 如图，已知：直线如图，已知：直线ABAB经过经过OO上的点上的点C C，并且并且O

5、A=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。 求证：直线求证：直线ABAB是是OO的切线。的切线。OBAC 分析：分析：由于由于ABAB过过OO上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明只要证明ABOCABOC即可。即可。 例例2 2 如图，已知：如图，已知：O O为为BACBAC平分线上一平分线上一点，点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作OO。 求证：求证：OO与与ACAC相切。相切。OABCEDOBACOABCED例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,

6、 ,则连结这点和圆则连结这点和圆心心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直再证所作半径与这直线垂直. .简记为：简记为：有交点，连半径有交点，连半径, ,证垂直证垂直. .(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, ,则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段, ,再证垂线段长等于半再证垂线段长等于半径长径长. .简记为：简记为：无交点无交点, ,作垂直作垂直, ,证半径证半径. .2 2、如图如图, ,ABCABC中中,AB=AC,AOBC,AB=AC,AOBC于于O，OEACOEAC于于E,E,以以O为圆心为圆心,OE

7、,OE为半径作为半径作O. .求证：求证：ABAB是是O的切线的切线. .FECOBA3 3、如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径, ,点点D D在在ABAB的延长线的延长线上上,BD=OB,BD=OB,点点C C在在OO上上, CAB=30, CAB=30. .求证求证:DC:DC是是OO的切线的切线. .ABCDO 如图，如果直线如图，如果直线l是是OO的切线，切点为的切线，切点为A A，那么半径那么半径OAOA与直线与直线l是不是一定垂直呢？是不是一定垂直呢？OAl l是是OO的切线，切点为的切线，切点为A A l OAOA 切线的性质定理：切线的性质定理：圆的圆的切线垂直于过切点的

8、半径。切线垂直于过切点的半径。OAl过半径外端过半径外端; ;垂直于这条半径垂直于这条半径. .切线切线圆的切线圆的切线; ;过切点的半径过切点的半径. .切线垂直于半径切线垂直于半径切线判定定理：切线判定定理：切线性质定理：切线性质定理：OAl1 1、如图、如图, , O O切切PBPB于点于点B,PB=4,PA=2,B,PB=4,PA=2,则则O O的半径多少？的半径多少？AOBP 注：注：已知切线、切已知切线、切点，则连接半径，应用点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂切线的性质定理得到垂直关系直关系，从而应用勾股，从而应用勾股定理计算。定理计算。2 2、如图，、如图，ABAB、ACA

9、C分别切分别切O O于于B B、C C，若，若A=60A=600 0，点，点P P是圆上异于是圆上异于B B、C C的一动点，则的一动点，则BPCBPC的度数是（的度数是（ ）A A、60600 0B B、1201200 0C C、60600 0或或1201200 0D D、1401400 0或或60600 0BPCAO1 1、知识：、知识：切线的判定定理切线的判定定理着重分析了定理成立着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不两个条件缺一不可可2 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) (1) 根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线直线是圆的切线. . (2) (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线距离等于圆的半径的直线是圆的切线