项目线性方程组解结构

1、项目线性方程组解结构任务任务22-1(6.5.1) 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构1. 齐次线性方程组（齐次线性方程组（2）有解的条件）有解的条件 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解110m nnmAx r An齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110m nnmAx r An 齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110n nnnAx r An 即即0,A 即系数矩阵即系数矩阵A可逆。可逆。2.下面我们讨论齐次线性方程组解的性质下面我们讨论齐次线性方程组解的性质（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）解向量：每一组解都构成一个向量解向量：每一组

2、解都构成一个向量性质性质1：若：若 是（是（2）的解，）的解，12, 则则 仍然是（仍然是（2）的解。）的解。21则则 仍然是（仍然是（2）的解。）的解。性质性质2：若：若 是（是（2）的解，）的解，c证明证明 因为因为 是（是（2）的解，所以）的解，所以 ,则则12, oAoA21,oAAA2121)(这说明这说明 也是（也是（2）的解。）的解。21同理可证性质同理可证性质2.3. 基础解系基础解系设设12,n r 是是0AX 的一组解向量，满足的一组解向量，满足121 ,n r （ ）线性无关；线性无关；2 0AX （ ）的任一解都可以由的任一解都可以由12 ,n r 线性表示。线性表示。

3、则称则称12,n r 是是0AX 的一个基础解系。的一个基础解系。设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果( ),r Arn则齐次线性方程组则齐次线性方程组0AX 的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有nr 个解向量。个解向量。定义定义6.10定理定理6.5求齐次线性方程组的解的一般步骤求齐次线性方程组的解的一般步骤:基础解系不是唯一的。基础解系不是唯一的。(2) 写出对应的同解方程组写出对应的同解方程组,当当 时，有惟一零解时，有惟一零解.( )r An 当当( )r Arn 时，求得基础解系是时，求得基础解系是12,n r (3)则则1122 n rn rxk

4、kk 是是0AX 的解，的解，称为通解。称为通解。(1)用初等行变换将系数矩阵用初等行变换将系数矩阵A化为行简化阶梯型矩阵化为行简化阶梯型矩阵.案例案例 求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。12341234123240(1) 24803620 xxxxxxxxxxx 解：解：124124813620A 1120512413001030011000000000 初等行变换初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为法法1：先求通解，再求基础解系：先求通解，再求基础解系1243412053010 xxxxx 即即12434125310 xxxxx 24,xx是自由是自

5、由未知量。未知量。令令2142,xcxc 则则112213242125 3 10 xccxcxcxc 即即12123412510031001xxccxx 12,c c为任意常数。为任意常数。法法2：先求基础解系，再求通解。：先求基础解系，再求通解。12434125310 xxxxx 由由令令2410 xx 得得12100 令令2401xx 得得21503101 则通解为则通解为1122xkk 12(,k k为任意常数）为任意常数）12312312312323036100(2)2570240 xxxxxxxxxxxx 解：解：1233610257124A 123011001000 初等行变换初等

6、行变换 3,r An所以只有零解。所以只有零解。 000100010021 000100010001任务任务22-2 （6.5.2） 非齐次性线性方程组解的结构非齐次性线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解的条件 并且，当并且，当时，有唯一解；时，有唯一解；nArAr)()(11 (1)m nnmAxb 非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解有解)()(ArAr当当时，有无穷多解。时，有无穷多解。nArAr)()(解的性质解的性质12, 是是 的解，则的解，则12 是是0Ax 11m nnmAxb 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的解。的解。性质性质3性质性质4

7、是是 的解，的解，是它导出组是它导出组0Ax 11m nnmAxb 的解，的解，则则 是是 的解。的解。11m nnmAxb 解的结构解的结构若若11 (1)m nnmAxb 有解，则其通解为有解，则其通解为*x 其中其中* 是（是（1）的一个特解，）的一个特解， 是（是（1）对应的齐次线性方程组）对应的齐次线性方程组 的通解。的通解。0Ax 定理定理6.7任一解都可以写成任一解都可以写成的形式。的形式。2211*nnkkk案例案例 求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc 则则112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c为任意常数）为任意常数）法法1：法法2： 令令, 043 xx得得 0074713 又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组