向量数乘课时讲义

1、。则则的的重重心心是是已已知知 OCOBOAABCO,CBAO.ED。则则的的重重心心是是变变：已已知知 FOEODOABCO,CBAO.DFE。则则的的重重心心是是变变：已已知知 FCEBDAABCO,CBAO.DFE课前五分钟：已知向量已知向量e1，e2是不共线向量，给出下列各是不共线向量，给出下列各组向量：组向量：a=2e1，b=e1+e2； a=2e1-e2 ， b=-e1+1/2e2; a=e1+e2 ， b=-2e1-2e2; a=e1+e2 ， b=e1-e2.其中共线的向量组其中共线的向量组_学生活动学生活动课外作业课外作业回顾小结回顾小结数学运用数学运用建构数学建构数学问题情

2、境问题情境指出向量指出向量aa与与方向的关系方向的关系(0)a ,使使ba如果有一个实数如果有一个实数是共线向量是共线向量那么那么与与ba回顾向量数乘的定义回顾向量数乘的定义,结论：结论：问题情境问题情境问题1为何限制为何限制0a ？）注意：（数零与零向量a00；0. 0证明：证明：所以所以12EDBC 例例3DE、ABC,AC AB如图如图, 分别为分别为的边的边的中点的中点,BC ED (1)求证：求证：共线共线;与与EDBC 用用线性表示线性表示(2)学生活动学生活动因为因为DE、ABC,AC AB分别为分别为的边的边的中点的中点,(1)ED 12EDBCBC ,且且与与同向同向,(2)

3、又又BEDCA共线与，即所以BCEBBCED/与与b(0)a a 如果如果是共线向量是共线向量,DE、,AC AB若若为为边边的中点的中点,得到得到12EDBC 问题2结论：结论：建构数学建构数学为为边边的三等分点的三等分点,得到得到如图如图,DE、,AC AB13EDBC 可以用可以用b表示为表示为a若若与与是一对非零相反向量是一对非零相反向量,则则baba 表示为表示为用非零向量用非零向量a0BCAEDED为何限制为何限制0a ？,使使ba.那么存在一个实数那么存在一个实数a00 证明：证明： 与与如果如果b(0)a a 是共线向量是共线向量,ba当当 与与 同方向时同方向时, ba当当

4、与与反方向时反方向时, 0b当当时时, b(0 )a a 如果如果与与是共线向量是共线向量, 那么存在一个实数那么存在一个实数ba, 使使.综上所述综上所述, 建构数学建构数学ba ； 令令0.令令ba； 令令102BC ,1,2REDBC 是否存在是否存在,使得使得？()0bba则则ba从而有且仅有一个实数从而有且仅有一个实数，使，使., baba假设有两个实数假设有两个实数，使，使，0a，0a 0因为因为，所以，所以即即.证明：证明：问题3结论：结论：建构数学建构数学b(0)a a 如果如果 与与是共线向量，那么存在是共线向量，那么存在ba, 使使.一个实数一个实数有且只有有且只有探究：探

5、究：12 EDBC 假设存在实数假设存在实数，使，使，1()02EDEDBC 则则0BC 102因为因为，所以，所以12 ，即即.12EDBC 从而有且仅有一个实数从而有且仅有一个实数，使，使.12DE、ABC,AC AB分别为分别为的边的边的中点的中点,12EDBC若若则则BEDCAb(0)a a 如果如果 与与是共线向量是共线向量, 那么那么反之反之,回顾得到的两个结论回顾得到的两个结论,归纳综合归纳综合:ba, 使使.有且只有一个实数有且只有一个实数问题4建构数学建构数学结论结论1：结论结论2：向量共线定理向量共线定理有且只有有且只有与与b是共线向量是共线向量;a那么那么, 使使ba如果

6、有一个实数如果有一个实数(0)a 0a 0a 所有向量。，才能表示与它共线的只有用非零向量a概念辨析概念辨析baba（1）若向量）若向量与与共线共线, 则则存在实数存在实数, 使使.建构数学建构数学注意对0的讨论与与, 则则向量向量, 使使（2）若存在实数）若存在实数共线共线. .baba（3）若向量）若向量与与共线共线, 则则存在实数存在实数,m nmanb, 使得使得.ba,m nmanb（4）存在实数）存在实数, 使得使得, 则则向量向量与与共线共线. .ab反例反例:0,0.ab 0a当当时时,零向量与任意向量都共线零向量与任意向量都共线; 0a时时,依据向量共线定理依据向量共线定理.

7、当当反例反例:0,mn , a b 有可能为非零不共线向量有可能为非零不共线向量.（ ）（ ）（ ）（ ）.040003000201nmabbaRnmbanRmbaRnmba取使得，则存在实数）若（；，则，）若（；，则，）若（；，则）若（OABCAB例例4：（：（1）如图）如图中，中，为直线为直线上一点上一点, .111OCOAOB 求证：求证：ACCB (1) 证明：证明：ACCB ()OC OAOB OC (1)OC OAOB 即即110, 即即又又,.111OCOAOB 数学运用数学运用OBCA(1)OC mOAmOB OABCAB例例4：（：（1）如图）如图中，中， 为直线为直线上一点

8、上一点, .111OCOAOB 求证：求证：ACCB (1) 合作、探究：合作、探究：OBCA？时，你能得到什么结论当1?,0, 0的什么位置上分别在直线点时当ABC的值是多少？重合时，与当AC存在吗？的重合时，满足关系式与当CBACBC的中点）是线段（点ABC的外部点）为线段时当的内部点为线段时（当ABCABC,0;,0）（0（不存在）关系？点之间具有怎样的位置、同时观察一下前的系数有什么特点？与请问：BACOBOA数学运用数学运用OBCAA B C、求证：求证：三点共线三点共线. .（2）如果存在实数）如果存在实数, 使得使得(1)OCmOAm OB m证明证明:因为因为(1)OCmOAm

9、 OB ()mOA OBOB 所以所以()OC OBm OA OB 即即BCmBA 根据向量共线定理得到根据向量共线定理得到所以所以三点共线三点共线ABC、 、BC BA 共线共线与与数学运用数学运用例例5 G为为ABC的重心，的重心，O为为ABC的外心，的外心，且且OA+OB+OC=mOG,则则m=（ ）A.5 B.3 C.2 D.4B变题：平面内有变题：平面内有OA+OB+OC=0，且，且|OA|=|OB|=|OC|，则则ABC的形状为的形状为_等边三角形等边三角形DE、ABC,AC AB尝试：如图尝试：如图, 分别为分别为的边的边的中点的中点, 12EDBC .求证：求证：BEDCA证明

10、：证明：ED 数学运用数学运用EA AD 1122BAAC 1()2BA AC 12BC ABC12CDAEDAEBBC a 变题：如图变题：如图,在在, ,记记,CA b 1()3DEb a ,求证：求证：.BEDCA21()33DECABC CA 2133DE DA AECAAB 证明：因为证明：因为()ABBCCA 又又所以所以数学运用数学运用211()()333ba bb a 练习：如图，过练习：如图，过ABC的重心的重心O任作一直线任作一直线分别交分别交AB,AC于于D,E，连接，连接AO并延长交并延长交BC于于M,若若AD=xAB，AE=yAC， 则则 的值为的值为( )0 xy 11xyA.4 B.3 C.2 D.1ABCDEOMB1.向量共线定理向量共线定理回顾小结回顾小结2.利用定理解决向量共线问题利用定理解决向量共线问题(三点共线问题转化为向量共线问题三点共线问题转化为向量共线