《组合数学》 工学研究生1

1、西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目： 组 合 数 学 考试日期： 考试时间： 120 分考试方式： 闭卷 任课教师： 学生姓名： 学 号： 注意，请先阅读完题目后面的要求后再答题。一、 （10分）请计算多项式的展开式中和两项的系数。二、 （10分）满足不定方程62的整数解共有多少组？其中要求，。三、 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。四、 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？。

2、五、 （10分）求递推关系的通解。六、 （10分）某人有99根相同的铅笔，他每天送给某个小朋友一根或两根，那么他可以有多少种方式把这99根铅笔送完？七、 （10分）某班的学习委员给大家发英语作业本，不小心发乱了。（1）结果没有一个同学同时拿到了自己的作业本。问出现这种分发结果的可能性有多少种？（2）若至少有两人拿到了自己的作业本，问出现这种分发结果的可能性又是多少？八、 （10分）某班同学选修外语课，可选的外语语种有英语、法语和德语。其中有14人选学英语，12人选学法语，6人同时选法语和英语，5人选学德语和英语，还有2人同时选了这三种外语，而6个选德语的同学每人包括德语在内都至少选了两种外语。

3、问该班至少有多少名学生？九、 （10分）在一个边长为n的正方形中至少选取多少个点，才能保证在以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于二分之一？并证明你的结论。十、 用红色和蓝色两种颜色对一个正六面体的八个顶点进行染色，使其中有3个顶点染红色，其余5个顶点染蓝色，且六面体可以做任何能使得图形重合的刚体运动，求不等价的染色方案数。其中正六面体的8个顶点的置换群Q的轮换指标为。要求：（1） 请在试题和试卷上写上学号和姓名；（2） 请给出每一个问题的具体解答过程；（3） 考试时允许携带计算器；（4） 所有的答案都要按顺序写在试卷上；（5） 请按题目的顺序书写答案；（6） 请将试题夹在

4、自己的试卷中一并交回；（7） 对于计算题，当计算结果较大时，不要求计算出具体的数字，只要给出答案的表达式即可，如答案为15或20!3×8!等。第3页 共2页一、 （10分）请计算多项式的展开式中和两项的系数。 22680 5分 22680 5分二、 （10分）满足不定方程62的整数解共有多少组？其中要求，。 做变换3, 5, , 2分 原方程化为60 2分 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 3分 答案为 2分 结果为39711 1分三、 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。问共有多少种不同的安排方案

5、？假设一周有5个工作日。 分析问题，写相应的（普）母函数 4分 母函数展开得 5676 4分(12x3456)（系数对称）(13x61015212527)(14x1020355680104125140146)(14x1020355680104125140146) (15x1535707805)51535707805 答：共有780种选法 2分四、 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？方法I：用母函数 分析问题，写相应的（指）母函数 4分 母函数展开13794200 4分 答：共有79种分法 2分方

6、法II：用排列 每个小朋友无上限，有=81种分法 4分 不符合要求的分法有甲或乙独分4颗2种情况 4分 所有有81-2=79种分法 2分五、 （10分）求递推关系的通解。 特征方程0 3分 特征根 q1，1，1，1 3分 通解 3分 其中A、B、C、D为任意常数 1分六、 （10分）某人有99根相同的铅笔，他每天送给某个小朋友一根或两根，那么他可以有多少种方式把这99根铅笔送完？ 设送完n根铅笔的不同方式共有种，分析问题 3分分两种可能的情况：（1）第1天送1根，此类方式共有种；（2）第1天送2根，此类方式共有种。 建立递推关系 3分 解得 2分 答： 2分七、 （10分）某班的学习委员给大家

7、发英语作业本，不小心发乱了。（1）结果没有一个同学同时拿到了自己的作业本。问出现这种分发结果的可能性有多少种？（2）若至少有两人拿到了自己的作业本，问出现这种分发结果的可能性又是多少？第（1）问： 分析问题，设全集S和子集（i1,2, ,n） 2分设全部分配方案组成集合S，第i个人拿到自己作业本的所有分配方案构成集合。 计算 n!，(nk)! 2分 由逐步淘汰原理计算结果 2分或进一步Ln!（错排数）第（2）问： 设，计算（与第（1）步相同） 2分 计算结果 2分n!n!n!n(n1)! 或进一步n!2n!n!n!八、 （10分）某班同学选修外语课，可选的外语语种有英语、法语和德语。其中有14

8、人选学英语，12人选学法语，6人同时选法语和英语，5人选学德语和英语，还有2人同时选了这三种外语，而6个选德语的同学每人包括德语在内都至少选了两种外语。问该班至少有多少名学生？ 方法I 设集合A、B、C和S，确定已知条件 3分设集合A、B、C分别为选英语、法语和德语的学生，SABC，则14，12，6，6，5，2，0 画图描述（见图（a），或推导3 4分 计算结果 3分(14126)(653)220 （a） （b）方法II 设集合A、B、C和S，确定已知条件 3分设集合A、B、C分别为选英语、法语和德语的学生，SABC，则14，12，6，6，5，2， 0 画图，推导出图（b）中的每一部分 4分624，523，（）6321，14(423)5，12(421)5 计算 3分550431220九、 （10分）在一个边长为n的正方形中至少选取多少个点，才能保证在以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于二分之一？并证明你的结论。 答：需要21个点 4分 证明 6分将原正方形等分为大小相等的边长为1的小正方形，由抽屉原理，至少存在一个小正方形，其内部有3个点，那么此3点构成的三角形的面积不超过小正方形的面积的二分之一，即其面积12。十、 （10分