不定积分(高等数学)

1、积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第四章第四章 不定积分不定积分 1 1原函数的定义原函数的定义（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF C关于原函数的说明：关于原函数的说明：（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C则则(3) 连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.任意常数任意常数积分号积分号

2、被积函数被积函数2.不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢 !, )()(xfxF即：若即：若则则 说明说明: :原函数和不定积分的联系原函数和不定积分的联系1. 1. 不定积分是由无限多个原函数组成的集合；不定积分是由无限多个原函数组成的集合；2. 2. 不定积分原函数不定积分原函数C C（任意常数）（任意常数）)()(xfxF (

3、)d( )f xxF xC（1 1） 的导函数；的导函数； ( )( )f xF x为（2 2） 的一个原函数；的一个原函数；( )( )F xf x为（3 3） 的不定积分的不定积分( )( )F xCf x为 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(1) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k3. 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(（2 2）性质）性质先积后微形式不变先积后微形式不变;先微后积差一常数

4、先微后积差一常数1.已知已知2( ),f x dxxC求求( ).f x2.已知已知( )fxx求求( ).f x3.已知已知(ln )fxx求求( ).f x4.已知已知(ln )fxx求求( ).f x4 4、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx

5、2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln(14)tanlncosxdxxC(15)cotlnsinxdxxC(16)secln(sectan )xdxxxC(17)cscln(csccot )xdxxxC2211(18)arctanxdxCaaax2211(21)ln2axdxCaaxax221(19)arcsinxdxCaax22221(22)ln()dxxxaCxa2211(20)ln2xadxCxaaxa利用利用恒等变形恒等变形、 及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 . .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项

6、积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , , 代数公式代数公式 , ,积分性质积分性质 5、直接积分法、直接积分法:6 6、第一类换元法、第一类换元法（凑微分法）（凑微分法）定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn14)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd常见的凑微分形式常

7、见的凑微分形式13)()2()fxdxfx dxxxxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd211119)( )( )fdxfdx xxx 2110)(arcsin )(arcsin ) arcsin1fxdxfx dxx2111)(arctan )(arctan ) arctan1fxdxfx dxx7 7、第二类换元法、第二类换元法( (变量替换法变量替换法) )定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)( t ，又设，又设)()(ttf 具有原函数，

8、具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式(4),nx,nxt令 有nxtnbaxtbaxn令令1(5).xt倒置代换令一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 8 8、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 反反: : 反三角函数反三角函数对对: : 对数函数对数函数幂幂: : 幂函数幂函数指指: :

9、 指数函数指数函数三三: : 三角函数三角函数选择选择u u的有效方法的有效方法: :反对幂指三反对幂指三, ,哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.u.（1 1）幂函数与三角函数的乘积）幂函数与三角函数的乘积必须用分部积分法积分的被积函数的类型：必须用分部积分法积分的被积函数的类型：（2 2）幂函数与指数函数的乘积）幂函数与指数函数的乘积（3 3）幂函数与对数函数的乘积）幂函数与对数函数的乘积（4 4）幂函数与反三角函数的乘积）幂函数与反三角函数的乘积（5 5）三角函数与指数函数的乘积）三角函数与指数函数的乘积sinxxdx2cosxxdx2sin3xxdxsin cosxxxdxsin co

10、s3xxxdxxxe dx2xxe dx2xx e dxxxe dxln xdx3lnxxdxlnxxdxarcsinxxdx2arctanxxdxarcsinxdxarctanxdxsinxexdxcosxexdx2cos3xexdxcosxexdx(3)简单无理式的积分简单无理式的积分. (“谁妨碍我就把谁换掉谁妨碍我就把谁换掉”：做根式代换：做根式代换)(1)有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）(2)三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能

11、）9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式假分式可以化成一个多项式和一

12、个真分式之和和一个真分式之和. 221d2d3d40 .nAAxxxaxaAxBxpqxpxq； ； 有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下 面三种形式面三种形式: : 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构

13、成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR（万能置换公式）（万能置换公式）（3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法：解决方法： 作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令xe例1.函数为（ ）的一个原函数。xxeex解： （）2xex=.( )ln( )f xxfx例2若函数的一个原函数为，求。( )f x 解：由于(ln )x 1x( )fx所以1x21x 例例3.3. 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxed

14、edx .)1ln(Cexx 解解: 原式 =xxd ) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例5. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1.lnarctanCxx .dtan2xx例例4.4. 求求例例6.6. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313例例7 7 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx 1ln 12ln.2xC例例 8 求求.

15、25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx arcsin 21xC解二解二 因为因为,d2dxxx所以所以 .arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx解一：解一：22dd1142xxxxx12arcsin12xC224d4212arcsin3xxx.42arcsin32Cxx；xxxd432例例10. 求求解解:例例11.11. 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71

16、sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例12.12. 求求解解.2cos3cos xdxx1coscoscos()cos(),2ABABAB),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 1sincossin()sin(),2ABABAB1sinsincos()cos(),2ABABAB 积化和差公式积化和差公式: :2cos2xdx 1 cos2xdx2cos2xdx例13：求11cos22dxxdx

17、11sin22xxC解：解：234coscoscosxdxxdxxdx例例1414 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例 15. 求积分求积分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(2

18、1arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2arctan2xxd例例1616 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sinsinxexdx移项化简得.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2Cedxxfx两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 依题意可知：依题意可知：3411d2d331xxtttx5233113131.153xxC5211153ttC例例19. 求求2356xdxxx解：因为解：因为2356,5623xxxxx所以所以23565623xd