专升本数学(二)极限的求法ppt

1、极限的求法极限的求法0,00,011lim(1)xxex一、当xx0时，函数f(x)的极限1、当xx0时，函数f(x)的极限定义：（）定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个 方向趋近于x0； （）定义中考虑的是xx0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x0处f(x)的情况 注意如果当x无限接近于定值x，即 x x（x可以不等于x ）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常，那么称为函数f(x)当x x 时的极限，记作:00 xlim(x)xx(x)xfAfA或当时例1 考察下列函数，写出当x2时函数的极限并作图验证 （）y = c (c为常数) （）y = x 解： x2(1)limc

2、c22x2(2)limx24例2 解 （）设f(x)=sinx,作图x0 x0limsinxlimcosx利用图象考察和的值x0limsinx0（）设f(x)=cosx,作图x0limcosx1例3B 2x4f(x),x 2设函数解：x2,x2,f(x)x 2因为时约分得224f(x)2xx4(2,4)求极限 ，并作图观察 2x2x4limx 22x2x2x4limlim(x 2)4x 2所以有练习： 求下列极限 =0=8=0=1=66)3(3limxxABx02x2x1xx03x22x3(1)limtanx(2)lim2x(3)limlnx(4)lim2(5)lim(x2)x9(6) lim

3、x 32.数列的概念数列的概念(数列是特殊的函数可以归结为函数处理数列是特殊的函数可以归结为函数处理.定义定义:如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得到的一从小到大排列得到的一个序列个序列nNnxnx123,nx x xx就叫做数列就叫做数列,简记为数列简记为数列 . nx数列中的每一个数叫做数列的项，第数列中的每一个数叫做数列的项，第n项项 叫做数列的叫做数列的一般项一般项. .nx例如例如2,4,8,2 ,;n1 1 11,;2 4 82n2 n12n11, 1,1,( 1),;n1(

4、1)n 11 4( 1)2,;2 3nnn 1( 1)nnn 注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在数轴上依次取数轴上依次取12,.nx xx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数( ),nxf n.nN问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定的是否无限接近于某一确定的数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.通过观察通过观察:1( 1)1nnxn 当当n无限增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1.

5、观察数列观察数列1( 1)1nn当当n 时的变化趋势时的变化趋势.注意：1.函数极限为 型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母x或t 或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为3.3.重要极限重要极限1lim(1)xxex0sinlim1xxx000sinlim1xxx例1注：在上例中，应用公式（141）时，我们使用了代 换t=5x ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：0sin5lim1xxx005sin5sinlim5lim5 155xxxxxx 例2 . 求极限:00sin31.limsin2tan22.lim33.lim sinxxxxxxxxx 练习.求下列

6、极限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxAxxx、333sin3lim3sinlim100 xxxxxx、35)35)(55sin(lim35sinlim200 xxxxxx、1lim(1)xxex得到公式注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。xt或1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型1 103.lim(1)xxxe公式的等价形式为例4 A3(1)lim(1)xxx10(2)lim(1 3 )xxx3(1)lim(1)xxx333lim(1) xxx3e10(2)lim(1 3 )xxx1( 3)30lim1 ( 3 )x

7、xx 133lim1 ( 3 )xxx 3e解：例5 B431lim(1)2xxx求431lim(1)2xxx4311lim(1) (1)22xxxx22311lim(1) lim(1)22xxxxx221ee解：例6 C22lim()1xxxx求2e22lim()1xxxx21lim(1)1xxx2(1) 21lim(1)1xxx解：2(1)211lim(1)(1)11xxxx1 2211lim(1)lim(1)11xxxxx 练习.求下列极限:10 1 lim(1 3 )22 lim(1)xxxxAxx、3331010)31(lim)31 (limexxxxxx222)21(lim)21

8、(limexxxxxx四、练习000221sin2 1 limsin7 2 limsin3tan23 lim1 4 limsinxxxxxAxxBxxxCxx、37)37)(3sin3)(77sin(lim3sin7sinlim. 200 xxxxxxxx2)2cos2)(22sin(lim2tanlim. 300 xxxxxxx111sinlim1sinlim. 42222xxxxxx21)212121sin(lim21sinlim. 100 xxxxxx1cos241 5.lim(1 cos )1 6.lim(1)321 7.lim()2xxxxxxAxBxxCx21212)211(lim

9、)212(lim. 7exxxxxxx134314)311 ()311(lim)311 (lim. 6xxxxxxx34341eeexxxcos12)cos1 (lim. 50()( )( )2limxhf ahf af xhD若求0,000003233020000( )( )( )0limlimlim( )( )( )271 cos1. lim2. lim31ln33. lim4. limsinln5xxxxxxxxxxxxxf xfxfxg xg xgxxxxxexxxx 当 （）型指的是极限当的分子分母都趋向于（ ）时，有例题小结小结1.1.极限公式：极限公式：2.2.求极限法则：只要极限现在，可以把极限符号放到求极限法则：只要极限现在，可以把极限符号放到任意位置任意位置. .3.3.求极限的步骤：求极限的步骤：（1 1）把）把 当作当作 x=x0 代入代入f(xf(x)