二重积分的概念与性质40033

1、1第九章第九章 重重 积积 分分Ozyx2 重积分是定积分的推广和发展重积分是定积分的推广和发展.其同定积分其同定积分一样也是某种确定和式的极限一样也是某种确定和式的极限,其其基本思想基本思想是四是四步曲步曲: 分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限. 定积分的被积函数是一元函数定积分的被积函数是一元函数,其积分区域其积分区域是一个确定区间是一个确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域间有界闭区域. 重积分有其广泛的应用重积分有其广泛的应用.序序

2、言言3问题的提出问题的提出二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业double integral第一节第一节 二重积分二重积分的概念的概念与性质与性质第九章第九章 重积分重积分4一、问题的提出一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求一般立体的体积如何求先从先从曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积开始开始.而而曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积的计算问题的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想回想立体的体积、立体的体积、 旋转体的体积旋转体的体积.曲顶柱体的

3、体积曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型二重积分的一个模型.可作为可作为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质5),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=特点特点1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积D困难困难曲顶柱体曲顶柱体0),( yxf),(yxfz 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).oyxz曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质6柱体体积柱体体积 = 特点特点 分析分析曲边梯形面积是如何求曲边梯形面积是如何求以直代曲、以直代曲

4、、如何创造条件使如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与回忆回忆思想是思想是分割、分割、平顶平顶平平曲曲这对矛盾互相转化这对矛盾互相转化与与以不变代变以不变代变.曲边梯形面积曲边梯形面积的求法类似的求法类似取近似、取近似、 求和、求和、 取极限取极限. .二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 底面积底面积高高7步骤如下步骤如下用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和和D),(yxfz 先任意分割曲顶柱体的底，先任意分割曲顶柱体的底， V曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积并任取小区域并任取小区域，近似表示近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积，iiniif ),(10

5、lim 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质xzyO),(ii ),(iif i 8(1) 分割分割相应地此曲顶相应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2) 取近似取近似iii ),(第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式 iVn ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积) .i 将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质9(3) 求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限取极限)趋于零

6、趋于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体体积曲顶柱体体积二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质102. 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量(1) 将薄片将薄片分割分割成成n个个小块，小块，看作看作均匀薄片均匀薄片. iM(2) M(3) M(4)近似近似 任取小块任取小块 i 设有一平面薄片设有一平面薄片,DxOy面上的闭区域面上的闭区域占有占有),(),(yxyx 处的面密度为处的面密度为在

7、点在点Dyx在在假定假定),( ,上连续上连续求平面薄片的质量求平面薄片的质量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质xyO),(ii i 11也表示它的面积也表示它的面积,),(上的有界函数上的有界函数是有界闭区域是有界闭区域设设Dyxf,个小区域个小区域表示第表示第其中其中ii ),(iii 上任取一点上任取一点在每个在每个 二、二重积分的概念二、二重积分的概念1. 二重积分的定义二重积分的定义定义定义个小闭区域个小闭区域任意分成任意分成将闭区域将闭区域nD,21n 作乘积作乘积 iiif ),(), 2 , 1(ni

8、 并作和并作和 .),(1iiniif 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质12,d),( Dyxf 这和式这和式则称此则称此零时零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于趋近于 的极限存在的极限存在,iiniif ),(1极限为函数极限为函数二重积分二重积分, ,上的上的在闭区域在闭区域Dyxf),(记为记为即即iiniiDfyxf ),(limd),(10二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质13曲顶柱体体积曲顶柱体体积,d),( DyxfV 它的面密度它的面密度.d),( DyxM 曲顶曲顶 即即在底在底D上的上的二二重积分重积分,),(yxfz

9、 平面薄片平面薄片D的质量的质量即即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质0 ),(yx 在薄片在薄片D上的二重积分上的二重积分, 14 2. 在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D, Dyxf d),(二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中1.重积分重积分与与定积分的区别定积分的区别:重积分中重积分中, 0d xd可正可负可正可负.yxdd Dyxf),(则面积元素为则面积元素为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质Oxyyxddd 15中中iiniiDfyxyxf ),(limdd),(10(A) 最大小区间长最大小区间

10、长;(B) 小区域最大面积小区域最大面积;(C) 小区域直径小区域直径;(D)最大小区域直径最大小区域直径.D选择题选择题).(是是 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质162. 二重积分的存在定理二重积分的存在定理 设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的连续函数上的连续函数 Dyxf d),(存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注 今后的讨论中今后的讨论中,积积分区域内总是连续的分区域内总是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时,则则都假定被积函数在相应的都假定被积函数在相应的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质17(2)3. 二重积分的几何意义二重积分的几何意

11、义(3) (1)在在D上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质18例例 设设D为圆域为圆域222Ryx 二重积分二重积分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述积分等于上述积分等于 DyxR d222

12、332R 由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知，可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：上半球体的体积：二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质RyxzOD19性质性质为常数为常数, 则则(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质 Dyxgyxf d),(),( 、设设 DDyxgyxf d),(d),(根据根据二重积分的几何意义二重积分的几何意义,确定积分值确定积分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 为为其中其中ba2 332a 20以以1为高的为高的 性质性质2 将区域将区域

13、D分为两个子域分为两个子域 Dyxf d),(性质性质3 若若 为为D的面积的面积)(21DDD oxyD1D2 注注 D d既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积. 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.D1与与D2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是又可看成是D的面积的面积.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质21二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质),(yxf若若在有界闭区域在有界闭区域D1上可积上可积,且且,21DD 则必有则必有.dd),(dd),(21 DDyxyxfyxy

14、xf22 Dyxf d),(特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质) ),(),(yxgyxf 设设 ,),(Dyx 则则 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质例例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值的值= ( ).(A) 为正为正(B) 为负为负(C) 等于等于0(D) 不能确定不能确定为负为负B23选择题选择题 比较比较与与 d)(21 DyxI, 1)1()2( :22 yxD其中其中(D) 无法比较无法比较.oxy 1 12C(2,1)性质性质4(4(比较性质比较性质) ).)()(32yxyx d)(

15、32 DyxI的大小的大小,则则( ).)(21IIA .)(21IIB .)(21IIC 1 yx,),(Dyx , 1 yx二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质24220yx 0)ln(22 yx解解例例 判断判断的正负号的正负号. 1|22dd)ln(yxryxyx时时当当1| yxr 2|)|(|yx 1 故故)ln(22yx 0 1|22dd)ln(yxryxyx于是于是0 又当又当,1|时时 yx二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质25 DMyxfm d),(几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的两个为高的两个证证 D d再用再用性质性质1和和性质性质3, 性质性质

16、5(5(估值性质估值性质) )则则,),(Myxfm 设设为为D的面积的面积,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体的体积介于以的体积介于以D为底为底,平顶柱体体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕. D d D d Dyxf d),(),(),(yxgyxf 设设,),(Dyx 则则 Dyxg d),( 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2622yxe d)(22 Dyxe222d)(aDyxeabeab 解解估值性质估值性质 DMyxfm d),(区域区域D的面积的面积 ab 在在D上上220yx 例例 不作计算不作计算,d)(22的值的值估计估计

17、 DyxeI).0( , 1:2222abbyaxD 是椭圆闭区域是椭圆闭区域其中其中2a 2ae 0e 12ae 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质mM27性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) ),( Dyxf d),(体积等于体积等于),( f以以 显然显然 DMyxfm d),(几何意义几何意义证证在闭区域在闭区域设设),(yxfD上连续上连续,为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体以以D为底为底 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将将性质性质5中不等式各除以中不等

18、式各除以 DMyxfm d),(1二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质. 0 , 有有28 DMyxfm d),(1的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的. Dyxf d),(1由闭区域上连续函数的介值定理由闭区域上连续函数的介值定理. Dyxf d),(1两端各乘以两端各乘以 ),( 点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数),(yxf在在D上至少存在一点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该),( f 与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质, 29选择题选择题222 yx).(d),(1lim

19、22220是是极限极限 yxyxf(A)(B)(C) (D)提示提示: :B是有界闭区域是有界闭区域D:),(yxf设设上的上的连续函数连续函数,不存在不存在.).0 , 0(f).1 , 1(f).0 , 1(f利用积分中值定理利用积分中值定理.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质30利用利用积分中值定理积分中值定理,),(lim0 f 解解即得即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf).0 , 0(f ,0时时当当 ),( 点点由函数的连续性知由函数的连续性知,),(2

20、f显然显然,).0 , 0(其中点其中点是圆域是圆域内的一点内的一点.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 ),(d),(fyxfD 31 补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x, y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数. Dyxf d),(oxyD1性质性质7 7）即即),(),(yxfyxf 则则D1为为D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,对称性质对称性质 1d),(2Dyxf 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质坐标坐标y为奇函数为奇函数0d),( Dyxf ),(),(yxfyxf 即即则则设

21、设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f (x, y)关于关于32设设f(x, y)关于关于y为偶为偶函数函数, D1i i oxy Dniiiiiiiyxfyxfyxf10),(),(limd),( ).,(),(yxfyxf 即即 证证),(),(iiiiyxfyxf 由由则则),(iiyx),(iiyx 得得二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质轴的轴的分为许多对称于分为许多对称于将域将域xD,子域子域内取一内取一中的子域中的子域在在iD 1轴的子域轴的子域与其对称于与其对称于点点xyxii),(,i 也记成也记成).,(iiyx 取一点取一点33iiniiyxf ),

22、(lim210 1d),(2Dyxf 坐标坐标y为奇函数为奇函数0d),( Dyxf 自证自证! ! Dniiiiiiiyxfyxfyxf10),(),(limd),( ),(),(yxfyxf 即即则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质34这个性质的这个性质的几何意义几何意义如图如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为奇函为奇函数数二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质35 Dyxf

23、 d),(如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数0d),( Dyxf oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则,),(),(）即即yxfyxf 为偶为偶函数函数,),(),(）即即yxfyxf 则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分, 1d),(2Dyxf 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质36设设D为圆域为圆域(如图如图) d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域二重积分的概念与性质二重积分

24、的概念与性质yxOyxO37,d)sin()sin(22 DyxxyA 计算二重积分计算二重积分 解解D积积分分区区域域)sin()sin(22yxxy 和和由性质得由性质得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22000 例例,是奇函数是奇函数和和分别关于分别关于yx,轴轴都都对对称称轴轴、关关于于yx d)(sin2yxD 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质11, 11),( yxyxD其中其中38 ).(ddsincos等于等于则则yxyxxyD 为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,(A).ddsincos21yxyxD (B).dd21yxxyD (C)

25、 .ddsincos41yxyxxyD (D) 0.A1991年研究生考题年研究生考题, 选择选择,3分分)1, 1()1 , 1(),1 , 1( 和和平面上以平面上以是是设设xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质39 yxyxxyDddsincos D1D2D3D4记记 I=则则I= I1+ I2, 其中其中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1 =yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇

26、函数都是奇函数000 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质)1 , 1( )1 , 1( )1, 1(xyO40而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是关于关于x的偶函数的偶函数,yxyxDddsincos21 关于关于y的奇函数的奇函数. 所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质yxsincosD1D2D3D4)1 , 1( )1 , 1(xyO )1, 1(41 今后在计算重积分利用今后在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时, 注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性. . 积分区域积分区域的对称性的对称性, ,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质42 思考思考 Dyxf d),( iDyxf d),(当当f为为关于关于x且且关于关于y的偶函数的偶函数时时：当当f为为关于关于x或或关于关于y的奇函数的奇函数时时： Dyxf d),(04Di是区域是区域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域象限的区域 设区域