二元函数的连续性

1、10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性0lim( )PPf PA 0,0, 0:0 |,PDPP 有有|()|,f PA 00lim( ,)xxyyf x yA 0,0, ( , )x yD：|( , )|,f x yA 0|,xx 0|,yy 00( , )(,),x yxy 且且有有10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性0.PD 00,0,:|,PDPP 即即有有0|()()|f Pf P 若二元函数若二元函数 f (P)在在 D 上任何点都连续上任何点都连续, ,则称则称f (P)在在D连续连

2、续. .2RD 定义定义1 设设 f (P) 为定义在点集为定义在点集上的二元函数上的二元函数, 00lim( )()PPf Pf P 若若0( )f PP则则称称函函数数在在点点连连续续. .定义定义21 1、连续的概念、连续的概念10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性0( )f PP函函数数在在点点连连续续0000lim( , )(,)xxyyf x yf xy 0,0, ( , )x yD：00|( , )(,)|.f x yf xy 0|,xx 0|,yy 有有000( , ),(,)P x yP xy设设2 2、用增量形式描述连续性、用增量形式描述连续性0

3、00( , ),(,),P x yP xyD 设设0,xxx 0,yyy 00( , )(,)zf x yf xy 0000(,)(,)f xx yyf xy 000( , )(,)zf x yP xy 称称为为在在点点的的全改变量全改变量.10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性00lim0 xyz 00,xy 或或如果在全改变量中取如果在全改变量中取 则相应得到的则相应得到的 改变量称为偏改变量改变量称为偏改变量, 分别记作分别记作0000(,)(,),xzf xx yf xy 0000(,)(,).yzf xyyf xy 0( )f PP函函数数在在点点连连续续

4、0lim0,xxz若若0yy 0( ,)f x y则表示当固定则表示当固定 时时, 作为作为 x 的函数的函数, 它它 在在 x0 连续连续. 00( , )(,).f x yxyx也也称称在在点点关关于于自自变变量量 连连续续10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性0lim0,yyz若若 则表示则表示当当 固定固定 时时， 0(,)f xy在在 y0 连续连续. 0 xx00( , )(,).f x yxyy也也称称在在点点关关于于自自变变量量 连连续续 ,( , )fx yfx yf x y 若若关关于于双双变变量量连连续续，则则关关于于每每一一变变量量 都都连连

5、续续。但但反反之之关关于于每每一一变变量量连连续续，不不能能推推出出 它它关关于于双双变变量量连连续续. .注注: :10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 例例如如 ,0, 0.fx yx关关于于变变量量 在在点点连连续续 ,0, 0.fx yy关关于于变变量量 在在点点连连续续 2000lim0,lim00,0 ,0yyyfyfy 2000lim,0lim00,0 ,0 xxxfxfx 但函数在原点但函数在原点(0,0)不存在极限不存在极限.10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连

6、续性3 3、二元连续函数的局部性质、二元连续函数的局部性质定理定理20( )( )f Pg PP若若二二元元函函数数与与在在点点连连续续，则则( )( ),f Pg P ( )( ),f Pg P 0( )( ()0)( )f Pg Pg P 0.P都都在在连连续续定理定理3 (复合函数的连续性复合函数的连续性) ( ,)ux y 若若函函数数和和000( ,)()vx yP xy 在在点点, ,连连续续，( , )f u v且且二二元元函函数数在在000000(,) (,),(,)u vxyxy 连连续续，则复合函数则复合函数 000 ( ,),( ,)()fx yx yP xy 在在点点,

7、 ,也也连连续续. .10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |,uuvv 有有又由又由 、 在点在点 P0 连续可知连续可知: 对上述对上述 0,0, 00( , ):|,|,x yxxyy 有有00|( ,)(,)|,x yxy 00|( ,)(,)|.x yxy 0000| ( ,),( , ) (,),(,)|.fx yx yfxyxy 00|,|xxyy 综合起来综合起来, 当当 时时, 便有便有所以所以 ( ,),( ,)fx yx y 在点在点 连续连续. 000(,)P xy00( , )(,)f

8、 u vu v证证：在在连连续续，0,0,( , ):u v即即10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性定理定理4 (局部保号性局部保号性) 0( )f PP若若二二元元函函数数在在点点连连续续，且且0()0,f P 00,(, ),( )0.PU PDf P 则则有有4、有界闭区域上连续函数的性质有界性，最值性，介值性，一致连续性有界性，最值性，介值性，一致连续性定理定理5 ( 有界性有界性 ) 若二元函数若二元函数 f (P)在在有界闭区域有界闭区域2RD 上连续上连续, 则则 f (P)在在 D上有界上有界 .定理定理6 ( 最值性最值性 ) 若二元函数若二元函数 f (P)在在有界闭区域有界闭区域2RD 上连续上连续, 则则 f (P)在在 D上有最大值和最小值上有最大值和最小值 .10.2 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续二元函数的连续性定理定理7(介值性介值性) ()f P若若二二元元函函数数在在有有界界闭闭区区域域:mM ，00().PDf P 则则必必存存在在，使使得得2DR 上上连连续续，( )mMf PD且且 和和分分别别是是函函数数在在 的的最最小小值值和和最最大