事故树的定量分析

1、 一、基本事件的发生概率一、基本事件的发生概率 基本事件的发生概率包括系统的基本事件的发生概率包括系统的单元单元( (部件或元部件或元件件) )故障概率故障概率及及人的失误概率人的失误概率等等, ,在工程上计算时在工程上计算时, ,往往用基本事件发生的往往用基本事件发生的频率来代替其概率值频率来代替其概率值。 1. 1. 系统的单元故障概率系统的单元故障概率 (1) (1) 可修复系统的单元故障概率。可修复系统可修复系统的单元故障概率。可修复系统的单元故障概率定义为的单元故障概率定义为: : 式中式中 q -q -单元故障概率单元故障概率; ; - -单元故障率单元故障率, , 是指单位时间内

2、故障发是指单位时间内故障发生的频率生的频率; ; -单元修复率单元修复率, , 是指单位时间内元件修是指单位时间内元件修复的频率。复的频率。 式中式中K -K -综合考虑温度、湿度、振动及其他综合考虑温度、湿度、振动及其他条件影响的修正系数条件影响的修正系数, , 一般一般K=1-10;K=1-10; 0 0- - 单元故障率的实验值单元故障率的实验值, ,一般可根据一般可根据实验或统计求得实验或统计求得, ,等于元件平均故障间隔期等于元件平均故障间隔期(MTBF)(MTBF)的倒数的倒数, , 即即: :0K式中式中,MTBF ,MTBF 为平均故障为平均故障间间隔期隔期, , 是指相邻两故

3、障是指相邻两故障间隔期内正常工作的平均时间间隔期内正常工作的平均时间, , 一般可按下式计一般可按下式计算获得算获得: : 式中式中 n-n-各单元发生故障的总次数各单元发生故障的总次数； t ti i-第第i-1i-1次到第次到第i i次故障间隔时间。次故障间隔时间。 式中式中 nn试验元件个数试验元件个数 t ti i元件元件i i从运行到故障从运行到故障发生所经历的时间发生所经历的时间。2 2种种 niitnMTBF11MTBF10式中式中,MTTR ,MTTR 为平均修复时间为平均修复时间, ,是指系统单元出现故是指系统单元出现故障障, ,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。从开始

4、维修到恢复正常工作所需的平均时间。 一般一般,MTBFMTTR, ,MTBFMTTR, 所以所以, ,则其故障概率为则其故障概率为: :单元修复率单元修复率一般可根据统计分析用下式求得一般可根据统计分析用下式求得: :MTTR1qteq1tq式中式中 P -P -基本事件状态组合序号基本事件状态组合序号; ; p p(X(X)-)-第第 p p 种组合的结构函数值。种组合的结构函数值。(1(1或或 0);0); q qi i - - 第第 i i 个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率; ; Y Yi i - - 第第 i i 个基本事件的状态值个基本事件的状态值(1(1或或0)0)。)17

5、3()()()1 (1121iixTPqqiinYniYpp1. 1. 状态枚举法状态枚举法X1 X2 X3(X)qp(q)qp000 0010100110 0 0 0 0 1 q1(1- q2)q30 0 0 0 0 100 1011101111 1 q1q2(1- q3)0.009 0.009 0.001 0 0 0 0 0 q1q2q3 P(T)0.019表表 3-14 事故树事故树 P(T) 计算表计算表该方法规律性强该方法规律性强, , 适于编制程序上机计适于编制程序上机计算算, , 可用来计算较复杂系统事故发生概可用来计算较复杂系统事故发生概率。但当率。但当 n n 值较大时值较大

6、时, , 计算中要涉及计算中要涉及2 2n n个状态组合个状态组合, , 并需求出相应顶事件的状并需求出相应顶事件的状态态, , 因而计算工作量很大因而计算工作量很大, , 花费时间较花费时间较长。长。2 2 直接分步算直接分步算法法 该方法该方法适用于事故树的规模不大，又没适用于事故树的规模不大，又没有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使用。用。 其计算方法是：从底部的逻辑门连接的其计算方法是：从底部的逻辑门连接的事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事件件T的发生概率。的发生概率。直接分布算法的的规则如下：直接分布算

7、法的的规则如下：1）与门连接的事件，计算概率积）与门连接的事件，计算概率积nniiAqqqqq211qA与门事件的概率与门事件的概率qi与门连接的第与门连接的第i个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率n 与门连接的输入事件数与门连接的输入事件数2）或门连接的事件，计算概率和）或门连接的事件，计算概率和qB或门事件的概率或门事件的概率qi或门连接的第或门连接的第i个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率n 或门连接的输入事件数或门连接的输入事件数niiniiBqqq11)1 (1【例例3-8】用直接分用直接分步算法计算右图所示步算法计算右图所示事故树顶事件的发生事故树顶事件的发生概率。各基本事

8、件下概率。各基本事件下的数字即为其发生概的数字即为其发生概率率解：第一步，求解：第一步，求A2的概率，其为或门连接，有的概率，其为或门连接，有106525. 0)01. 01)(05. 01)(05. 01 (1)1)(1)(1 (17652qqqqA第二步，求第二步，求A1的概率，其为与门连接，有的概率，其为与门连接，有04261. 0106525. 05 . 00 . 18 . 021432AAqqqqq第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有052184. 0)01. 01)(04261. 01 (1)1)(1 (111qqgA)183(1krkx

9、iriqg 3 3 最小割集法最小割集法 【例例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上事件发生的概率。事件发生的概率。 ,653422311xxKxxKxxK解：由根据式解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：，顶上事件发生的概率为： )1)(1)(1 (1)1)(1)(1 (165423131321qqqqqqqqqqgkxikxikxirkxiiiiri,5421322311xxxKxxKxxK321323121321321)()()1)(1)(1 (131kkkkkkkkkkkkkkkrkqqqqqqqqqqqqqqqqgr21kkqq3

10、23121xxxxKK3213231xxxxxxx32121qqqqqkk543215432543213213231qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkkkkkkk543215432543213215423231)()(qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqg)193() 1()(1111kkxrikkksrkkxikrkxirisririqqqTP由由【例例3-9】可以看出，如果事故树的各最小割集中彼可以看出，如果事故树的各最小割集中彼此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公司计算：司计算：srikkx)203(1Pr

11、Pxiriqg【例例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶若某事故树有如下几个最小径集，求其顶上事件发生的概率。上事件发生的概率。 ,653432211xxPxxPxxP解：根据式解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：，其顶上事件发生的概率为： )1)(1 (1 )1)(1 (1 )1)(1 (1 65432131321qqqqqqqqqqgPxiPxiPxirPxiiiiri)213 ( )1 () 1()1 ()1 (111 risririPxipprppsrPPxiPxiqqqgsriPPx设各基本事件的发设各基本事件的发生概率为生概率为: : q q1 1 =0.01;

12、=0.01; q q2 2=0.02; q=0.02; q3 3=0.03; =0.03; q q4 4=0.04; q=0.04; q5 5=0.05=0.05 解解: : 该事故树有三个最小割集该事故树有三个最小割集: : E E1 1=X X1 1, X, X2 2, X, X3 3, ,; E E2 2=X X1 1, X, X4 4; E E3 3=X X3 3, X, X5 5 事故树有四个最小径集事故树有四个最小径集: : P P1 1=X X1 1, X, X3 3, ,; P P2 2=X X1 1, X, X5 5; P P3 3=X X3 3, X, X4 4 ; ; P

13、 P3 3=X X2 2, X, X4 4, X, X5 5 按式按式(3-19) (3-19) 和和(3-21)(3-21)计算顶事件的发生概计算顶事件的发生概率率，工作量很大，且，工作量很大，且当事故树中的当事故树中的最小割最小割( (径径) )集较多时集较多时会发生会发生组合爆炸组合爆炸问题。但在许多工程问题。但在许多工程问题中问题中, , 这种这种精确计算是不必要精确计算是不必要的的, , 这是因为这是因为统计得到的统计得到的基本数据往往是不很精确基本数据往往是不很精确的的, ,因此因此, , 用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精精确计算没有实

14、际意义确计算没有实际意义。所以。所以, , 实际计算中实际计算中多采多采用近似算法用近似算法。 三、三、顶事件发生概率的近似顶事件发生概率的近似算法算法 该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的逻辑运算看做是代数运算逻辑运算看做是代数运算。【例例 3-123-12】用近似算法用近似算法求右图事故树顶事件的求右图事故树顶事件的发生概率，并与精确值发生概率，并与精确值比较。各事件的发生概比较。各事件的发生概率为率为q q1 1 =0.01; q=0.01; q2 2=0.02; =0.02; q q3 3=0.03; q=0.03; q4 4=0.04=0.04 1

15、）顶事件发生概率的近似计算）顶事件发生概率的近似计算事故树的函数结构式为事故树的函数结构式为)(4321xxxxT用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似概率为概率为000212. 0)04. 003. 002. 0(01. 0)(4321qqqqg2）顶事件发生概率的精确计算）顶事件发生概率的精确计算由事故树的函数结构式，化简求得由事故树的函数结构式，化简求得2个最小割集个最小割集为为,4312211xxxKxxK由式由式3-19知，顶事件发生概率是精确值为知，顶事件发生概率是精确值为00021176. 004. 003. 002. 001.

16、0)04. 003. 001. 002. 001. 0()(432143121qqqqqqqqqg3）顶事件发生概率近似计算的误差）顶事件发生概率近似计算的误差顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误差为：差为：%1133. 0001133. 000021176. 000021176. 0000212. 0可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，其相对误差相当小。其相对误差相当小。 则得到用最则得到用最小割集求顶事小割集求顶事件发生件发生概率的概率的逼近公式逼近公式, , 即即： 2.2.最小割集逼近法

17、最小割集逼近法: :在式在式 (3-19) (3-19) 中中, , 设设: :kkkxrikksrkkxikrkxiFqFqFqrisriri 12111(3-22) (3-22) 式式 (3-22)(3-22)中的中的F F1 1，F F1 1-F-F2 2，F F1 1-F-F2 2+F+F3 3，等等 , , 依此给出了顶事件发生概率依此给出了顶事件发生概率P(T)P(T)的上限和下限的上限和下限, , 可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。 用最小割集逼近法求解用最小割集逼近法求解 【例例 3-113-11】。 由式由式 (3-22) (3-

18、22) 可得可得 : :则有则有 : P(T)1.906: P(T)1.9061010-3-3 P(T)1.90486P(T)1.904861010-3-3 P(T)1.904872P(T)1.9048721010-3-3 从中可取任意近似区间。从中可取任意近似区间。 近似计算结果与精确计算结果的相对误差近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于列于表表3-15 3-15 中。中。计算项目计算项目顶事件发生概率的近似计算顶事件发生概率的近似计算项目项目数值数值取值范围取值范围计算值计算值P(T)P(T)相对误差相对误差/%/%。F11.90610-3F10.0019060.0019060.059

19、0.059F20.0011410-3F1 - -F20.001904860.001904860.00062990.0006299F30.00001210-3F1 - -F2 + +F30.0019048720.001904872O O表表 3-15 顶事件发生概率近似计算及相对误差顶事件发生概率近似计算及相对误差 由表可知由表可知, , 当以当以F F1 1作为顶事件发生概率作为顶事件发生概率时时, , 误差只有误差只有0.0590.059%；以以F F1 1 -F -F2 2作为顶事件作为顶事件发生概率时发生概率时, ,误差仅有误差仅有0.00062990.0006299% 。实际。实际应用

20、中应用中, , 以以F F1 1 ( ( 称作称作首项近似法首项近似法 ) ) 或或F F1 1-F-F2 2作为顶事件发生概率的近似值作为顶事件发生概率的近似值, , 就可达到基就可达到基本精度要求。本精度要求。 与最小割集法相似与最小割集法相似, , 利用最小径集也可以求得顶事件利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式发生概率的上、下限。在式(3-21) (3-21) 中中 , , 设设：则则 P(T)P(T) 1-S 1-S1 1 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2- S- S3 3 (3-23(3-23) ) 3. 3.最小径集逼近法。最小径集逼近法。 式式 (3-23) (3-23) 中的中的1-S1-S1 1, , 1-S 1-S1 1+S+S2 2 , , 1- 1-S S1 1+S+S2 2- S- S3 3 , , 等等, , 依次给出