二重积分的换元法

1、第三讲第三讲 二重积分的换元法二重积分的换元法 内容提要内容提要 1.1.二重积分的换元积分公式；二重积分的换元积分公式； 2.2.极坐标系下二重积分的计算。极坐标系下二重积分的计算。 教学要求教学要求 1.掌握二重积分的换元积分公式；掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。复习：二重积分复习：二重积分在直角坐标系下在直角坐标系下的计算的计算 Dyxf),(1. 在直角坐标系下在直角坐标系下二重积分二重积分 Dyxf),(dxdy d2.二重积分二重积分在直角坐标系下在直角坐标系下的计算：的计算： Ddxdyyxf),( )()(2

2、1),(xxdyyxf badx )()(21),(yydxyxf xdxx ydyy d dcdy型型 X型型 Yxyo r r l为为邻邻边边的的矩矩形形和和近近似似地地看看成成以以rl rl 即即 rr 扇环扇环的面积的面积 的近似公式：的近似公式： )(:. 2 rr 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程ox)( rr 预备知识：预备知识：1. 如图如图: 1.1.二重积分的换元法二重积分的换元法(1)(1) 在直角坐标系下计算二重积分时，在直角坐标系下计算二重积分时，2222byxa 如积分区域为如积分区域为oxy必须化为必须化为四个小区域四个小区域来计算，来计算， 因此，有必要学习在其

3、他坐标系下因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分如极坐标系下计算二重积分.这就需要进这就需要进行变量代换，有如下定理行变量代换，有如下定理.下非常烦琐，下非常烦琐，相当麻烦。相当麻烦。在某些情况在某些情况.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变

4、为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理Do Df) (.为为圆圆心心的的圆圆弧弧进进行行划划分分以以出出发发的的射射线线和和用用从从将将区区域域OOD rrr 则则 rr d于于是是面面积积微微元元 ddrr Ddyxf ),(故故 sin,cos rrr rr ddr.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有

5、变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理 )()(21 )sin,cos( rrdrrrf Dddrrrrf )sin,cos( 二重积分化为二次积分时，根据积分区域二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：的特征，可分为以下三种情况：（1）极点）极点 O 在区域在区域 D 的外部的外部 )()(21 rrr Do)(2 rr )(1 rr :Dr doD )(0 )sin,cos( rdrr

6、rf（2）极点）极点 O 在区域在区域 D 的边界上的边界上 )(0 rr Dddrrrrf )sin,cos()( rr :Dr（3）极点）极点 O 在区域在区域 D 的内部的内部Do )( rr :D)(0 rr 20 Dddrrrrf )sin,cos( )(0 )sin,cos( rdrrrfr d 20d 计算计算dxdyyxD )1(22例例1 .122 yxD为为其其中中积积分分区区域域oxy1解解 drdrrD )1(2 sincosryrx1 r圆的极坐标方程为圆的极坐标方程为 2010:rD故故由直角坐标化由直角坐标化极坐标公式极坐标公式dxdyyxD )1(22 1022

7、0)1(rdrrd 10320)(drrrd 2010424121drr 2041d2 Daa解解dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae oxy sincosryrxar 圆的极坐标方程为圆的极坐标方程为 200:arD故故 arrded0220)(2 200221dear由直角坐标化由直角坐标化极坐标公式极坐标公式计算计算dxdyeDyx 22.222ayxD 为为其其中中积积分分区区域域21 练习练习 计算计算 dyxD 22例例2 .)(222ayaxD 为为其其中中积积分分区区域域 cos20:arD故故222)(ayax cos2ar 解解oxy dyxD 22

8、 cos20222adrrd 2233cos38 da 2033cos316 da 2023sincos316 da3932a 22 例例3 计计 算算dxdyyxD)(22 ， 其其 D 为为 由由 圆圆 yyx222 ，yyx422 及及直直线线yx3 0 ， 03 xy 所所围围成成的的平平面面闭闭区区域域. 解解6 3 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 xy03 yxoxyyyx222 yyx422 03 yx03 xy 2. 2. 二重积分的换元法（二重积分的换元法（2 2） .sin,

9、cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro 例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvov

10、u vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 2解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作广义极坐标变换作广义极坐标变换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drd

11、abrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 小小 结结一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有而被积函数中含有 的项时，的项时，22yx 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 Drdrdrrf )sin,cos( )()(21)sin,cos( rrrdrrrfd )(0)sin,cos( rrdrrrfd )(020)sin,cos( rrdrrrfd 采用极坐标采用极坐标计算往往比较方便计算往往比较方便.的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ （在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，