椭圆地定义与几何性质

1、椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3 ）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】 一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面一个动点尸到两个定点尺、耳的距离之和等于常数（隅1 +四二2°），这个动点匸的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若：卜匚 "】,则动点审的轨迹为线段工；若* '' 'l '，；-，则动点-匸的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1 当焦点在；：轴上时，椭圆的标准方程：，其中;；/+=12当焦点在&q

2、uot;轴上时，椭圆的标准方程：厂 旷 nJ ,其中-； 注意:1 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2. 在椭圆的两种标准方程中，都有：；7' > -和；3椭圆的焦点总在长轴上当焦点在T轴上时，椭圆的焦点坐标为'，；当 焦点在丁轴上时，椭圆的焦点坐标为'知识点三：椭圆的简单几何性质2 2 + 2L = 椭圆的的简单几何性质(1) 对称性,44=1对于椭圆标准方程 l ，把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换? y 2 4- y = 1成一x、一y,方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且

3、是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：(2 )围椭圆上所有的点都位于直线 x=±a和y=±b所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足|x| < a, |y| w b。(3) 顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆(a> b > 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A ( a, 0),A (a, 0), B (0, b) , B2 (0, b)。 线段A1A2, BB2分别叫做椭圆的长轴和短轴， |AiA|=2a , |BiB2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4) 离心率2c c

4、 =椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作“ 丿。因为a>c>0,所以e的取值围是0vev 1。 e越接近1，贝U c就越接近a,从而h =越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2x +y =aM宀椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）p 3|呜|十|尸晒|=, ;（2）|码| = |陀匕耳|=|理|之，肉引二必幼二炉孑；（3）虫州二同刊二"匚，人鸟卜旳引二&+亡,d-c<r<arc ；2T y . V X .

5、 +5"=1 +5"=1知识点四：椭圆.' 与J 厂(a> b> 0)的区别和联系标准方程图形B-4- JCnB性质焦占八 '、八、焦距对称性顶点列(-G0) FD?|尸迟|二玄（"肿_护）I片竝|= 2（7広=肿）IZ y<b?关于x轴、y轴和原点对称如0)(0出)?(0,±a)(比 0)?长轴长?,短轴长=二离心率密=2 (0 Y 总 V 1a准线方程+，IA = ±C> C焦半径| P& |= a|= a ? 亠冋*+即丨阴=a-ey2 +=_2 +1注意：椭圆J ，J(a> b>

6、; 0)的相同点为形状、大小都相同，参数间 (0 c < 1)的关系都有a>b>0和l；，a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程x 2 2 y2. x 2 2 y210化简的结果是。【例2】已知Fi(-8 , 0) , F2(8 , 0),动点P满足|PFi|+|PF 2|=16，则点P的轨迹为()A圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2 2【变式训练】 已知椭圆 +忆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点169距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5 , 1) , (3 ,

7、 2)则该椭圆的标准方程为 。【例4】 ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的轨迹.【例5】求以椭圆9x2 5y2 45的焦点为焦点，且经过点M (2,、6)的椭圆的标准方程.【变式训练】1焦点在坐标轴上，且a2 13 , c2 12的椭圆的标准方程为 。2、 焦点在x轴上，a : b 2:1， c6椭圆的标准方程为 。3、已知三点P( 5,2)、Fi(-6,0)、F2 (6,0),求以Fi、F?为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4J5%/54、 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和，过3 3P点作焦点所在

8、轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.考点三：利用标准方程确定参数2 2【例6】若方程丄+丄=15 k k 3(1) 表示圆，则实数 k的取值是.(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 k的取值围是.(3) 表示焦点在y型上的椭圆，则实数 k的取值围是 .(4) 表示椭圆，则实数 k的取值围是 .【例7】椭圆4x2 25y2 100的长轴长等于 ，短轴长等于,顶点坐标是, 焦点的坐标是 , 焦距是,离心率等于。2 2【变式训练】1椭圆1的焦距为2，则m =4 m.222、椭圆5x ky5的一个焦点是(0,2)，那么k 考点四：离心率的有关问题、求离心率1、用定义(求出a,c或找到c/a

9、 )求离心率22(1 )已知椭圆C ：笃打a b1,(a b 0)的两个焦点分别为Fi( 1,0),F2(1,0),且椭圆 C4 1经过点%訐则椭圆C的离心率2X(2)设F1F2是椭圆E :ab 0)的左、右焦点,P为直线x3a上-一占I*八 '、：2F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(1(a)22(B) 3(C) (D) 2x(3)椭圆飞a1 (a> b> 0)的左、右顶点分别是 A B左、右焦点分别是 F, F2。若|AF| , I F1F2I , |RB|成等比数列，则此椭圆的离心率为(4) 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为.2 ,焦点到相应

10、准线距离为 1,贝U该椭圆的离心率为2、根据题设条件构造 a、c的齐次式方程，解出 e。n ccma nac pc 0 mp(-)0m aa(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(43A. 5B.5 C.2 15 D. 5(2)在平面直角坐标系2 2xoy中,椭圆C的标准方程为予y1(a0,b0),右焦点为F ,右准线为丨，短轴的一个端点为 B,设原点到直线 BF的距离为di, F到丨的距离为d2,若d2 J6di,则椭圆C的离心率为 .(3) 设椭圆的两个焦点分别为F1.F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若三角形FiPFa为等腰直角三角形，则椭圆的

11、离心率为 。二)、求离心率的围(关键是建立离心率相关不等式)2 2(1)椭圆笃1(aa b1、直接根据题意建立 a,c不等关系求解.b 0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M , N，若MNF1F2，则该椭圆离心率的取值围是 2 2B为椭圆短轴上的端点，xV(2)已知F-i, F2为椭圆 二 21 a b 0的焦点，ab2、借助平面几何关系(或圆锥曲线之间的数形结合)建立a,c不等关系求解2 2x VP,使设F1，F2分别是椭圆 21( a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在a b线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值围是 。3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关

12、系求解(焦半径或横纵坐标围建立不等式)x2 y2(1) 椭圆二 2 1 (a > 0,b >0)的两个焦点为 F、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF 2|,a b则椭圆离心率的取值围为 。2 2(2) 已知椭圆X2 2 1(a b 0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且 OP垂直a b2c (其中c为椭圆半焦距)有四个于PA求椭圆的离心率 e的取值围 2 2(3)椭圆务-V7 1( a b 0)和圆X y a b不同的交点，求椭圆的离心率的取值围 考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程2P是椭圆上一点，A1PA21 a b 0，长轴端点为 A ,

13、 A2，焦点为F1, F2,F|PF2.求：F1PF2的面积（用a、b、 表分析：求面积要结合余弦定理及定义求角1的两邻边，从而利用 S 丄absinC求面积.2【变式训练】1、若P是椭圆2x100264 1上的一点，F1、F2是其焦点，且f1pf260 ,求厶F1PF2的面积.2、已知P是椭圆2 x252y1上的点，9PF1 PF21则厶F1PF2的面积为（| PF1 | | PF2| 2A. 3 3B.2 3F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，若）C.3D._33课后作业：一、选择题1 已知 Fi(-8 , 0),F2(8 , 0)，动点P满足|PFi|+|PF 2|=25，则点P的轨迹为

14、(A圆 B 椭圆 C 线段 D 直线23已知方程y 1表示椭圆，则k的取值围是()1 kA-1<k<12 217、椭圆X + y32B k>0=1与椭圆C k2 2X- + y =23> 0D k>1(0)有()或 k<-1(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对182 2椭圆L Z21与X2y 1(0<k<9)的关系为()259925(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、轴二、填空题2、椭圆X2162y91左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF的周长为4、求满足以下条件的椭圆的

15、标准方程(1)长轴长为10，短轴长为 6(2) 长轴是短轴的 2倍，且过点(2，1)(3) 经过点(5，1)，(3，2)5、若"ABC顶点B C坐标分别为(-4 , 0) , (4 , 0) , AC AB边上的中线长之和为 30,则"ABC的重心G的轨迹方程为2 26. 椭圆X2每 1(a b 0)的左右焦点分别是 F1、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于 P a b点。若/ RPF2=60。，则椭圆的离心率为7、已知正方形 ABCD则以A、B为焦点，且过 C D两点的椭圆的的离心率为 椭圆方程为.2 28已知椭圆的方程为 - y 1 , P点是椭圆上的点且F,PF2 60,求 PRF2的面积439. 若椭圆的短轴为 AB它的一个焦点为 Fi,则满足 ABF为等边三角形的椭圆的离心率为 _2 210. 椭圆 y 1上的点P到它的左焦点的距离是 12,那么点P到它的右焦点的距离是00362 211 已知椭圆冷 I 1(a 5)的两个焦点为F1、F2，且F1F2 8，弦AB过点F1，则 a 25 abf2的周长13、 中心在原点、长轴是短轴的两倍，一条准线方程为x 4 ,那么这个椭圆的方程为。14、 椭圆的两个焦