椭圆与双曲线常见题型归纳

1、椭圆与双曲线常见题型归纳曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系的综合型试题的分类求解例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0, .3),(0,.,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C ,直线y kx 1与C交于A, B两点。例2 设Fi、F2分别是椭圆I写出C的方程；U假设OA OB，求k的值y 例3.设F1、F2分别是椭圆 y2 1的左、右焦点，B(0, 1) .I假设P是该椭圆上的一个动 点，求PF： PF2的最大值和最小值；U假设C为椭圆上异于B 一点，且BF1CF1，求 的值；川设P是该椭圆上的一个动点，求 PBF1的周长的最大值.1的左、右焦点I假设P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF

2、2的最大值和最小值；U丨设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角其中O为坐标原点，求直线I的斜率k的取值范围例4.中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（.3,0）（1）求双曲线C的方程；（2）假设直线I : y kx 2与双曲线C恒有两个不同的交点 A和B,且OA OB 2（其中O为原点），求k的取值范围。例5.椭圆2b， a> b> 0的离心率e弓，过点A0,-b和Ba, 0的直线与原点的距离为弓.1:求椭圆的方程.2定点E-1，0，假设直线y二kx + 2kM0与椭圆交于 C D两点.问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？

3、请说明理由.2.“中点弦型y 4x m对称。1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线例7.双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e 3，焦距为2 3I丨求该双曲线方程II是否认存在过点P （1 , 1的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？假设存在，请求出直线l的方程，假设不存在，说明理由.例8椭圆的中心在原点，焦点为 Fi(O,22) , F20, 2j2，且离心率e 3I求椭圆的方程；II直线I与坐标轴不平行与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段AB中点 的横坐标为-，求直线I倾斜角的取值范围。23“弦长型2例9 直线y = kx + b与椭圆y2 1交于A

4、、B两点，记 AOB勺面积为S.4(I)求在k = 0, 0vbv 1的条件下，S的最大值；U )当| AB|= 2，S= 1时，求直线AB的方程.y例 10.向量 mi = 0，x，n1 = 1， 1，m2 =x，0，n2 =y2，1其中 x，y 是实数，又设向*" * I. * 十 1- *量m= mi +2n2，n = m2 2n1，且mn，点Px，y的轨迹为曲线 C.I求曲线 C的方f程；U设直线I : y kx 1与曲线C交于M N两点，当I上时，求直线I的方程.3“根本性质型2 2例11 设双曲线G的方程为笃爲a b1(a0,b0) , A、B为其左、右两个顶点,P是双曲

5、线Ci上的任一点，弓I QB PB, QAPA , AQ与 BQ相交于点Q 1求Q点的轨迹方程;2设1中所求轨迹为C2 , GC2的离心率分别为e62，当0 /2时，求62的取值范围2 2例12. P为椭圆L L 1上一点，F1、F2为左右焦点，假设 F1PF2 60 2591求厶fPF2的面积；2求P点的坐标.1共焦点，且以y4-X为渐近线，求双曲线方程.3例14. k代表实数，讨论方程kx 2例13.双曲线与椭圆-y49 24 2y2 8 0所表示的曲线.例1.解：I设Px, y，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0,J3）,（0,3）为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b 22（ ；&#

6、39;3）21，故曲线 C的方程为x2n设 A(xi,yi), B(X2,y2),其坐标满足22 yX4y kx1'消去y并整理得(k2 4)x2 2kx 3 0，故 1.XiX22kk2 4 X1X2假设OAOB，即 x1x2 y1y20 .而 y1y2k2x1x2k(NX2)曰是 x|X2y233k2k24 k2_ 2k24 k2410，化简得4k20,所以k例2.解:I解法一：易知 a2,b 1,cF1.3,0,F2.3,0 ，设 P x,y，那么PF1 PF2v3 x, y ,、3x,y2 3x2x21 3x28因为x42,2，故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时,PF1 PF2

7、有最小值即点P为椭圆长轴端点时,PF1 PF2 有最大值1解法二：易知a 2,b 1,c.3，所以 F1、.3,0,F2 . 3,0 ，设 P x,y，那么PF1 PF2 iPFr FF21 cosF1PF2|pf/ |PF22F1F22 芮| |PFZ1 x 3y2 x 3y2 12 x2 y2 3以下同解法一消去y，整理得：k212X4kx3 0 二 X1X24, 2由4k 4 k1 34k2 30 得:乜、k或k42n显然直线 x 0不满足题设条件，可设直线 |: yykx 2kx 2,A xny2 ,BX2,y2，联立 x22，y 144k3,X1X2 2 1,21kk44二又 00A

8、0B90°cos A0B 0OA OB 0,222二 OA OB x1x2 y1y20又 y1y2k2 kx?22x1x22k x1X23k8kk2k2k2 14k23k2-4&0，即k24故由、得2 k :或/ k 2例3.解:I易知2,b 1,c3 ,所以Fi.3,0,F23,0 ,设P x, y ,那么PFiPF2、3 x,y , 3 x, y搁畛* -因为2,2，故当x 0，即点P为椭圆短轴端点时,PFiPF2有最小值即点P为椭圆长轴端点时,PF1 PF2有最大值n设C Xq, Yq 丨,B(0, 1) F13,0由BF1CF1得Xq3(1)，y。丄，又讣川因为|P

9、F12y。|BF2|值为7(1(舍去)PBF1 周长W 4+|BF2| + |B F1| W &8.所以有+ |PB|2670解得=4 - |PF2| + |PB| W 4 +2当|所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，PBF1周长最大，最大例4解：I设双曲线方程为2y_b21 (a 0,b0).由得 a2双曲线C的方程为31.2kx 2代入3与双曲线交于不同的两点得3k2(6 2k)20,人区肆人）弋区必），那么Xa而 XaXbYa Yb29(k 1)XaXb (kXA21 3k1 k23.3由、得36(1 3k2)36(16. 2k1 3k2,XaXb2)(kxB2)3k2 7

10、 3k2 1 .1 k233,c2,再由a2'b222,得b21.故1得 (12、 23k )x6 2kx 90.由直线l即k21且k21.设0.3l2yk2)YaYb2,2 得 XaXbXb1.笃,由OA OB1 3k2(/ 1)XaXb2k(XA Xb)3k2 7 曲 3k2 92,即 23k 13k 1故k的取值范围为（J31,3)a例5.解析：1直线AB方程为：bx- ay- ab= 0.依题意解得2椭圆方程为3(12k)2 36(1ab.a2 b2y21 2假假设存在这样的 k值，由kx 2,3y23k2) 0 设 C(x1 , yj、D(x2, y2),那么X1滋2A0,解

11、此不等式得,1).a . 3,b 1得(1 3k2) x2 12kx 9 0 .X2X212k1 3k?而91 3k2y1y2那么x1 1 x2 121 即y1y2(x11)(x21)0 (k1)%X22(k1)(x1x2)5 0 .将式代入整理解得k - 经历证，k -，使成立综上可知，存在 k -，使得以CD为直径的圆过点 E.6 6 6例 6.解：设 A(%, yJ,B(X2, y2)，AB 的中点 M (x°, y°)，kABy2 *X2 X114,而3X12 仙212,3X22 4y2212,相减得 3(X22 X12) 4(y22 y12) 0,即y23(X1

12、X2),yo 3xo，3xo 4xo m, Xom, yo3mm2gm?而在椭圆内部，那么 -431,即冷m132、3例 7. 1 X22 y_212设 A(X1,yJ,B(X2,y2)，直线:y kx 1k ,代入方程x2(2 k2)x22k (1k)x(1k)220 2 k20那么X1 X22k(1 k)k21，解得k 2，此时方程为 2x2 4x方程没有实数根。所以直线 l不存在。例8解：I设椭圆方程为由已知c 2 2,又Ca解得a=3,所以b=1，故所求方程2出y2为X91 II设直线l的方程为ykx b(kM 0)代入椭圆方程整理得(k29)x22kbxb2 90由题意得X1x2(2

13、kb)24(k22kbk299)(b29)解得线I与坐标轴不平行故直线l倾斜角的取值范围是2 X2例9(I)解：设点A的坐标为(Xnb)，点B的坐标为(X2,b)，由 y21,解得4X1,22 1b2，所以S 1b|x12x2 | 2b 1 b2b2 1 b2 1 当且仅当b二时，S取到最大值2n解：由kxb得(4k21)x2 8kbx14b2401.16(4k2 b2 1)，| AB| = Vl_k2|7TV16(42 b 1 2 4k 1又因为0到AB的距离d|b|2S1所以b2k21TV| AB|代入并整理，得 4k44k2 10,解得,k21 b22,b32，代入式检验，>0故直

14、线AB的方程是：y2x或yx迈或yx卫或yx22222222例io解:|丨由,m (0,x)C2y2 八 2),G.2y2,x ，n(x,0)(；2八2(x .2, ,2).Vy2( )(xo即所求曲线的方程是:y2 1.n由2x2yy*消去y得:(1 2k2)x2 4kx 0.kx 1.解得 X1=0, X2=-14k2?(Xi,x2分别为M N的横坐标由 |MN|1 k2 |x1 x2|1yi43、2,解得:k 1.所以直线l的方程x y+1=0或x+y仁0.例11.解：1设P(x0,y。),Q(x, y)A( a,0),B(a,0), QBPB, QAPAy。一 y x0a x2X

15、76;2 2y。_ y2 2a x2彳-江匹1， 2a2y。2 2x a2y2xa2化简得：a2x2b2经检验，点(a,0), (a,0)不合题意，.点Q的轨迹方程为2a4, (y 0)由12x得C2的方程为一2a2y4a4aab22a2 a b22a22c a2，二 1e2例12.解析:a= 5, b = 3 c= 4 1设 |卩斤|知,|PF2|t2，那么t1t210<3 L123.32代入椭圆方2，由得tt 1222讯2 cos60 8丄讥2 -2c | y | 4 | y | 得 4|y | 3 3 |y | 口 2P(5 -13 3 342例13 解析:由椭圆49t12 tf2设程解得xF1 PF2sin60P(x,y)，由5、13 ?4F1 PF 242_y_4)或p(5匝，3L3)或P( 站3,3巨)或P(12将刁y4，5 133 3