力学 第四章 习题答案

1、第四章基本知识小结 功的定义式：直角坐标系中：自然坐标系中：极坐标系中： 重力势能 弹簧弹性势能 静电势能 动能定理适用于惯性系、质点、质点系机械能定理适用于惯性系 机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，碰撞的基本公式对于完全弹性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。克尼希定理绝对动能=质心动能+相对动能应用于二体问题 u 为二质点相对速率4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运

2、动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）k2=0k20k20df/dlk1l4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为表示弹簧的伸长量，k1为正，研究当k20、k2<0和k2=0时弹簧的劲度df/dl有何不同；求出将弹簧由

3、l1拉长至l2时弹簧对外界所做的功。解：弹簧的劲度df/dl=k1+3k2l2. k2=0时，df/dl=k1，与弹簧的伸长量 无关；当k2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 在以上三种情况中，劲度df/dl与弹簧伸长量l的关系如图所示。F4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,1变为r2,2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F4.

4、2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin)mg，N = Fv = (0.04+sin)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin= 0.04mg, F'=(0.04-sin)mg,N'= (0.04-sin)mgv'.令N'= N, 即（0.04+

5、sin）mgv = (0.04-sin)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin)/(0.04-sin). 利用三角函数关系式，可求得： sintg=0.02 ,v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s. 4m3mABTx4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功： 设木块到达B时

6、的速度为v，由动能定理：，方向向右4.3.2 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。 0.5m y 0.5m B 0.5m F N F W A A x解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：AN = 0；AW = -mg(yB-yA)=-1.2×9.8×0.5= -5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。由动能定理：代入数据，求得

7、vB =3.86 m/s.kl4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0 向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为求证物体能达到的最远距离l为mm证明：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置l，弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv02/2 其中，代入中，并整理，有：kl2+2mgl-m v02=0. 这是一个关于l的一元二次方程，其根为：，负根显然不合题意，舍去，所以，4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各

8、为V1,V2，膨胀前的压强为p1，活塞初速率为v0. 求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量. 若气体压强与体积的关系为pv=恒量，为常量，活塞末速率又如何？p,vmSx解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg，气体对活塞的压力N=pS（S为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律：若pV=p1V1，若pV=p1V14.3.5 o'坐标系与o坐标系各对应轴平行，o'相对o沿x轴以v0做匀速直线运动. 对于o系质点动能定理为：，v1,v2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于o'系，动能定

9、理也取这种形式。证明：由伽利略变换：x=x'+v0t , v=v'+v0，x=x'+v0t v1=v1'+v0，v2=v2'+v0 ，将代入中，有 据动量定理：所以， 4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为e的离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速.设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R.求证在D漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R2/2U.证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即，mv2/2-0=eU,v=(2eU/m)1/2正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹

10、力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2/R,也就是，eB=mv/R，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：e2B2=2meU/R2，m=eB2R2/2U. y4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 30º l v1在可沿水平方向移动的框架内，框架 30º槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x平力F=20.0N作用下移至图中位置， v2求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在

11、o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30º圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中，AW1= - m1gl(1-cos30º)= - 0.13J, AF = F l sin30º= 2J,由质点系动能定理，有代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30º)2=1.44v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s. oxlk1

12、k24.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0xl和x<0时弹性势能的表达式。解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2的势能表达式显然为：；弹簧1的势能：当0xl时，当x<0时，4.5.1 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30º角，不计摩擦，求：运动员离开B处的速率vB；B、C的垂直高度差h及沟宽d；运动员到达平台时的速率vc

13、.vc30ºAdH=25m解：运动员在整vB个运动过程中,只有重h力做功,故机械能守恒，取B点为势能零点。mgH = mvB2/2运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc = vB cos30º = 19.1m/smvB2/2 = m vc2/2+mgh h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：0 = vBsin30º-gt t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ºt = 21.6m.4.5.2装置如图所示，球的质量为5k

14、g，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。ABCo解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：，可求得：4.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮

15、筋的自由长度.求:物体Q的最大速度; 物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度.解: 物体Q在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒.总能量E= 代入数据，求得E=3.63J Q A在B点, 弹簧的势能全部转化为动能，所以, 在该点速度最大.CmVB2/2 = E, vB = (2E/m)1/2 = 1.2m/s B D在D点的弹性势能，Ep=k(2R)2/2=2kR2=2×24×0.242=2.76 Ep<E 物体Q能达到D点. m vD2/2=E-Ep , vD=2(E-Ep)/m1/2代入数据，求得 vD=0.58m/s4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写

16、道：可以预言，当粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射粒子能量的64%.试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且粒子质量接近氢原子质量的四倍).证明: 设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度vH',粒子质量为4m,碰前速度为v,碰后速度为v'.根据完全弹性碰撞基本公式： 即 ， ×4，得 8 v= 5vH', vH'= 8 v/5 = 1.6 v4.6.2 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。

17、 vmM解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度v，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m) f第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v变为零，由动能定理，有 fs = 0 - (M+m) v2 /2,将v代入，可求得 4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A自高度h1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。h1A Bx解：设两球质量均为m，球A由h1高处运动到

18、水平位置获得的速度vA，可由能量守恒方程求出：mgh1=mvA2/2vA=设A,B两球碰后速度分别为vA'和vB'，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有 即， 可求得，设A球弹回后的最大高度为h，根据能量守恒,mvA'2=mgh若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：vA'=0, vB'=vA ,即，碰后A球静止，B球以A球原来的速度向右运动；B球达到h1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A球，周而复始，这种传递永远进行下去。4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/

19、s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？mv0vVMl解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h由动量守恒：，可得 由能量守恒：4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。hmm解：框架静止时，弹簧伸长l=0.1m，由平衡条件mg=kl,求得：k=mg/l=0.2×9.8/0.1=19.6N/m铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒：设框

20、架下落的最大距离为x，由机械能守恒：，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方程：4.6.6 质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？m0m1m2解：整个过程可分为两个阶段 v0处理。第一阶段：子弹射入m1内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有m0v0 = (m1+m0) v v = v0m0 / (m1+m0) （1）第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m1与

21、m2有相同的速度V,压缩结束；在此过程中，由m0,m1,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：由能量守恒:将、代入中，可求得：v0m1m2hSv4.6.7 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为v，由动量守恒：由平抛运动公式,可求得子弹落地时间：，所以，水平距离S=vt=10×1=10m4.6.8在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有A、B两个质点，B

22、在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下，已知A、B两质点的质量分别为m1和m2，球A、B至少发生两次碰撞的条件。vA vBA解：设碰前mA的速度Bv0h为v0,碰后mA、mB的速度分别为vA、vB，方向如图示。由能量守恒，有mAgh = mA v02/2 , v0 = (2gh)1/2 (1)根据完全弹性碰撞基本公式，有 ,联立求解，得发生两次碰撞的条件是：vA>vB , 即 mB-mA>2mA mB>3mAv0lABCD4.6.9一钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD长l，铁箱与地面间无摩擦

23、，铁箱被加速至v0时开始做匀速直线运动，后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？解：以地为参考系，设v10,v1为钢球与AC端碰撞前后的速度，v20,v2为铁箱碰撞前后的速度，据题意，v10=0,v20=v0. 对于完全弹性碰撞，碰前接近速度等于碰后分离速度：v0=v1-v2，分离速度v1-v2也就是碰后球相对箱的速度v'，所以钢球由AC端运动到BD端所需时间为：4.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动，另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l，求：货箱与车厢地板间的摩擦

24、系数；车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。Mv02v0MM解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v（向左），由动量守恒：M(2v0)-Mv0=2Mv, v=v0/2第二阶段是两节车厢以速度v在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是l，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：Af=-mgl，对质点系应用动能定理：设货箱相对车的速度为v'，显然，v'=v0+v=2v+v=3v，两边同乘摩擦力作用时间t，即为对应的距离，l=3d, d=l/34.7.1 质量为M的氘核以速率u与静止的质量为2M的粒子发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成90º角散射。求粒子的运