高二学业水平考试数列复习(共27页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 数列 第1讲 数列的概念与简单的表示法这是一次课两个课时，供参考高考考试大纲的要求： 了解数列的概念和几种简单的表示方法. 了解数列是自变量为正整数的一类函数.知识整合1.数列的定义： 的一列数叫做数列.2.数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 3.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项. 4.数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，5数列的分类：（1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 数列。（2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 从第2项起，每一项

2、都大于它的前一项的数列叫做 数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 数列；各项相等的数列叫做 数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 数列。典例分析例1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 将数列变形为10, 21, 30, 41, 50, 61,

3、 70, 81, , n；(5) 将数列变形为1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6,， (1)n(n1)例2.设数列满足写出这个数列的前五项。解：据题意可知：，例3.已知， 写出前5项，并猜想 法一： ，观察可得 法二：由 即 例4.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN). 解：(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1);(2) 1, , , ;(3) 31+2, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2,

4、 12·3;课后作业一、选择题1在数列，中，的值是（ ） A B C D2数列，的一个通项公式是（ ） A、 B、 C、 D、3已知数列的通项公式为，那么是这个数列的（ ） A第3项 B第4项 C第5项 D第6项4若一数列的前四项依次是，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A B C D5设数列，其中均为正数，则此数列（ ） A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增6.设数列为则是该数列的 ( . )A.第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项二、解答题7已知，则在数列的最大项的值为_.8已知数列的通项公式，且，求。9.已知数列， 那么3是这个数列的第 项

5、。10根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，; （2），; （3）9，99，999，9999，; （4）0，1，0，1，0，1，； （5），第2讲 等差数列及前n项和高考考试大纲的要求： 了解等差数列与一次函数的关系. 理解等差数列的概念. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情景中，识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决问题。知识整合1. 等差数列的定义： （，）2等差数列的通项公式：，3等差数列的前n项和公式：4等差中项：若A是与的等差中项，则.5.等差数列的判定方法：定义法：常数（）为等差数列；中项公式法：（）为等差数列；通项公式法：（）为等差数列；

6、前项求和法：（）为等差数列；6.等差数列的相关性质:等差数列中，变式；等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列等差数列中，若，则，若，则等差数列中，（其中）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列 若是公差为的等差数列,则其子列也是等差数列,且公差为; 也是等差数列,且公差为在项数为项的等差数列中，； 在项数为项的等差数列中 等差数列中，也是一个等差数列，即点（）在一条直线上; 点（）在一条直线上.两个等差数列与中,分别是它们的前项和,则.7.解题技巧:(1)涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量来处理； (2)若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值

7、时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元 典例分析例1 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32例2一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100&

8、#176;,求边数n. 解：由(n2)·180100n×10，求得n17n720, n8或n9, 当n9时, 最大内角100(91)×10180°不合题意，舍去， n8. 例4.在等差数列中，已知，求前20项之和解：由.由课后作业A组一、选择题1. (2012年高考福建卷理科2)等差数列中，则数列的公差为（ ）A1 B2 C3 D42. （2011年高考江西卷文科5)设为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）A.18 B.20 C.22 D.243. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n

9、项和, ,则的值为（ ）A-110 B-90 C90 D1104.(2012年高考辽宁卷理科6)在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）(A)58 (B)88 (C)143 (D)1765（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列中，则的值为( )（A）5 （B）6（C）8 （D）106（2010年高考福建卷理科3）设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于( )A.6 B.7 C.8 D.97. (2012年高考四川卷文科12)设函数，是公差不为0的等差数列，则（ ）A、0 B、7 C、14 D、218(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，

10、若，公差，则 （ ）（A）8 （B）7 （C）6 （D）5二、填空题9. (2012年高考广东卷理科11)已知递增的等差数列an满足a1=1，则an=_.10(2012年高考北京卷理科10)已知等差数列为其前n项和,若，则=_.11（2010年高考辽宁卷文科14）设为等差数列的前项和，若，则 12. (2012年高考江西卷理科12)设数列an,bn都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=_13(2012年高考北京卷文科10)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=_，Sn=_。14. (2011年高考湖南卷理科12)设是等差数列的前项和，且，则 .

11、15. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .三.解答题 16. 已知等差数列的前5项和为105，且.()求数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.第3讲 等比数列及前n项和高考考试大纲的要求： 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前项和公式 了解等比数列与指数函数的关系知识整合1. 定义: 数列an从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：an=a1qn1，推广形式：an=amqnm.变式：q=（n、mN*）.3.前n项和Sn=注：q1时，=.4.等比中项：若a

12、、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±.5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、aq、aq3为好.6.证明等比数列的方法：（1）定义法：只需证=非零常数；（2）等比中项法：只需an+12=an·an+2或=.7.等比数列的性质：若m+n=p+k，则典例分析例1如果等比数列an中，a3·a4·a5·a6·a74，那么a5( )A2 B. C±2 D±解析：依题意得a2，a5. 答案：B例2设数列an，bn分别为等差数列与等比数列，且a1b14，a4b41，则以下结

13、论正确的是( )Aa2b2 Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1b14，a4b41，得d1，q2，于是a23b22. 答案：A例3设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )A. B. C. D1解析：由题意得a22a1，a34a1，a48a1. 答案：A例4(2012·长沙模拟)已知等比数列an中，an0，a10a11e，则lna1lna2lna20的值为( )A12 B10 C8 De解析：lna1lna2lna20ln(a1a20)·(a2a19)(a10a11)lne1010.答案：B例5(2011

14、·辽宁高考)若等比数列an满足anan116n，则公比为( )A2 B4 C8 D16解析：由anan116n，得an1·an216n1，两式相除得，16，q216.anan116n，可知公比为正数，q4.答案：B例6(2011·福建高考)已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.解析：由题意得2q22q4，解得q2或q1.又an单调递增，得q1，q2.答案：2例7(2012·江南十校联考)已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为_解析：当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S11，所以an.例8(2011&

15、#183;新课标全国卷)已知等比数列an中，a1，公比q.(1)Sn为an的前n项和，证明：Sn；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式解：(1)证明：因为an×()n1，Sn3n，所以Sn.(2)因为bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通项公式为bn.例9(2011·江西高考)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a>0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解：(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由

16、b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.课后作业一、选择题1.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（ ）A.2 B.4 C.8 D.162.(2012年高考新课标全国卷理科5)已知为等比数列，则（ ）A.7 B.5 C.-5 D.-7 3. (山东省威

17、海市2012年3月高三第一次模拟） 数列中，已知对任意则等于( )A.B.C.D.4（2010年高考山东卷文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. (2010年高考浙江卷文科5)设为等比数列的前n项和，则（ ）A.-11 B.-8 C.5D.116. (东北哈三中等四校2012届高三第二次联考文科)设等比数列的公比2，前项和为，则等于（ ）A. B C. D. 7. （2012年高考安徽卷文科5）公比为2的等比数列 的各项都是正数，且，则 =（ ）A. 1 B.2 C. 4 D.

18、88(2012年高考北京卷文科6)已知为等比数列，下面结论种正确的是（ ）（A）a1+a32a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3a1，则a4a29. (2012年高考湖北卷文科7)定义在（-，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an）仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-，0）（0，+）上的如下函数：f（x）=x²；f（x）=2x；f（x）=ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A. B. C. D.二、填空题10（2012年高考辽宁卷文科14）已知等比数列an为递增数列.若a1&

19、gt;0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列an的公比q = _.11. (2012年高考广东卷文科12)若等比数列an满足，则 .12.（2012年高考新课标全国卷文科14）等比数列an的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_13.(2012年高考重庆卷文科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 14. (2012年高考江西卷文科13)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an2an1-2an=0，则S5=_。三.解答题15. (2012年高考陕西卷文科16) 已知等比数列的公比为q=-.（1）若，求数列的前n项和；（）证明：对任

20、意，成等差数列. 第4讲 数列求和及综合应用高考考试大纲的要求： 掌握等差、等比数列求和的基本公式及注意事项. 理解并能运用数列求和的其他常见方法. 能在实际情形中运用数列知识解决实际问题。知识整合典例分析例1.等比数列的前n项和为则数列的前n项和 . 答案: 解析:当时 . .例2.等比数列中,已知. (1)求数列的通项公式; (2)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前n项和. 解:(1)设的公比为q,由已知得解得q=2. 所以. (2)由(1)得则. 设的公差为d,则有 解得 从而1)=12n-28. 所以数列的前n项和. 例3已知数列an的通项公式是an，若前n项和为

21、10，则项数n为 ( )A11 B99 C120 D121解析：C an，Sna1a2an(1)()()1.令110，得n120.例4.求：解析：略例5.求数列 的前n项和。解析：略例6.已知，则_ 解析：略例7 某人年初向银行贷款10万元用于购房.（）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？解：（）若向建设银行贷款，设每年还款x元，则105×(110×5

22、%)x(19×5%)x(18×5%)x(17×5%)x即：105×1.510x45×0.05元，解得x12245(元)（）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：105×(14%)10y(14%)9y(14%)8y(14%)y即105×1.0410·y其中：1.0410110×0.0445×0.042120×0.043210×0.0441.4802.y12330(元)答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元.课后作业一、选择题1.(2012

23、年高考重庆卷)在等差数列中，,则的前5项和=( ) A.7 B.15 C.20 D.25 2(2012年高考全国卷)已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为( )A B C D3（2009年高考湖南卷）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 4.(2012年高考辽宁卷)在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=( )(A)58 (B)88 (C)143 (D)1765. (2011年高考天津卷)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为( )A-110 B-90 C90 D1106.(2011年高

24、考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则( )A 15 B 12 C D7. (2012年高考福建卷文科11)数列an的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A.1006 B.2012 C.503 D.0（1） 解答题 8（2011年高考重庆卷文科16)设是公比为正数的等比数列，。 （）求的通项公式；（）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.9. (2011年高考全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设 求数列的前项和.10.(2011年高考辽宁卷)已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列

25、的前n项和.11. (山东省济南市2012年2月高三定时练习)已知公差大于零的等差数列，且为等比数列的前三项.（1）求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求第1讲 数列的概念与简单的表示法课后作业答案略第2讲 等差数列及其前N项和【课后作业】参考答案A组参考答案：1-8.BBDBAADD 9. 10. 11.15 12.35 13. 14.25 15.1016.B组参考答案：1. B解析:若a=b=c=0得不出+ =2.2. B解析：an是等差数列，a20=a1+19d=1.3. D解析：运用定义法加以判断，知为等差数列.4. B解析：由题意知，每天募捐款成等差数列，设需要n天，则10n+=

26、1 200.即n2+n-240=0,(n+16)(n-15)=0,解得n=15.5. D解析：a1+a2+a3+a4+a5 =34,an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,又a1+ an = a2+an-1=a5+an-4,5(a1+an)=180,a1+an=36.Sn=234=,n=13.a1+a13=2a7=36,故a7=18.6. A解析：S9S8=S7,a9=S9-S80,a8=S8-S7=0.d=a9-a8=a90,故B、D正确.a8=0,d0,a70,S7=S8为最大值,故C正确.a90,d0,a100,S10-S90,即S10S9,故A错.7. a23,a24解析

27、：3an+1=3an-2,an+1-an=-,an是以首项a1=15,公差为-的等差数列.an=a1+(n-1)d=15+(n-1)×（-）=-n+.由得n,故n=23.8. 19解析:由已知条件可知，等差数列an是首项为正，公差为负的递减数列.由<-1，可得a11<0,a10>0，且a10+a11<0,S20=<0,S19=19a10>0，由此可得当Sn取得最小正值时，n=19.9. 14解析:被7除余3的数组成以首项为3，公差为7的等差数列.an=3+(n-1)×7=7n-4,令7n-4100得7n104,n,又nN*,有14个.10

28、. -解析：a1+a7+a13=4,a7=.tan(a2+a12)=tan 2a7=tan =-.11. (1)证明：an=2an-1+2n(n2且nN*),即数列是等差数列，且公差d=1,首项.(2)由(1)得=+(n-1)·1=n-,an=(n-)·2n.12. (1)设数列an的公差为d,由S10=120,得2a1+9d=24,又a6=a1+5d=13.解得a1=3,d=2.因此an的通项公式是an=2n+1(nN*).(2)Sn=bn=.由2b2=b1+b3得,化简得c2-2c=0,c0,c=2.当c=2，即得bn=n,bn+1-bn=(n+1)-n=1,bn为等差

29、数列，符合题意,c=2.第3讲 等比数列及前N项和【课后作业】参考答案A组参考答案1-9.BDBCACABC 10.2 11. 12.-2 13.15 14.11 15.略B组答案一、选择题1. D2. B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B。3. A4. C5. B解析：设公比为q ,则1q33 Þ q32, 于是6. C7. C8. A9. C10. D二、填空题11. 12. 13. 14. 2011三、解答题15. 解析：（1）设等比数列的公比为q，则 解得 所以 （2） 由16. 解析：（1）由题意有 ，又，故 （2）由已知得从而17.

30、解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列，且公差为 （先求也可） （2）因，又，所以由由. （3）因当时，所以时，； 又可验证是时，；时，. 18. 解：（）因为是和的一个等比中项，所以由题意可得因为，所以解得所以故数列的通项公式（）由于（），所以 -得 所以 第4讲 数列求和及综合应用【课后作业】参考答案A组参考答案1-7.BACBDAA 8. 9. 10. 11.B组参考答案1D a7是a3与a9的等比中项，公差为2，所以aa3·a9，所以a(a78)(a74)，所以a78，所以a120，所以S1010×2010××(2)110.故选D.2A 由题

31、意知：2(a1)(a1)2a3，解得：a0，a11，d2，an12(n1)2n3.3C Sn1357(2n1)4C an，Sna1a2an(1)()()1.令110，得n120.5A 由题可知，an1(nN*)，两边取倒数可得，3，即3，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为3n2，所以数列an的通项公式为an.6解析 当n1时，a1S11109；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.易知a19也适合上式综上，an2n11.答案 an2n117解析 原式分子为135(2x1)x2，原式分母为：1，故原式为：x2x110，解得x10.答案 108解析 a

32、n为等比数列，且a1，a44，q38，q2，an·(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|(2n1)2n1.答案 2 2n19解 (1)数列an是等差数列，由S55a1d35.a12d7.由a2，a7，a22成等比数列，aa2·a22，(a16d)2(a1d)(a121d)(d0)，2a13d0.解得：a13，d2，an2n1.(2)由(1)知，Sn3n·2n22n.（）.10解 (1)A963，A99a563，a57.由a1a56，得a11，d2.an2n3.Bn2bn1，Bn12bn11(n2)，由得bn2bn2bn1，bn2bn1(n2)又b12b11，b11.数列bn是首项为1，公比为2的等比数列，bnb1·q