大学物理-电荷与电场

1、静电场和电场强度静电场和电场强度 相对于观察者静止的电荷称为相对于观察者静止的电荷称为静电荷静电荷。它在空间所产生的场称为它在空间所产生的场称为静电场静电场，它是电，它是电磁场的一种特殊状态。本章主要研究静电磁场的一种特殊状态。本章主要研究静电场的基本性质和规律。场的基本性质和规律。一、电荷的量子性一、电荷的量子性1、电荷电荷 物质所带的电称为电荷，是物质的固物质所带的电称为电荷，是物质的固有属性。有属性。2、电荷的基本性质电荷的基本性质 电荷与电荷间存在电荷与电荷间存在相互作用力，同性相斥；相互作用力，同性相斥；异性相吸。异性相吸。3、电量电量 带电体所带电荷的量值，一般用带电体所带电荷的量

2、值，一般用q表表示。示。单位：库仑单位：库仑(C) 带电量最小的带电粒子：电子。带电量最小的带电粒子：电子。1913年美国物理学家密立根油滴实验直接测定年美国物理学家密立根油滴实验直接测定了基本单元电的量值。了基本单元电的量值。电子电量：电子电量：C10602. 119e基本电荷量基本电荷量 自然界中存在着两种不同性质的电荷，自然界中存在着两种不同性质的电荷，一种称为一种称为正电荷正电荷，另一种称为，另一种称为负电荷负电荷。4、电荷量子化：、电荷量子化： 物体带电均为电子电量的整数倍，物体带电均为电子电量的整数倍，近近代物理理论：基本粒子由若干种代物理理论：基本粒子由若干种夸克夸克或或反反夸克

3、夸克组成，每一夸克或反夸克具有的电量组成，每一夸克或反夸克具有的电量为基本电荷的三分之一或三分之二。至今为基本电荷的三分之一或三分之二。至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克，仅在一些间接的实验中得到验证。反夸克，仅在一些间接的实验中得到验证。1,2,3,nneq6电荷守恒定律：电荷守恒定律： 在一个孤立的带电系统中，无论发生在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统所具有的正负电荷电量的什么变化，系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。代数和保持不变。7、电荷的运动不变性：、电荷的运动不变性： 一个电荷的电荷量与它的运动状态一个电荷的电荷量与

4、它的运动状态无关，即系统所带电荷量与参考系的选无关，即系统所带电荷量与参考系的选取无关。取无关。5、物体带电的本质物体带电的本质 两种物体间发生了电子的转移。即两种物体间发生了电子的转移。即一物体失去电子带正电，另一物体得到一物体失去电子带正电，另一物体得到电子带负电。电子带负电。二、库仑定律二、库仑定律1. 点电荷点电荷(理想模型理想模型) 带电体的大小和带电体之间的距离相比很小时，就可看作点电带电体的大小和带电体之间的距离相比很小时，就可看作点电荷。荷。(忽略其形状和大小忽略其形状和大小)2. 库仑定律库仑定律库 仑库 仑 ( 1 7 3 6 -1806)法国工程法国工程师、物理学家师、物

5、理学家真空中两个静止点电荷的相互作用真空中两个静止点电荷的相互作用2. 库仑定律库仑定律rrqqF321041 真空真空中中两个静止点电荷两个静止点电荷相互作用的库相互作用的库仑定律：仑定律：真空中两静止点电荷真空中两静止点电荷之间的作用之间的作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比间距离的平方成反比 。F1q2qr其中：其中：)CmN(1085. 8221120 0: 真空中介电常数真空中介电常数(真空中电容率真空中电容率) 讨论：讨论：(1) 库仑定律为实验定律，库仑定律为实验定律，r 从从 10-15m 107m范围均成立，且服从力的

6、矢量合范围均成立，且服从力的矢量合成法则。成法则。 (2) 库仑定律库仑定律只适用于静止的点电荷只适用于静止的点电荷，此时它们之间的库仑力为一对作用力和反此时它们之间的库仑力为一对作用力和反作用力。作用力。三、电场与电场强度三、电场与电场强度1.“场场”的提出的提出 17世纪世纪 英国牛顿：英国牛顿：力可以通过一无力可以通过一无所有的空间以无穷大速率传递，关键是归所有的空间以无穷大速率传递，关键是归纳力的数学形式而不必探求力传递机制。纳力的数学形式而不必探求力传递机制。 法国笛卡尔：法国笛卡尔：力靠充满空间的力靠充满空间的“以太以太”的涡旋运动和弹性形变传递。的涡旋运动和弹性形变传递。 电磁力

7、的超距作用理论：电磁力的超距作用理论： 英国法拉第：英国法拉第：探索电磁力传递机制探索电磁力传递机制, 由电极化现象和磁化现象提出由电极化现象和磁化现象提出“场场”的概的概念。念。 19 世纪世纪 英国麦克斯韦：英国麦克斯韦：建立电磁场建立电磁场方程，定量描述场的性质和场运动规律。方程，定量描述场的性质和场运动规律。电荷电荷电荷电荷电场电场 场具有质量、能场具有质量、能量和动量等。两个点电量和动量等。两个点电荷之间通过交换荷之间通过交换场量子场量子而发生相互作用。电磁而发生相互作用。电磁场的场量子就是场的场量子就是光子光子。 电磁力产生的场的观点电磁力产生的场的观点：2. 电场与实物的比较：电

8、场与实物的比较：电场与实物的共同点：电场与实物的共同点：(1) 都是客观存在的都是客观存在的, 是可知的；是可知的；(2) 与实物的多样性一样，场的存在形式也是多样的；与实物的多样性一样，场的存在形式也是多样的；(3) 在场内进行的物理过程也遵循质量守恒、能量守恒、动量守在场内进行的物理过程也遵循质量守恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等规律；恒和角动量守恒等规律；(4) 场也不能创生、不能消灭，只能由一种形式转变为另一种形式。场也不能创生、不能消灭，只能由一种形式转变为另一种形式。电场与实物的区别：电场与实物的区别：(1) 实物质量密度大实物质量密度大( 1000kg/m3), 场质量密度很

9、小场质量密度很小( 10-23kg/m3)，无无 静止质量；静止质量；(2) 实物不能达到光速，场则以光速传播；实物不能达到光速，场则以光速传播；(3) 实物受力产生加速度，场则不能被加速；实物受力产生加速度，场则不能被加速；(4) 实物具有不可入性，以空间间断形式存在，可以作参考系；实物具有不可入性，以空间间断形式存在，可以作参考系；具有可入性，以连续形式存在，具有可叠加性，不能作为参考系。具有可入性，以连续形式存在，具有可叠加性，不能作为参考系。 电场与实物电场与实物联系联系: 实物周围存在相关的场，场传递实物间的相互作用，场和实实物周围存在相关的场，场传递实物间的相互作用，场和实物可以相

10、互转化。物可以相互转化。 现代物理认为场是更基本的，粒子只是场处于激发态的表现。现代物理认为场是更基本的，粒子只是场处于激发态的表现。3. 电场强度电场强度描述电场强弱、方向的物理量。描述电场强弱、方向的物理量。 场源电荷场源电荷: 产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。试验电荷试验电荷: :电量足够小的点电荷。电量足够小的点电荷。略去对场源电荷分布的影响略去对场源电荷分布的影响与场点对应与场点对应电场强度：电场强度： 试验电荷试验电荷q0在电场中在电场中P点所受的力点所受的力，同试验电荷电量，同试验电荷电量之比为之比为P点的电场强度。点的电场强度。 教材

11、教材P154静电力和万有引力。静电力和万有引力。3. 电场强度电场强度(1) 定义：定义：恒恒矢矢量量0qFE大小：等于单位试验电荷在该点所受大小：等于单位试验电荷在该点所受电场力；电场力；方向：与方向：与 +q0受力方向相同受力方向相同。单位：单位：N C-1 或或 V m-1根据库仑定律，试验电荷受力为：根据库仑定律，试验电荷受力为：rrqQF30041电场强度：电场强度： 试验电荷试验电荷q0在电场中在电场中P点点所受的力所受的力，同试验电荷电量之比为，同试验电荷电量之比为P点的电场强度。点的电场强度。 Fq0qr+ + +Fq0qr- -+ +(2) 真空中点电荷真空中点电荷Q的电场：

12、的电场：rerQqFE20041(2) 真空中点电荷真空中点电荷Q的电场：的电场：rerQqFE20041讨论：讨论： a.反映电场本身的性质，与试验电反映电场本身的性质，与试验电荷无关。荷无关。 b.电场强度是点函数电场强度是点函数 c.均匀电场：电场强度在某一区域均匀电场：电场强度在某一区域内，大小、方向都相同。内，大小、方向都相同。 d.电场中电荷受力：电场中电荷受力：),(zyxEEEqF四、场强叠加原理四、场强叠加原理0qFEnEEE21nnqFqFqF2211niiE1q1q2q31E2E3E五、电场强度的计算五、电场强度的计算1. 点电荷的电场点电荷的电场rrqqFE300412

13、. 点电荷系的电场点电荷系的电场iiirrqE30413. 连续带电体的电场连续带电体的电场rEdqdPrrqE30d41dVSlqdddd建立直角坐标，分解建立直角坐标，分解zzyyxxEEEEEEdddkEjEiEEzyx： 线电荷密度线电荷密度： 面电荷密度面电荷密度： 体电荷密度体电荷密度2220)4/(24lrrlq302rpElr例例6-1、 求电偶极子的电场。求电偶极子的电场。电偶极子：相距很近的等量异号电荷电偶极子：相距很近的等量异号电荷电偶极矩：电偶极矩：l qp1) 轴线延长线上轴线延长线上A的场强的场强qqAlr2lEEEEE)2(1)2(14220lrlrq解：解：五、

14、电场强度的计算五、电场强度的计算点电荷系的电场点电荷系的电场iiirrqE30412) 中垂面上中垂面上B的场强的场强qqBrlErErEiEE)coscos(ilrllrq42244 22220304rplr解：建立如图的坐标解：建立如图的坐标系，电场在系，电场在y方向分量方向分量互相抵消。互相抵消。xyiEEExx)(ilrql2/322044 五、电场强度的计算五、电场强度的计算点电荷系的电场点电荷系的电场iiirrqE3041例例6-2、求长度为求长度为l 、电荷线密度为、电荷线密度为 的的均匀带电直细棒周围空间的电场均匀带电直细棒周围空间的电场。1P2ayOdqEdrxEdyEd解：

15、建立坐标系解：建立坐标系O-xy任取电荷元任取电荷元xqddrrqE304dd矢量分解：矢量分解：cosddEExsinddEEycos4d20rxsin4d20rx统一变量：统一变量： ctg axd cscd 2ax 22222cscaxar)cos(cos4dsin4)sin(sin4dcos4210012002121aaEaaEyxxyyxPEExEEEarctan 22夹角与)cos(cos4dsin4),sin(sin4dcos4210012002121aaEaaEyx1P2ayOdqEdrxEdyEd讨论：讨论：1) 棒延长线上一点棒延长线上一点ixqEx204ddixxElbb

16、204dilbbl)(40 lb204 blE点电荷点电荷2) 对靠近直线场点：对靠近直线场点： a棒长棒长 无限长带电直线无限长带电直线 , 0 21aEEEyx02 0 理想模型理想模型:无无限长带电直线限长带电直线场强公式场强公式P bdq3) 对半无限长：对半无限长： , 2/ 21aEaEyx004 4 2/ , 0 21的情况呢？的情况呢？例例6-3、求半径为求半径为R 、带电量为、带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场。的均匀带电细圆环轴线上的电场。ORx P解：在圆环上取电荷元解：在圆环上取电荷元dqqdEdrlRqlqd2ddrrqE304ddqdEdrEd/dE/dddEE

17、E由对称性可知由对称性可知0dEE cos4d20/rqEErxRlqr2d4120 d2142030RlRrqx23220)(4Rxqx23220)(4RxiqxE讨论：讨论：0E2、204 xqERx1、环心处环心处各电荷元在各电荷元在P点 的 场 强 方点 的 场 强 方向 不 同 ， 分向 不 同 ， 分布 于 一 个 圆布 于 一 个 圆锥面上。锥面上。x点电荷点电荷例例6-4、 均匀带电圆平面的电场轴均匀带电圆平面的电场轴线上的电场强度线上的电场强度(电荷面密度电荷面密度 )。OxrdrP解：任取半径为解：任取半径为r的圆环的圆环rrqd 2d23220)(4RxqxE得：得：23

18、220)(4ddrxqxE )(4d2R023220rxrrxE1 2220Rxx讨论：讨论：1、 x0，或，或 R时，时，02E无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场2、 x R时，时，2204xRE204xq 简化为点电荷简化为点电荷21222122)1 ()(xRxRx2)(211xR叠加原理思叠加原理思想：想： 圆盘圆盘 由 许 多由 许 多均匀带电圆均匀带电圆环组成。环组成。上题结果上题结果1.1.电场线电场线空间矢量函数法空间矢量函数法 定量研究定量研究 在电场中描绘许多在电场中描绘许多带有方向的曲线带有方向的曲线规定：规定：EsdsNEdd+六、高斯定理六、高斯定理正点电荷正点

19、电荷的电场线的电场线电场强度电场强度描述方法描述方法电场线方法电场线方法定性描述定性描述 (1)曲线上每一点切曲线上每一点切线方向表示该点场强的线方向表示该点场强的方向；方向； (2)曲线曲线的疏密表示的疏密表示该点场强的大小，即该该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电的单位面积所通过的电力线条数力线条数负点电荷负点电荷的电场线的电场线-六、高斯定理六、高斯定理电 偶电 偶极 子极 子的 电的 电场场 线线一 对一 对正 电正 电荷 的荷 的电 场电 场线线静电场中电场线的特点：静电场中电场线的特点：(1)电场线起始于正电荷电场线起始于正电荷(或无穷远

20、或无穷远)，终，终止于负电荷止于负电荷(或无穷远或无穷远)。(2)电场线不闭合，不相交。电场线不闭合，不相交。(3)电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场线密集处电场强，电场线稀疏处电电 场弱。场弱。2. 电通量电通量 通过电场中某一给通过电场中某一给定面的电场线的总条数定面的电场线的总条数叫做通过叫做通过的电通量。的电通量。面积元矢量：面积元矢量：nSSdd通过面积元的电通量为：通过面积元的电通量为：SEddeSEdcos SEd通过面积通过面积S的电通量为：的电通量为：SeSEdSEedd0d20d20d2eeenSd通过均匀电场中一平面的电通量通过均匀电场中一平面的电通量EnESeSEES

21、cos2. 电通量电通量通过面积元的电通量为：通过面积元的电通量为：SEddeSEdcos SEd通过面积通过面积S的电通量为：的电通量为：SeSEd通过封闭曲面的电通量通过封闭曲面的电通量seSEdEnSnn规定：封闭曲面外法向规定：封闭曲面外法向为正。为正。穿入的电场穿入的电场线线0e穿出的电场线穿出的电场线0e 高斯高斯(K.F.Gauss)是德国物理学家和是德国物理学家和数学家，他在理论物理和实验物理以及数学家，他在理论物理和实验物理以及数学方面均有杰出的贡献。他导出的高数学方面均有杰出的贡献。他导出的高斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面的电通量与该曲

22、面所包围的源电荷之间的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，是静电场的一条基本定理，的定量关系，是静电场的一条基本定理，也是电磁场理论的基本规律之一。也是电磁场理论的基本规律之一。3. 真空中高斯定理真空中高斯定理 在真空中，通过任在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的的所有电荷的代数和的1/ o倍。倍。内qSE0s1d高 斯高 斯 ( 1 7 7 7 - -1855) 德国数学德国数学家，物理学家家，物理学家+2S1Sqr证明：设任意曲面证明：设任意曲面S2包围点电荷包围点电荷+q，穿过，穿过S2的的电通量等

23、于穿过以电通量等于穿过以+q为中心的球面为中心的球面S1的电通量。的电通量。0220200204440cos41112qrrqdSrqdSrqSdESdESSSSe若任意曲面若任意曲面S2包围点电荷包围点电荷-q，同样可证明上述结论。，同样可证明上述结论。若任意曲面若任意曲面S2不包围点电荷，则不包围点电荷，则qSSeSdE0若任意曲面若任意曲面S2包围若干个点电荷，则包围若干个点电荷，则 niSniiiSSniieqSdESdESdE1011内qSE0s1d讨论：讨论：1. 式中各项的含义式中各项的含义S：封闭曲面：封闭曲面；E：总场总场, S内外所有电荷均有贡献；内外所有电荷均有贡献；)C

24、mN(1085. 8221120真空电容率（介电常数）真空电容率（介电常数）内qS内的净电荷；内的净电荷； :e只有只有S内电荷有贡献。内电荷有贡献。2. 揭示了静电场中揭示了静电场中“场场”和和“源源”的关系的关系 电场线有头有尾电场线有头有尾静电场的重要性质之一：静电场的重要性质之一： 静电场是静电场是3. 真空中高斯定理真空中高斯定理内qSE0s1d内外内qSESESE0SSs1ddd为零为零七、电场强度的计算七、电场强度的计算高斯定理的应用高斯定理的应用1. 分析给定问题中场分析给定问题中场强分布的对称性，判强分布的对称性，判断能否应用高斯定理。断能否应用高斯定理。2. 若能应用高斯定

25、理，若能应用高斯定理，选择适当的高斯面（通选择适当的高斯面（通常有球面、圆柱面等），常有球面、圆柱面等），并使高斯面通过拟求的并使高斯面通过拟求的场点。场点。3. 根据高斯定理算出整根据高斯定理算出整个闭合面的电通量，及个闭合面的电通量，及闭合面包围的电荷总量，闭合面包围的电荷总量，求出场强。求出场强。例例6-5、求半径为求半径为R的均匀带电球面（带电的均匀带电球面（带电量为量为q）的电场分布。）的电场分布。RPr解：场源电荷分布具有解：场源电荷分布具有球对称性，过球外任一球对称性，过球外任一点点P，作半径为，作半径为r的闭合的闭合球面球面S（高斯面）。（高斯面）。PrSSSeqrESESES

26、E024ddd204rqE)(Rr 对于球面内场强分布，过任一点对于球面内场强分布，过任一点P，作半，作半径为径为r的闭合球面的闭合球面S（高斯面），由于（高斯面），由于S内没有电荷，故内没有电荷，故042 rE0E)(Rr 例例6-6、求均匀带电球体求均匀带电球体(q、R)的电的电场分布场分布。oqP解：对称性分析解：对称性分析 作以作以O为中心为中心, r为半径的球形面为半径的球形面S， S面面上各点彼此等价，上各点彼此等价， 大小大小相等，方向沿径向。相等，方向沿径向。SrEE以以S为高斯面：为高斯面：sSEdsSEdcos0sSE d24rE由高斯定理：由高斯定理：sSEd24rEni

27、iq101内24rqE0内204 :rqEqqRr外内333434 :rRqqRr内304RqrE内令令334Rq体电荷密度体电荷密度rE03内例例6-7、计算带电球层计算带电球层(R1, R2, )的电场分布。的电场分布。1R2Ro解：解：选一半径为选一半径为r 的球形高斯面的球形高斯面SSr由高斯定理由高斯定理SSEd24rE 内q01内qrE0241)(01Rr )( )(3212310RrRrRr)( 43)( 220203132RrrqrRR例例6-8、求求无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线( )的电场。的电场。rP解：对称性分析：解：对称性分析：EEddqOqddddEEP点处合

28、场强垂直于带电直线点处合场强垂直于带电直线,与与P 地位等地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面。面。高斯面：高斯面：取长取长 L 的圆柱面，加上底、下的圆柱面，加上底、下底构成高斯面底构成高斯面S。SLSESd上SEd下SEd侧SEdrLESE2d0cos侧=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE内rE02 rOE例例6-9、无限大均匀带电平面的电场无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度电荷面密度 )。解：解：PPOEdEdEdEd 方向垂直于带电平面，离带电平面方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价。距离相等的场点彼此等价。E选择圆

29、柱体表面为高斯面，如图：选择圆柱体表面为高斯面，如图： SSESd左SEd右SEd侧SEd=0SE 2根据高斯定理根据高斯定理SE 2内q010S02E得得均匀电场，其方向由均匀电场，其方向由的符号的符号决定。决定。对称性分析：对称性分析：小小 结结1. 真空中两个静止点电荷的库仑定律真空中两个静止点电荷的库仑定律rrqqF3210412. 电场电场 两个点电荷之间通过交换场量子两个点电荷之间通过交换场量子而发生相互作用。场具有质量、能量而发生相互作用。场具有质量、能量和动量等。电磁场的场量子是光子。和动量等。电磁场的场量子是光子。3. 电场强度电场强度0qFE方向：与方向：与 +q0受力方向

30、相同受力方向相同。是矢量，单位：是矢量，单位：N C-1 或或 V m-14. 电场强度的计算电场强度的计算a. 点电荷的电场点电荷的电场rrqqFE30041b. 点电荷系电场点电荷系电场iiirrqE3041c. 连续带电体电场连续带电体电场rrqE30d41dzzyyxxEEEEEEdddd. 电场分布具有对称性的带电体电场分布具有对称性的带电体内qSE0s1d通常适用于无限长均匀带电直线、无通常适用于无限长均匀带电直线、无限大均匀带电薄板、均匀带电球面和限大均匀带电薄板、均匀带电球面和均匀带电球体。均匀带电球体。电势和电势能电势和电势能一、静电力的功一、静电力的功在以点电荷为场源电荷产

31、生的电场中在以点电荷为场源电荷产生的电场中场源电荷场源电荷 q检验电荷检验电荷 qo30004rrqqEqFqaarb0qLbrrr EldlFAdd3004drlrqq2004drrqq)11(4d4d00200baLbrarrrqqrrqqAA 静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，与所通过的路径无关。有关，与所通过的路径无关。 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。的电场。专题讲座专题讲座10包括教材包括教材P171-181rrlrlrdcosdd 静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有静电力做功

32、只与检验电荷起点、终点的位置有关，与所通过的路径无关关，与所通过的路径无关 静电力是保守力。静电力是保守力。0dd0lEqlFALLLlE0d 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。 反映了反映了静电场是静电场是。 凡保守力都有与其相关的势能，凡保守力都有与其相关的势能，静电场是静电场是。1.电势能电势能 设静电场中设静电场中a、b点的电势能为：点的电势能为：aWbW 保守力做功等于势能的减小保守力做功等于势能的减小(增量的负值增量的负值)babaababWWWWlEqA)(d0 势能具有相对性，令势能具有相对性，令0bW零势点aalEqWd0 约定：一般选取

33、无穷远处电势能为零约定：一般选取无穷远处电势能为零0WaalEqWd0电势能的单位电势能的单位: 焦耳焦耳(J) 一般选取一般选取0W分析：分析：:aW（1） 静电场与场中电荷静电场与场中电荷qo共同拥有。共同拥有。:oqWa（2） 取决于电场分布。和场中检验电荷取决于电场分布。和场中检验电荷qo无关。可用以描述静电场自身的特性。无关。可用以描述静电场自身的特性。2. 电势电势零势点aaalEqWUdo是标量是标量, 单位：伏特（单位：伏特（V） 静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点有的电势能，或将单位正电荷由该

34、点移至零势点过程中静电力所做的功。过程中静电力所做的功。3. 电势差电势差babaablEUUUd零势点aalEqWd0 点电荷点电荷q在静电场中在静电场中a沿任意路径移至沿任意路径移至b过程中静过程中静电力做的功：电力做的功：)(dbabaabUUqlEqA讨论：讨论：（1） U 为空间标量函数；为空间标量函数；（2）U 具有相对意义，其值与零势点选取有关，具有相对意义，其值与零势点选取有关， 但但Uab与零势点选取无关。与零势点选取无关。（3）电势遵从叠加原理：电势遵从叠加原理：iUU即：点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单即：点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电

35、势的独存在时在该点产生的电势的代数和代数和。(零势点相同零势点相同)(是标量是标量,代数相加代数相加)1.场强积分法场强积分法(由定义求由定义求)(1) 首先确定首先确定 分布分布;E(2) 选零势点和便于计算的选零势点和便于计算的积分路径积分路径;常选无穷远或地常选无穷远或地球电势为零。球电势为零。(3) 由电势定义计算由电势定义计算零势点aalEUd 求点电荷求点电荷q场中的电势分布。场中的电势分布。q解：解：rPOE304rrqE令令0U沿径向积分沿径向积分PlEUdrrrq204drq04UrOr1解：已知其场强分布为解：已知其场强分布为0420rqE)(Rr )(Rr 选取无限远处为

36、电势零点，在球壳外任一点选取无限远处为电势零点，在球壳外任一点P距球距球心心O为为rPlEUdlerqrrd420rrqrd420rq04)(Rr 在球壳内任一点在球壳内任一点Q距球心距球心O为为rPlEUdRRrlElEdd外内RlEd0外RqrrqR0204d4)(Rr 2. 叠加法叠加法(一一)利利用均匀带电球面用均匀带电球面的电势的电势求如图所示的结构电场中任一点的电势。求如图所示的结构电场中任一点的电势。已知大、小球面带电分别为已知大、小球面带电分别为q1、q2，半径分别为半径分别为R1、R21q2q1R2R解：带电球面的电势分布为解：带电球面的电势分布为rqRqU0044)(Rr

37、)(Rr r R1rqqrqrqU0210201444R2 r R1r R2rqRqU021014420210144RqRqU3. 叠加法叠加法(二二)(1) 将带电体划分为若将带电体划分为若干电荷元干电荷元dq(2) 选零势点，写出某选零势点，写出某一一dq在场点的电势的在场点的电势的dU(3) 由叠加原理得由叠加原理得iUU或或rdqUU04d例例6-12. 均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q，半径为，半径为a，求，求轴线上任意一点的轴线上任意一点的P电势和电场强度。电势和电场强度。Pxxardq解：解：在圆环上取点电荷在圆环上取点电荷dq令令0Ulaqlqd2ddarlqrq

38、Uo2o8d4ddLlarqUUd8do2220o44axqrqxUEExdd23220)(4axqx半径为半径为R的均匀的均匀带电球体，带电量为带电球体，带电量为q。求其电势分布。求其电势分布。RqorPEro21rER由电荷分布可知，电由电荷分布可知，电场沿径向场沿径向.选择同心球面为高斯面，选择同心球面为高斯面，根据高斯定律得根据高斯定律得SSSEd24rE 内q0134341433021rRqrERr3014RqrE2014rqE:Rr rlEUd1RrrE d1RrE d2RrRrrqrRqrd4d4203030228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1r

39、RoRq04U0214qrERr例例6-12. 求无限大均匀带电求无限大均匀带电平面平面( )场中电势分布。场中电势分布。xaOa 解：解：电场分布电场分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE 因为电荷无限分布，故在有限因为电荷无限分布，故在有限远处选零势点远处选零势点.令令O点电势为零。点电势为零。0OU沿沿X 轴方向积分：轴方向积分： axaxaxExEU0dd a)(000a ：区域区域axa000 )(dxxxEUx ax dd 0axaxExEU00)(0aa Ux曲线如图曲线如图Uxaoa五、等势面五、等势面 电势梯度电势梯度1. 等势面等势面电势的几何描电势的几何描述述 电场

40、中电势相等的电场中电势相等的点组成的面叫点组成的面叫等势面等势面。 规定规定相邻等势面之相邻等势面之间的电势差相等。间的电势差相等。cdbcabUUU2. 电场线与等势面的关系电场线与等势面的关系1) 电场线处处垂直于等电场线处处垂直于等势面势面在等势面上任取两点在等势面上任取两点P1、P2，则，则2121dPPPPUUlE等势等势= 02) 电力线指向电势降落电力线指向电势降落的方向。的方向。3. 电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系如图，电势分别为如图，电势分别为U和和U+dU的邻近等的邻近等势面。势面。UU+dUEneldba 如有正的试验电荷从如有正的试验电荷从a点移到点移到b点，

41、则点，则电场力做功：电场力做功：neUUUqAabdd0lEqd0lEUdcosdlUEElddcosnnddenUEnddenU 称电势梯度矢量，记为称电势梯度矢量，记为UU或或gradUUgradkzUjyUixU 电场强度的大小等于电场强度的大小等于电势在该点最大空间变化电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面负法向，率；方向沿等势面负法向，指向电势减小最快的方向。指向电势减小最快的方向。UUEgrad沿等势面的法向方向，沿等势面的法向方向，nUEddn故故场强的单位也可以是场强的单位也可以是V/m 为等势为等势面法向且指面法向且指向电势升高向电势升高的方向。的方向。小小 结结一、静电力的

42、功一、静电力的功)11(400barrqqA 静电力做功只与检验电荷起、终静电力做功只与检验电荷起、终点位置有关，与所通过的路径无关。点位置有关，与所通过的路径无关。二、环路定理二、环路定理LlE0d 静电场强沿任意闭合路径的线积静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。分为零。 静电场是静电场是。三、电势能三、电势能零势能点aalEqWd0aalEqWd0 一般选一般选0W四、电势四、电势零势点aaalEqWUdo 点电荷点电荷q在静电场中在静电场中a沿任意路径移沿任意路径移至至b过程中静电力做的功：过程中静电力做的功：)(dbabaabUUqlEqA五、电势的计算五、电势的计算(两种方法两种方法

43、)1.场强积分法场强积分法 (由定义求由定义求)2. 叠加法叠加法(一一)利用均匀带电球面的电势利用均匀带电球面的电势3. 叠加法叠加法(二二)iUU或或rdqUU04drqRqU0044)(Rr )(Rr 指导：指导：P106 2、两点电荷两点电荷q1和和q2相相距为距为d，若，若(1)两电荷同号；两电荷同号；(2)两两电荷异号，求两点电荷连线上场电荷异号，求两点电荷连线上场强为零的一点的位置。强为零的一点的位置。解解：（：（1）当两电荷同号时，场）当两电荷同号时，场强为零的点必位于两电荷之间强为零的点必位于两电荷之间1d2d2202210144dqdq2121qqdd故故又又ddd2121

44、22qqqdd（2）当两电荷异号时，场强为）当两电荷异号时，场强为零的点必位于两电荷连线的延零的点必位于两电荷连线的延长线上，不妨设长线上，不妨设21qq1q2q2 022014)(4dqddq12qqdddd212qqqdd指导：指导：P106 3、线电荷密度为线电荷密度为的的均匀带电细棒均匀带电细棒AB被弯成半径为被弯成半径为R的圆弧状，它所对的圆心角为的圆弧状，它所对的圆心角为2 ，如图如图6-19所示，求圆心所示，求圆心O处的电处的电场强度。场强度。2Rxyo解解：圆弧关于：圆弧关于 y 轴对称，所以场轴对称，所以场强沿强沿x方向抵消。方向抵消。在圆弧上取一电荷元在圆弧上取一电荷元dq

45、 = dl，其在其在O点的场强为点的场强为dq = dlRRlRqERl0dd20204d4d4ddsin4dsindd0REEy220sin4ddREEyy)2cos()2cos(40RR02sinjRE02sin故故指导：指导：P106 4、线电荷密度为入的无限线电荷密度为入的无限长均匀带电线被弯成如图长均匀带电线被弯成如图6-20图形，若图形，若圆弧半径为圆弧半径为R。求圆心。求圆心O处的电场强度。处的电场强度。解解：半无限长：半无限长AB段在段在O点产生的场强点产生的场强为为 O yxABCDREx04REy04REy04REx04半无限长半无限长CD段在段在O点产生的场强为点产生的场

46、强为叠加后，叠加后，Ex=0，Ey=0，只有只有BC段的场段的场强不为零。强不为零。RRlRqERl0dd20204d4d4ddRREEExx02004sin4dsinddRREEEyy02004cos4dcosdd教材：教材：P221 6-8、长长l =15.0cm的直导线的直导线上，均匀分布着线密度上，均匀分布着线密度= 5.0 10-9C m-1的正电荷，求的正电荷，求:(1)在导线的延长线上在导线的延长线上与导线与导线B端相距端相距d1=5.0cm处处P点的场强；点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相在导线的垂直平分线上与导线中点相距距d2=5.0cm处处Q点的场强。点的场强

47、。解解：建立如图的坐标系。：建立如图的坐标系。1P2ayOdqEdrxEdyEd1)导线导线延长线上延长线上P点点ixqEx20)5 . 70 . 5(4dd)N/C(676)5 .12(4d205 . 75 . 7iixxEABxQ2)导线的垂直平分线上导线的垂直平分线上Q点点任取电荷元任取电荷元xqddrrqE304dd矢量分解：矢量分解：cos4dd20rxExsin4dd20rxEy统一变量：统一变量： ctg axd cscd 2ax 22222cscaxar)N/C(105 . 1)cos(cos4dsin43210021aaEy对称性分析对称性分析, Ex= 0教材：教材：P22

48、16-12、大小两个同心球面大小两个同心球面，半径分别为，半径分别为0.1m和和0.3m，小球上，小球上带有电荷带有电荷1.0 10-8C，大球上带有电，大球上带有电荷荷1.5 10-8C，求离球心为，求离球心为0.05m，0.20m，0.50m处的电场强度处的电场强度解：求离球心解：求离球心0.05m处的电场处的电场强度强度,作如图所示的高斯面作如图所示的高斯面SSSeqrESESESE024ddd0E因为高斯面所围电荷为零，故因为高斯面所围电荷为零，故 离球心离球心0.2m处的电场强度处的电场强度,作如图所示的高斯面作如图所示的高斯面024dqrESESe321282011025.22 .

49、01085.814.34100 .14rqE 离球心离球心0.5m处的电场强度处的电场强度,作如图所示的高斯面作如图所示的高斯面024dqrESESe 同样可求得同样可求得900E教材：教材：P2216-13、两个无限长通轴圆柱面，半径分别为和，带有等两个无限长通轴圆柱面，半径分别为和，带有等值异号电荷，每单位长度的电量为。试求该带电系统的场强分布。值异号电荷，每单位长度的电量为。试求该带电系统的场强分布。解：解：1Rr 02ddddd0qrlESESESESESESe侧面侧面侧面上下底0E21RrR02dddlrlESESESESe侧面上下底rE022Rr 0)(2ddd0lrlESESES

50、ESe侧面上下底0E指导：指导：P106 5、一半径为一半径为R的球体内，分的球体内，分布着体电荷密度布着体电荷密度 = kr，式中，式中r是径向距是径向距离，离，k是常量。求空间的场强分布。是常量。求空间的场强分布。解：首先计算半径为解：首先计算半径为r的球面所包围的的球面所包围的电量。电量。Rr SSSeqrESESESE024ddd20420420444rkRrRkrqERr 作如图所示的球壳，球壳的半径为作如图所示的球壳，球壳的半径为r，厚度为厚度为dr，则球壳的体积为，则球壳的体积为rrdVd42球壳的带电量为球壳的带电量为rrkrrkrdVqd4d4d32半径为半径为r的球面所包围

51、的电量为的球面所包围的电量为403d4drkrrkqqr整个球体所带的电量为整个球体所带的电量为kR4024dqrESESe0220420444krrrkrqE教材：教材：P22220、电荷均匀分布在电荷均匀分布在半径为的球面内半径为的球面内,试证明离球心试证明离球心r处的电势为处的电势为RqorPEro21rER解：由电荷分布可知，电场沿径向解：由电荷分布可知，电场沿径向.选择同心球面为高斯面，选择同心球面为高斯面，根据高斯定律得根据高斯定律得SSSEd24rE 内q0134341433021rRQrERr3014RQrE2024rQErlEUd1RRrrErEdd21RrRrrQrRQrd

52、4d4203030228)3(RrRQr1rRoRq04U0224QrERr20228)3(RrRQU指导：指导：P106 6、如图如图6-21所示，所示，AB=2R，R为半圆的半径。为半圆的半径。A点有正电荷点有正电荷+ q，B点有点有负电荷负电荷- q。求：（。求：（1）把试验电荷）把试验电荷 q0从从O点点沿沿OCD移到移到D点，电场力对它作了多少功点，电场力对它作了多少功?（2）把）把q0 从从D点沿点沿AD的延长线移到无穷的延长线移到无穷远处去，电场力对它作功多少远处去，电场力对它作功多少? qqABOCD解：解：O点在点在+q的电场中的电势为的电场中的电势为RqUqO04O点在点在

53、-q的电场中的电势为的电场中的电势为RqUqO04D点在点在+q的电场中的电势为的电场中的电势为RqUqD012D点在点在-q的电场中的电势为的电场中的电势为RqUqD04O点的电势为点的电势为D点的电势为点的电势为0OURqUD06（1）RqqUUqUqADOODOD00006)(（2）RqqUUqUqADDD00006)(静电场中的导体静电场中的导体 前面我们学习的是：已知电荷分前面我们学习的是：已知电荷分布时的静电场。布时的静电场。若静电场中有导体存若静电场中有导体存在，情况会怎么样呢？在，情况会怎么样呢？ 静电场静电场导体导体相互作用相互作用相互影响相互影响感应电荷感应电荷电荷重新分布

54、电荷重新分布原有电场原有电场影响影响一、导体的静电平衡性质一、导体的静电平衡性质1. 金属导体的电结构金属导体的电结构金属导体金属导体: 由带负电的由带负电的自自由电子由电子和带正电的和带正电的晶格点晶格点阵阵组成。当导体不带电也组成。当导体不带电也不受外电场的作用时，只不受外电场的作用时，只有微观的热运动。有微观的热运动。热平衡特征：热平衡特征：任意划取任意划取的微小体积元内，自由的微小体积元内，自由电子的负电荷和晶体点电子的负电荷和晶体点阵上的正电荷的数目相阵上的正电荷的数目相等，整个导体或其中任等，整个导体或其中任一部分都显现电中性。一部分都显现电中性。电场重新分布电场重新分布2. 导体

55、的静电平衡状态导体的静电平衡状态静电感应：静电感应： 在外电场影响下，导体在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷表面不同部分出现正负电荷重新分布的现象。重新分布的现象。静电平衡：静电平衡： 导体内部和表面没有导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。电荷的宏观定向运动。3. 静电平衡的条件静电平衡的条件1)电场特征：电场特征：导体内部的场导体内部的场强处处为零。导体表面的场强处处为零。导体表面的场强垂直于导体的表面。电场强垂直于导体的表面。电场线不进入导体内部，而与导线不进入导体内部，而与导体表面正交。体表面正交。2)电势特征：电势特征：导体内部和导导体内部和导体表面处处电势相等，整个体表面

56、处处电势相等，整个导体是等势体。导体是等势体。 （a）导体中自由电子在外电导体中自由电子在外电场作用下定向运动场作用下定向运动E- （b）导体处于静电平衡状态导体处于静电平衡状态E-+0内E4. 静电平衡时导体上的电荷静电平衡时导体上的电荷分布分布在静电平衡下，导体所带在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有面，导体内部没有净电荷净电荷(未未被中和的正负电荷被中和的正负电荷)。(1) 实心导体在静电平衡时的实心导体在静电平衡时的电荷分布电荷分布E= 0+iSqSE01d00iqE(2) 空心导体，空腔内无电荷空心导体，空腔内无电荷结论：导体内部没有

57、净电荷，结论：导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体外表面。电荷只能分布在导体外表面。E= 0q00iqE结论：电荷分布在导体外表结论：电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净面，导体内部和内表面没净电荷。电荷。+q(3) 空心导体，空腔内空心导体，空腔内有电荷有电荷q00iqE内表面感应出内表面感应出qq结论：电荷分布在导结论：电荷分布在导体内外两个表面，内体内外两个表面，内表面带电荷表面带电荷-q，q = Q + q。根据电荷守恒定律，根据电荷守恒定律，外表面带电为：外表面带电为：qQq Q是原导体所带电荷。是原导体所带电荷。5.带电导体表面附近的带电导体表面附近的场强场强作高斯面，作高

58、斯面，电电场方向如图，场方向如图，设导体表面电设导体表面电荷面密度为荷面密度为，由由高斯定理：高斯定理：0ddSSE得得0E(1)处于静电平衡的导处于静电平衡的导体，其表面上各点的体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。处场强的大小成正比。E= 0+qq-(2)静电平衡下的孤立导静电平衡下的孤立导体，其表面处面电荷密度体，其表面处面电荷密度 与该处表面曲率有关，与该处表面曲率有关，曲率曲率(1/R)越大的地方电越大的地方电荷密度也越大，曲率越小荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。的地方电荷密度也小。尖端放电尖端放电: 对于有尖端的带电导对于有尖端的带电导

59、体，尖端处电荷面密度大，体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也则导体表面邻近处场强也特别大。当电场强度超过特别大。当电场强度超过空气的击穿场强时，就会空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现产生空气被电离的放电现象，称为象，称为尖端放电尖端放电。静电吹烛：静电吹烛：-+-+二、空腔导体和静电屏蔽二、空腔导体和静电屏蔽1. 空腔导体空腔导体1)腔内没有电荷腔内没有电荷00EE2）腔内存在电荷）腔内存在电荷qq q接地的空腔导接地的空腔导体可以屏蔽内、体可以屏蔽内、外电场的影响。外电场的影响。空腔导体起到屏蔽外电场的作用。空腔导体起到屏蔽外电场的作用。a.若空腔导体带电，电荷只若空腔导

60、体带电，电荷只分布于空腔导体外表面，内分布于空腔导体外表面，内表面无电荷。表面无电荷。b.空腔内部场强为零空腔内部场强为零c.整个腔体是一等势体。整个腔体是一等势体。a.空腔内表面所带电荷与腔空腔内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号。内带电体所带电荷等量异号。b.导体内场强为零。导体内场强为零。c.空腔内部的电场决定于腔空腔内部的电场决定于腔内带电体，空腔外电场决定内带电体，空腔外电场决定于空腔外表面的电荷分布于空腔外表面的电荷分布2. 静电屏蔽静电屏蔽一个接地的空腔导体一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响。可以隔离内外电场的影响。法拉第笼法拉第笼防电磁辐射屏蔽服防电磁辐射屏蔽服 军