多元复合函数求导法则

1、第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分一、链式法则一、链式法则定理定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算且其导数可用下列公式计算 ( ),( )zftt t则复合函数则复合函数在对应点在对应点可导，可导，),(vufz ),(vu函数函数在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，可导，可导， ( )ut )(tv t如果函数如果函数及及都在点都在点一元复合函数一元复合函数( ),( )yf uux 求导法则求导法则ddddddyyuxuxu

2、vtz( ),zzzuvouv( )zzuzvotutvttdudtd vd t证证()( ),uttt则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtvdt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 时时, ,取取“”号号0t 当当时时， 由于函数由于函数),(vufz 在点在点故可微，即故可微，即),(vu有连续偏导数，有连续偏导数，例例1 设设 而而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中其中 可导，求可导，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解解z dxz dyx dty

3、 dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett 1.1.上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz推广推广)(),(),(tttfz 中间变量多于两个的情况中间变量多于两个的情况: :,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的两个偏导数存在的两个偏导数存在, ,且可用下列公式计算且可用下列公式计算: : ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果如果及及都在点都在点),(vufz 具有对具有对x和和y 的偏导数，且函数的偏导数，且函数 (

4、 , ),( , )zfx yx y 则复合函数则复合函数在对应点在对应点),(vu在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数， 2.2.上定理还可推广到上定理还可推广到中间变量不是一元函数中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：uvxzy复合结构如图示复合结构如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ),( , )zfx yx y 链式法则的规律：链式法则的规律：“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin ve

5、xveuu).cossin(vvxeu uvxzyzwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在对应点在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律：链式法则的规律： “连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx y 设设),(yx都在点都在点具有偏导数，具有偏导数，( , ,)zf u v w 在在则复合函数则复合函数对应点对应点(

6、 , ,)u v w具有连续偏导数，具有连续偏导数，),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中两者的区别两者的区别yyxzxu区别类似区别类似3.3.中间变量即有一元函数中间变量即有一元函数, ,也有多元函数的情况：也有多元函数的情况：解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf z

7、ywxvu zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论z是自变量是自变量x,y的函数或中间变量的

8、函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例5 设设 而而cos ,uzev ,uxy vxy,.zzxy求求解解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dvd xydx dy (cossin )(cossin )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy比较比较1 1、链式法则（连线相乘，分线相加）、链式法则（连线相乘，分线相加）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）小结zzdzdudvuv思考题思考题),(xvufz ( ),ux )(xv 设设，而，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问试问与与是否相同？为什么？是否相同？为什么？uzvxx xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf uzvxx( , , ),z